楊曉潔

[摘? 要] 多元表征理論的內涵實際是指的一種學習原則，它是指在數(shù)學學習中，不應該讓學生的認知只停留于表面特征，而應該是一種結合了動作、聽覺、視覺，進入深度學習狀態(tài)的“思維運動”. 文章以高中數(shù)學“等差數(shù)列”一課的教學設計為例，深入解析多元化表征理論在高中數(shù)學教學中的應用與實踐.

[關鍵詞] 多元表征;高中數(shù)學;等差數(shù)列;實踐

最早源于迪因斯所提出的“多元具體化原則”的數(shù)學多元表征，在經(jīng)過了無數(shù)數(shù)學家以及教育家的實踐與驗證后，仍舊沒有一個比較清晰且詳細的概念定義，但對于它的基本含義目前已經(jīng)達成共識. 數(shù)學多元表征簡言之，是指數(shù)學表現(xiàn)出的語言化、視覺化等多種不同本質的表征，數(shù)學這些多元化表征是學生進行數(shù)學學習的一個載體，也是一種方法. 如果將數(shù)學這些多元表征具象化和概括化，可以分為動作、肖像和符號. 動作表征是指數(shù)學操作特征;肖像表征是指數(shù)學文字表面特征;符號表征是指數(shù)學知識的內涵與本質. 目前存在于高中數(shù)學教學中的問題是，教育者容易側重于某一表征的學習，有的重表面理論講解輕實踐;有的重操作卻不與數(shù)學本質相聯(lián)系;有的忽視動作表征與肖像表征的經(jīng)歷過程，而直接進入相對較為抽象的數(shù)學核心......不同表征代表著不同程度的思維活動，只有將三種表征融于一體實施教學，才能夠實現(xiàn)多元表征的深度學習. 本文以“等差數(shù)列”教學過程為例，對基于多元表征原則下的高中數(shù)學教學實踐進行深入研究.

多元表征下“等差數(shù)列”教學設計與過程

等差數(shù)列是蘇教版高中數(shù)學必修5的內容，它是等比數(shù)列的基礎，也是高考重點內容. 等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中被廣泛應用，是培養(yǎng)高中生數(shù)學應用能力的最佳素材. 等差數(shù)列是引導高中生開始對特殊數(shù)列進行探究的起始課，在學生對數(shù)列進行后續(xù)學習時，在知識與方法上均有著促進作用. 高中生在此階段，數(shù)學概括力與分析力均已具備，對于數(shù)列也并不完全陌生，并具備了一定的運用數(shù)學公式的技能，思維開始從經(jīng)驗性向抽象性發(fā)展，但對于抽象邏輯關系的理解還需要借助必要的具象材料. 基于此，為了實現(xiàn)數(shù)學多元表征的融合，本課通過情境創(chuàng)建（肖像表征）、多媒體輔助教學（動作表征）和自主探究（符號表征）等多種教學方法和教學形式，引導學生進行思維上的深層次參與. 具體教學過程如下：

1. 創(chuàng)建問題情境

師：一起看視頻.

視頻1：2008年北京奧運會女子舉重回放. 女子舉重按體重設置了七個級別，較輕的四個級別分別是48，53，58，63.

視頻2：為了保持水庫里的魚享有良好環(huán)境，管理員通過定期放水清理水庫. 某水庫水位是18米，每天自然放水使水位下降2.5米，最低降到5米. 自放水第一天到能夠進行清理的時間，每天水庫水位的數(shù)為18，15.5，13，10.5，8，5.5.

師：大家想一想這些數(shù)據(jù)說明了什么問題，每行數(shù)是否存在共同點？

繪制表格，并啟發(fā)：大家可不可以用數(shù)學語言對表格中每行的數(shù)所具有的共同特征進行描述？

（設計意圖：兩個視頻充分說明數(shù)學與生活具有緊密的聯(lián)系，生活中有數(shù)學，數(shù)學應用于生活. 從生活中抽離出數(shù)學問題，就是從肖像表征向符號表征過渡，揭示該數(shù)學研究的本質是數(shù)，因此拋開情境背景，以表格的形式抽象出此數(shù)列的特征. ）

生：后一項和前一項差是常數(shù).

這時老師通過幾組反例加深學生對數(shù)列共同特征“同一常數(shù)，從第二項起”的深刻理解.

師：現(xiàn)在可不可以用數(shù)學語言來表述一下？

生：an-an+1=d.

師：是否等價？

生：應該加上“d是常數(shù)”，n≥2，n∈N*.

師：非常好，那么在生活中有沒有其他具有此特征的數(shù)列的例子？

生：成年女性的鞋碼是21，21.5，22， 22.5，23，23.5，24，24.5，25.

......

師：的確，有很多具有這種特征的數(shù)列，我們可以給它起個什么樣的名字？

生：等差數(shù)列.

師：我們再回到剛才的表格，計算一下它們的公差？有沒有好的辦法把數(shù)列中的數(shù)統(tǒng)一起來？

生：如果可以求出通項公式，問題就簡單了.

2. 多媒體進行啟發(fā)引導

師：如果一個數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，那么的通項公式是什么？

生1：（通過計算得出了）an=a1+（n-1）d.

師：歸納是從第幾項開始的？

生1：第2項，因此n≥2.

師：如果n等于1呢？

生1：同樣成立，所以等差數(shù)列通項公式是“an=a1+（n-1）d（n∈N*）”.

師：非常棒，那么是不是還存在別的推導方法？

生2用迭代法進行了現(xiàn)場演示，并得出結論.

老師將該學生推導過程通過多媒體進行再現(xiàn)，并引導學生按此思路嘗試尋找到更多方法. 學生均感到有些困難，這時進行啟發(fā)：看看第一個方法中第一個式子，是不是可以找到什么規(guī)律？

生3：還可以采用累加……

老師對通項公式推導方法進行總結，并歸納它們的共同特點，加深學生印象.

3. 應用探究

多媒體出示例題，讓學生選出代表進行現(xiàn)場講解.

例題1：求等差數(shù)列“8，5，2，…”第20項;“-401”是不是等差數(shù)列“-5，-9，-13，…”中的一項，如果是，它是第幾項？

例題2：假設數(shù)列通項公式是“an=pn+q”，且p和q為常數(shù)，p≠0，那么是否能判斷該數(shù)列為等差數(shù)列？如果是，公差和首項是什么？

師：大家剛才講解得很好，現(xiàn)在再仔細觀察數(shù)列通項公式，是否感覺它有些熟悉，與我們之前學過的一些內容相似，大家想到了什么？

很自然地引出一次函數(shù).

師：通過一次函數(shù)圖像特點，是不是也可以將等差數(shù)列圖像作出來？

鼓勵學生用幾何畫板進行現(xiàn)場繪制. 最后通過多媒體播放幻燈片：“一次函數(shù)‘y=px+q和等差數(shù)列‘a(chǎn)n=pn+q的比較”，讓學生進行直觀觀察.

4. 總結和作業(yè)布置

師：嘗試用語言描述一下你今天的所學.

不限制標準答案，主要調動學生的參與性，有回答不完整的可以讓其他人幫助補充，從而鍛煉學生歸納、概括以及表達能力，同時用多媒體將學生的歸納用表格形式呈現(xiàn)出來. 最后布置作業(yè)，作業(yè)分必答和選答，必答作業(yè)為閱讀和書面作業(yè)，選答作業(yè)是一道“彈性作業(yè)”：從等差數(shù)列定義中是否可以推導出“等和數(shù)列”，它會有怎樣的定義和性質？

多元表征下高中數(shù)學深度學習的實踐反思

在問題情境的引導下，讓學生自主開展探究，給高中生數(shù)學學習提供了多樣化選擇，這對于幫助學生從數(shù)學表面特征走向深層次的本質內涵有著重要的促進作用. 在問題情境的“催發(fā)”下，學生的探究心理更加強烈，參與度也很高. 在探究過程中會積極地進行觀察、猜想和推理，這使知識構建與知識理解的過程更加主動.

數(shù)學教學中，最主要的是教會學生在遇到實際問題時應該采取怎樣的思維方式，以及如何找到有效的解決方法. 多元表征背景下的教學過程，引導學生通過運用猜想、歸納等數(shù)學思想方法去自主探究問題解決的方法與途徑，是數(shù)學思想方法的一種自然滲透，也是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要內容.

讓多媒體走進數(shù)學課堂，是將數(shù)學多元化表征最直觀地展現(xiàn)于學生面前的最佳方法，愉快而輕松的動感演示，讓抽象的表征變得形象豐富，調動學生聽覺、視覺等多種感官獲取有用的信息，這對于突破教學重點，化解知識難點起到了關鍵作用. 最后作業(yè)的設計，完全是建立在尊重學生個性差異的基礎上，通過必答與選答讓學習更具選擇性，學生可以根據(jù)自己的“實力”去努力完成，這在某種程度上更會激發(fā)學生學習的積極性，而開放性問題的設計則凸顯了注重學生進行數(shù)學實踐的理念.

結語

數(shù)學的多元表征，是包括了數(shù)學文字、公式、概念、性質的“數(shù)”，以及涵蓋了模型、圖形、圖像的“形”，所以在高中數(shù)學教學中，多元表征本質上就是數(shù)形結合的多種形式. 雖然目前多元表征的數(shù)學學習并沒有可循之法，但只要教育者能夠把握住這個內涵，運用多種形式與方法，引導學生在學習中進行實踐再實踐，認識再認識，創(chuàng)造再創(chuàng)造，深度學習就會自然發(fā)生.