◎朱 萍

作為初中學(xué)生，掌握一些重要的數(shù)學(xué)思想方法不僅重要，而且必要。沒(méi)有脫離數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法，也沒(méi)有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識(shí)。有了數(shù)學(xué)思想方法作靈魂，各種具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)就不會(huì)孤立、零散。如果我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，能始終抓住數(shù)學(xué)的思想方法，那么學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)、正確熟練解題將不再是難事。以下就談一下“整式乘法和因式分解”這一章中我們會(huì)遇到的數(shù)學(xué)思想方法。

一、數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)無(wú)形，少直觀，形無(wú)數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結(jié)合”把代數(shù)和幾何相結(jié)合，幾何問(wèn)題用代數(shù)方法解答，代數(shù)問(wèn)題用幾何方法解答，就可使所要研究的問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)。在本章的學(xué)習(xí)過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合始終貫穿其中，教材從同一個(gè)圖形面積的不同計(jì)算方法引入，通過(guò)歸納得出法則或公式，最后通過(guò)驗(yàn)算證實(shí)結(jié)論，讓我們體會(huì)到了借助圖形直觀發(fā)現(xiàn)整式乘法法則和乘法公式的好處，真正感悟數(shù)形結(jié)合的思想。

例1先閱讀后作答：我們已經(jīng)知道，根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系可以說(shuō)明完全平方公式，實(shí)際上還有一些等式也可以用這種方式加以說(shuō)明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用圖1的面積關(guān)系來(lái)說(shuō)明。

圖1

（1）根據(jù)圖2寫(xiě)出一個(gè)等式_____；

圖2

（2）已知等式：（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)相應(yīng)的幾何圖形加以說(shuō)明。

【分析】第（1）小題長(zhǎng)方形是由4個(gè)正方形和5個(gè)小長(zhǎng)方形組成，從整體和分割兩個(gè)不同的角度分別表示該圖形的面積，就可列出等式。第（2）小題是反過(guò)來(lái)給出等式，要畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形。題目前半部分提示我們：是否可以把等式的兩邊看成是長(zhǎng)方形的面積的不同表示，左邊的x+p和x+q分別看成長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，右邊的多項(xiàng)式x2+（p+q）x+pq可以看成組成該長(zhǎng)方形的各個(gè)圖形的面積和，易看出組成該長(zhǎng)方形的圖形為一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形，三個(gè)長(zhǎng)寬分別為x和p、x和q、p和q的長(zhǎng)方形，從而很快畫(huà)出幾何圖形。

解：（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）所畫(huà)圖形如下：

二、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思想方法，又稱化歸思想。它可以是已知與未知的轉(zhuǎn)化、特殊與一般的轉(zhuǎn)化、具體與抽象的轉(zhuǎn)化、動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化等。在解題時(shí)，我們往往會(huì)用到把未知向已知轉(zhuǎn)化，從而求解。

例2 已知x2+2y2-2xy+2y+1=0，求x+2y的值。

【分析】本題已知的方程不是我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的一元一次方程，常規(guī)方法顯然不能解。由于該方程中含有x和y的平方項(xiàng)，并且有-2xy這個(gè)單項(xiàng)式，可以想到把原方程左邊的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)完全平方式，得到非負(fù)數(shù)之和為零的形式，進(jìn)而求出字母的值。

解：∵x2+2y2-2xy+2y+1=0，

∴x2-2xy+y2+y2+2y+1=0，

∴（x-y）2+（y+1）2=0，

∴（x-y）2=0，（y+1）2=0，

∴x=-1，y=-1，

∴x+2y=-3。

三、分類討論思想

當(dāng)我們研究的對(duì)象出現(xiàn)不確定因素的時(shí)候，就要按不同的情況進(jìn)行分類討論。正確應(yīng)用分類討論思想，是完整解題的基礎(chǔ)。

例3 多項(xiàng)式9x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為一個(gè)整式的完全平方，那么加上的單項(xiàng)式可以是_______。

【分析】題目要滿足的條件是成為一個(gè)整式的完全平方，而整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，如果結(jié)果是單項(xiàng)式的平方，那么加上的單項(xiàng)式就是-9x2或-1；如果結(jié)果是多項(xiàng)式的完全平方，則我們需要結(jié)合完全平方式的特征來(lái)看。完全平方式：a2±2ab+b2，其中有兩個(gè)平方項(xiàng)，符號(hào)都為正，中間項(xiàng)是兩數(shù)乘積的兩倍，符號(hào)是正負(fù)都可，那么如果把題中的兩項(xiàng)都看成平方項(xiàng)，不難得出添加的單項(xiàng)式應(yīng)為±6x；若題中兩項(xiàng)看成一個(gè)是中間項(xiàng)、一個(gè)是平方項(xiàng)，則應(yīng)添

解：-9x2或-1或±6x或

四、整體思想

整體思想方法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補(bǔ)形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問(wèn)題中的具體運(yùn)用。我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往只看到眼前的條件，或是只關(guān)注局部的問(wèn)題，從小處著手，按常規(guī)方式思考問(wèn)題，這樣往往會(huì)進(jìn)入死胡同。事實(shí)上，我們?cè)谘芯亢徒鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果能采用整體視角觀察思考，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，并進(jìn)行整體處理，就會(huì)發(fā)現(xiàn)思路一下子拓寬了，過(guò)程優(yōu)化了，題目變得簡(jiǎn)單了。

例4 若x2+4x-4=0，則3（x-2）2-6（x+1）·（x-1）的值為（ ）。

A.-6 B.6 C.18 D.30

【分析】這題是求代數(shù)式的值。初中階段，代數(shù)式求值問(wèn)題一般有兩種方法：一是把字母的值求出來(lái)，然后直接代入求解；二是整體代入求值。本題已知方程不是一元一次方程，在七年級(jí)階段，我們是無(wú)法求解的，即便以后會(huì)求，代入計(jì)算也是比較繁瑣的。這時(shí)我們就要考慮把方程變形成x2+4x=4，利用整體代入的方法求代數(shù)式的值。此處不急于做出選擇，把待求的代數(shù)式化簡(jiǎn)、合并、整理后再做決定。

解：先化簡(jiǎn)3（x-2）2-6（x+1）（x-1）=-3（x2+4x）+18，由x2+4x-4=0得 x2+4x=4，所以原式=-3×4+18=6，故選擇 B。