顏碧梅 張桂芳

[摘? 要] 數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有非常重要的地位，核心素養(yǎng)背景下要求概念教學(xué)要真正以人為本，讓學(xué)生真正理解和掌握概念. 通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，把握學(xué)生認(rèn)知規(guī)律;通過(guò)啟發(fā)性問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生;讓學(xué)生經(jīng)歷概念發(fā)生發(fā)展過(guò)程，了解“為什么”. 這些都是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的應(yīng)有之義.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念;核心素養(yǎng);概念教學(xué)

問(wèn)題的提出

隨著“核心素養(yǎng)”的提出，國(guó)內(nèi)外學(xué)者越來(lái)越多地把目光聚集到學(xué)生的發(fā)展上. “核心素養(yǎng)”是學(xué)生應(yīng)該具備的，能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力[1]. 它不應(yīng)只是口頭上的倡導(dǎo)和指向，而應(yīng)落實(shí)到每一學(xué)科的教學(xué)實(shí)踐上，通過(guò)各個(gè)學(xué)科的教學(xué)來(lái)發(fā)展和滲透. 對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科而言，它是以基本概念為基礎(chǔ)的，對(duì)客觀事物進(jìn)行本質(zhì)屬性的歸納. “概念”如同組織中的“細(xì)胞”，整個(gè)“數(shù)學(xué)系統(tǒng)”需要它們的“組織”“參與”和“運(yùn)作”才能維持. 因此，概念教學(xué)的有效性非常關(guān)鍵.

數(shù)學(xué)概念教學(xué)歷來(lái)受到教師們的重視. 許多教師在教學(xué)中，通常采用“三個(gè)例子——一個(gè)概念——八項(xiàng)注意”的模式[2]，或者“一個(gè)定義——三項(xiàng)注意——幾道例題——大量練習(xí)”的模式等[3]，這些模式確實(shí)簡(jiǎn)明易行得只需學(xué)生記住要學(xué)習(xí)的概念，不必問(wèn)其“從何來(lái)”“為何來(lái)”“去何處”，不用經(jīng)歷如何將這個(gè)概念的外延所蘊(yùn)含的本質(zhì)屬性凝練為概念內(nèi)涵的知識(shí)建構(gòu)過(guò)程，因而這些模式又往往被指為“掐頭去尾燒中段”. 由于缺乏數(shù)學(xué)本質(zhì)形成的學(xué)習(xí)，學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)歷自然是空洞而生硬的. 這種“輕本質(zhì)、重訓(xùn)練”的教學(xué)方式顯然“跑偏”了“核心素養(yǎng)”這一軌道. 核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)的不只是知識(shí)的獲取，更多的是能力的養(yǎng)成和形成終身學(xué)習(xí)的意識(shí). 數(shù)學(xué)課堂中的概念教學(xué)，就應(yīng)啟思益智，讓學(xué)于生，把握其應(yīng)有之義.

創(chuàng)設(shè)情境，概念教學(xué)要遵循規(guī)律

著名心理學(xué)家維果斯基提出了自發(fā)性概念和科學(xué)概念[4]. “自發(fā)”指沒(méi)有刻意教，不知不覺(jué)產(chǎn)生的;科學(xué)概念則是定義明確、有一定邏輯定義的[4]. 在學(xué)習(xí)“科學(xué)概念”前，學(xué)生的認(rèn)識(shí)并不是一張“白紙”，而是在生活中有了一定的自發(fā)概念，只是還無(wú)法用嚴(yán)格的語(yǔ)言描述出來(lái). 如：學(xué)生在學(xué)習(xí)“圓”的科學(xué)概念前，雖然還不能用“定點(diǎn)”“定長(zhǎng)”“封閉曲線”這種嚴(yán)格語(yǔ)言描述，但頭腦中已有圓的表象認(rèn)識(shí). 其實(shí)，“自發(fā)性概念”和“科學(xué)概念”就如同感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)的關(guān)系. 我們都知道，人對(duì)事物的認(rèn)識(shí)是從感性認(rèn)識(shí)開(kāi)始的，只有在此基礎(chǔ)上通過(guò)理性思考，才能抓住事物的本質(zhì). 因此，感性認(rèn)識(shí)是人在認(rèn)知過(guò)程中不可缺少的環(huán)節(jié). 由于數(shù)學(xué)概念具有強(qiáng)烈的抽象性和概括性，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)易出現(xiàn)恐懼心理，望而卻步，缺乏自信心. 所以，教師不能對(duì)學(xué)生的“自發(fā)性概念”罔而不顧，要以此作為切入點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)情境，盡量調(diào)動(dòng)學(xué)生的自發(fā)概念，以客觀事物為基礎(chǔ)進(jìn)行概念的抽象和概括. 下面以我們?cè)谡{(diào)研時(shí)聽(tīng)取的一節(jié)公開(kāi)課《平面向量的實(shí)際背景和基本概念》（第一課時(shí)）來(lái)分析：

片段一：概念的形成

（1）情境一：播放視頻——南轅北轍的故事，商人能否到達(dá)楚國(guó)？為什么？

（3）情境三：甲地與乙、丙地的距離均為10公里，一只鳥(niǎo)想從甲地飛到乙地，若從甲地出發(fā)，隨意飛行10公里能否到達(dá)乙地？

（4）情境四：有個(gè)木塊，在3 N作用下緩慢運(yùn)動(dòng)（圖1），若保持力的方向不變，大小變成5 N，木塊發(fā)生什么變化？若保持力的大小不變，方向改變，木塊又會(huì)發(fā)生什么變化？

片段二：向量的表示

（5）數(shù)有幾何表示，數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以可利用數(shù)軸上的點(diǎn)去表示. 那向量的幾何表示又是什么呢？

（7）實(shí)數(shù)集中，“0”“1”是兩個(gè)特殊元素，向量中有無(wú)與之類(lèi)似的量？若有，怎樣去定義？

這是一堂概念形成課，老師把情境實(shí)例和學(xué)生已有認(rèn)知的作用發(fā)揮得淋漓盡致：

第一，片段一提供了很多生活和物理學(xué)習(xí)中的實(shí)際例子，引導(dǎo)學(xué)生分析其中的共同點(diǎn)，明晰學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中對(duì)向量的自發(fā)認(rèn)識(shí). 老師呈現(xiàn)了四個(gè)情境，從多個(gè)角度讓學(xué)生感受到，現(xiàn)實(shí)生活中存在“既有大小，又有方向”的量. 這些問(wèn)題在生活中很常見(jiàn)，但學(xué)生未必對(duì)其有準(zhǔn)確認(rèn)識(shí). 通過(guò)情境的創(chuàng)設(shè)，有助于指引他們逐步抽象出這里所關(guān)注的量（向量）有大小和方向兩個(gè)本質(zhì)屬性.

第二，片段二在“數(shù)”的已有認(rèn)識(shí)上對(duì)“向量”進(jìn)行類(lèi)比思考，從數(shù)量（已有的先導(dǎo)概念）到向量，“0”到“零向量”，“1”到“單位向量”等，自然過(guò)渡到新知識(shí).

第三，這節(jié)課還有很多類(lèi)似的手法，通過(guò)創(chuàng)設(shè)“平易近生”的情境，幫助學(xué)生從身邊實(shí)例“發(fā)現(xiàn)”學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，“不動(dòng)聲色”地調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)積極參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái). 并且通過(guò)“數(shù)”的類(lèi)比，鼓勵(lì)學(xué)生勤于反思，善于總結(jié)已有經(jīng)驗(yàn)，這都是在滲透“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的核心素養(yǎng)啊[1]！

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，概念教學(xué)要注重啟發(fā)

《課標(biāo)》（2011年版）指出：“教師的引導(dǎo)作用主要體現(xiàn)在：通過(guò)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題，或者準(zhǔn)確、清晰、富有啟發(fā)性的講授，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、求知求真，并用不同層次的問(wèn)題或教學(xué)手段，引導(dǎo)每一個(gè)學(xué)生都能積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，提高教學(xué)活動(dòng)的針對(duì)性和有效性. ”[5]“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，有問(wèn)題才有思考，才能讓學(xué)生進(jìn)入“我要學(xué)”“我在學(xué)”的狀態(tài)，課堂教學(xué)才有效. 若教師過(guò)于強(qiáng)調(diào)概念的知識(shí)本位，而忽視了概念的形成過(guò)程，把大部分時(shí)間放在記憶上，學(xué)生獲得的只是一個(gè)“空中樓閣”的概念，就難以真正理解其本質(zhì)屬性. 所以，教師作為引導(dǎo)者，應(yīng)以問(wèn)題為中心、深入啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生在潛移默化中，體會(huì)和掌握數(shù)學(xué)的思想方法，真正做到“授人以漁”.

筆者閱讀了一節(jié)七年級(jí)《數(shù)軸》的課例，以下截取其中的一些片段：

思考：在一條東西方向的馬路上，有一個(gè)學(xué)校，學(xué)校東50 m和西150 m處分別有一個(gè)書(shū)店和一個(gè)超市，學(xué)校西100 m和160 m處分別有一個(gè)郵局和醫(yī)院，分別用A，B，C，D表示書(shū)店、超市、郵局、醫(yī)院，你會(huì)畫(huà)圖表示這一情境嗎？

老師：對(duì)照大家畫(huà)的圖，為了使表達(dá)更清楚，我們把0左右兩邊的數(shù)分別用負(fù)數(shù)和正數(shù)來(lái)表示，即用一直線上的點(diǎn)把正數(shù)、負(fù)數(shù)、0都表示出來(lái)，也就是本節(jié)內(nèi)容——數(shù)軸.

點(diǎn)撥（1）：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)畫(huà)數(shù)軸.

第一步：畫(huà)直線定原點(diǎn).

第二步：規(guī)定從原點(diǎn)向右的方向?yàn)檎?

第三步：選擇適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度.

第四步：拿出教學(xué)溫度計(jì)，由學(xué)生觀察溫度計(jì)的結(jié)構(gòu)和數(shù)軸的結(jié)構(gòu)是否有共同之處. 對(duì)比思考：原點(diǎn)相當(dāng)于什么;正方向與什么一致;單位長(zhǎng)度又是什么？

點(diǎn)撥（2）：定義數(shù)軸.

本節(jié)課是學(xué)生首次接觸數(shù)形結(jié)合的實(shí)例，蘊(yùn)含了利用圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的教育價(jià)值. 這位老師對(duì)“數(shù)軸”的理解顯然不到位. 本節(jié)課重點(diǎn)是建立數(shù)軸的概念，“建立”是一個(gè)過(guò)程，但遺憾的是，老師沒(méi)有讓學(xué)生經(jīng)歷“建立”的過(guò)程，而是直接給出概念. “為什么要規(guī)定正方向？為什么要規(guī)定單位長(zhǎng)度？為什么要規(guī)定原點(diǎn)？”這些揭示“數(shù)軸”本質(zhì)屬性的問(wèn)題全被“一筆帶過(guò)”，學(xué)生無(wú)法理解數(shù)軸的“三要素”，也錯(cuò)失了一次次思考的機(jī)會(huì).

若能這樣改進(jìn)：

思考：在一條東西方向的馬路上，有一個(gè)學(xué)校，學(xué)校東50 m和西150 m處分別有一個(gè)書(shū)店和一個(gè)超市，學(xué)校西100 m和160 m處分別有一個(gè)郵局和醫(yī)院，怎樣用圖形表示這些地方的位置？

問(wèn)題1：用什么表示東西方向筆直的馬路？

問(wèn)題2：與周?chē)瑢W(xué)畫(huà)的圖形進(jìn)行比較，一樣嗎？為什么一樣的情境圖形會(huì)不一樣？

問(wèn)題3：為什么有些同學(xué)畫(huà)的書(shū)店離學(xué)校近一點(diǎn)，有的遠(yuǎn)一點(diǎn)？

問(wèn)題4：在直線上，先標(biāo)出的是什么？為什么？

問(wèn)題5：為什么都把學(xué)校標(biāo)在中間位置，而沒(méi)有標(biāo)在左邊或右邊呢？

問(wèn)題6：若用正負(fù)數(shù)表示這一問(wèn)題中的相反意義的量，基準(zhǔn)點(diǎn)是什么數(shù)？基準(zhǔn)點(diǎn)的右邊是什么數(shù)？左邊呢？

問(wèn)題7：怎樣在直線上進(jìn)行合理規(guī)定才能表示這些數(shù)呢？為什么？如果不規(guī)定原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度，能把有理數(shù)表示為直線上唯一的點(diǎn)嗎？

案例改進(jìn)后，充分利用了創(chuàng)設(shè)的情境，恰當(dāng)把握了問(wèn)題的啟發(fā)性和驅(qū)動(dòng)性. 通過(guò)基于定位的形象（直線）、距離與比例（單位與刻度）、方位與方向的必要性的連續(xù)追問(wèn)，一步步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)軸的本質(zhì)屬性，學(xué)生在思考問(wèn)題中，充分把握了“數(shù)軸”這一概念規(guī)定“三要素”的必要性，因此掌握它也就“水到渠成”了. 通過(guò)問(wèn)題串的形式組織教學(xué)，推動(dòng)學(xué)生一步步去探索，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，而且無(wú)形中激發(fā)了學(xué)生解決問(wèn)題的興趣和熱情，這也正是培養(yǎng)“實(shí)踐創(chuàng)新”“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”核心素養(yǎng)的一大途徑[1].

體驗(yàn)生成，概念教學(xué)要追根溯源

在概念學(xué)習(xí)中，常有學(xué)生問(wèn)：為什么要學(xué)習(xí)它？為什么這樣定義？章建躍先生認(rèn)為：“從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的合理性、學(xué)生思維過(guò)程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)”[6]. 因此，有必要讓學(xué)生了解概念生成過(guò)程，讓學(xué)生了解“為什么”，鼓勵(lì)“從頭到尾”地思考問(wèn)題，知道知識(shí)的來(lái)龍去脈. 例如，“復(fù)數(shù)”的教學(xué)，由方程x2+1=0無(wú)實(shí)數(shù)解引起“數(shù)不夠用”的想法，再回顧從自然數(shù)到整數(shù)，到有理數(shù)，到實(shí)數(shù)的過(guò)程，在此基礎(chǔ)上尋找新的數(shù). 這樣可以讓學(xué)生明白引入虛數(shù)的必要性.

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)課堂上，不可能讓學(xué)生重演復(fù)制數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)史上的發(fā)展過(guò)程，但卻可以通過(guò)講述概念發(fā)展過(guò)程，或通過(guò)滲透知識(shí)生成的思想讓學(xué)生理解和接受. 將前人的方法內(nèi)化，讓學(xué)生從內(nèi)心上接受它，明白學(xué)習(xí)的必要性和價(jià)值. 這也是培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”的內(nèi)在要求，它要求學(xué)生不僅要知其然，還要知其所以然，掌握學(xué)習(xí)的方法. 下面是《生活中的負(fù)數(shù)》一課中的片段，我們來(lái)欣賞這位老師的精妙處理：

記錄：聽(tīng)取信息，選擇你最喜歡的方式把聽(tīng)到的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確記錄下來(lái)，關(guān)鍵是讓別人一眼就能看明白你所表示的意思：

①足球比賽，中國(guó)國(guó)家隊(duì)上半場(chǎng)進(jìn)了兩個(gè)球，下半場(chǎng)丟了兩個(gè)球.

②學(xué)校四年級(jí)共轉(zhuǎn)來(lái)25名新同學(xué)，五年級(jí)轉(zhuǎn)走了10名同學(xué).

③張阿姨做生意，三月份賺了6000元，四月份虧了2000元.

匯報(bào)：第一種：用文字表示;第二種：用圖形表示.

老師：你用的符號(hào)，意思你明白，他用的符號(hào)他明白. 數(shù)學(xué)符號(hào)是幫助我們交流的，怎樣才能讓大家都明白？

第三種：用“+”“-”表示.

老師：和數(shù)學(xué)家表達(dá)的一樣，這種方法好在哪兒？

……

（簡(jiǎn)單介紹負(fù)數(shù)發(fā)展史）

引入負(fù)數(shù)前，讓學(xué)生經(jīng)歷聽(tīng)取信息，用各種方式表達(dá)信息的過(guò)程，這樣學(xué)生通過(guò)比較很容易發(fā)現(xiàn)使用“-”的簡(jiǎn)潔性和必要性，從而在內(nèi)心上接受“負(fù)數(shù)”. 同時(shí)，老師讀出的是具有相反意義的量，滲透了“負(fù)數(shù)”的發(fā)生發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)屬性，也把負(fù)數(shù)所具有的“符號(hào)結(jié)果”與“表示方法”融會(huì)貫通了. 然后再補(bǔ)充說(shuō)明，在負(fù)數(shù)的發(fā)展史上，人們?cè)谏钪幸矔?huì)遇到這樣的量，如做買(mǎi)賣(mài)有進(jìn)有出，所以人們才引入了正負(fù)數(shù)的概念，從而明白正負(fù)數(shù)產(chǎn)生于生產(chǎn)實(shí)踐，也應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)踐.

課堂教學(xué)中，從概念的現(xiàn)實(shí)背景和情境出發(fā)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的自發(fā)經(jīng)驗(yàn)，用一系列聚焦于概念本質(zhì)屬性的追問(wèn)，推動(dòng)學(xué)生經(jīng)歷將這個(gè)概念的外延所蘊(yùn)含的本質(zhì)屬性凝練為概念的內(nèi)涵的過(guò)程，并把概念形成的科學(xué)方法融進(jìn)教學(xué)過(guò)程，這樣的教學(xué)必然是核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的應(yīng)有之義.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 林崇德. 構(gòu)建中國(guó)化的學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)[J].北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2017（1）：66-73.

[2]? 王紅兵，卜以樓.生長(zhǎng)過(guò)程——概念教學(xué)的本質(zhì)標(biāo)志[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（20）：27-29.

[3]? 劉聰勝，杜海洋. 淺談數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的基本途徑[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（13）：26-29.

[4]? 李世琦. PME：數(shù)學(xué)教育心理[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.

[5]? 中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[6]? 任偉芳. 為培育核心素養(yǎng)凸顯概念教學(xué)過(guò)程而設(shè)計(jì)——對(duì)“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”一課的點(diǎn)評(píng)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（31）：16-17.