石懷濤, 趙紀(jì)宗, 張 宇

(沈陽(yáng)建筑大學(xué) a.機(jī)械工程學(xué)院；b.高檔石材數(shù)控加工裝備與技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110168)

0 引言

高速電主軸作為數(shù)控機(jī)床加工的核心部件，是先進(jìn)制造技術(shù)的載體，其各項(xiàng)工作性能的好壞將直接影響著數(shù)控機(jī)床甚至整個(gè)制造業(yè)的發(fā)展。隨著高速電主軸向高轉(zhuǎn)速、高精度、高效率方向的發(fā)展，對(duì)電主軸本身和電主軸的動(dòng)力學(xué)特性也提出了更高的要求[1-3]。電主軸在高轉(zhuǎn)速情況下運(yùn)行時(shí)會(huì)不同程度的產(chǎn)生離心力、慣性力和各種不平衡響應(yīng)，當(dāng)外界激振力的頻率和電主軸的固有頻率相接近或者相等時(shí)，主軸系統(tǒng)就會(huì)發(fā)生共振，這將會(huì)嚴(yán)重影響加工零件的加工精度和質(zhì)量。高性能結(jié)構(gòu)陶瓷作為高速主軸軸承及主軸材料，可以充分發(fā)揮陶瓷材料密度小、耐高溫、耐磨損、高強(qiáng)度等優(yōu)良性能，最大程度的降低電主軸在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的離心力、慣性力以及各種不平衡響應(yīng)，大大的提高電主軸的運(yùn)轉(zhuǎn)精度[4-5]。因此，“高轉(zhuǎn)速、高精度、高效率及小振動(dòng)”成為陶瓷電主軸應(yīng)用的巨大優(yōu)勢(shì)。

目前常用的研究高速電主軸動(dòng)力學(xué)特性的方法主要有以下三種方法：集中參數(shù)法、傳遞矩陣法和有限元法[6-9]。集中參數(shù)法將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為互相影響，互相作用的多剛體系統(tǒng)，將質(zhì)量分散生成包含系統(tǒng)動(dòng)力耦合特性的集中參數(shù)模型；傳遞矩陣法是把復(fù)雜的線性系統(tǒng)分割為若干個(gè)元素，用矩陣來(lái)描述各個(gè)元素之間的特性，用這些矩陣的乘積即可表示整個(gè)系統(tǒng)的特性，在利用兩端的邊界條件，就可以求得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性；有限元法首先是將彈性系統(tǒng)分割為若干個(gè)元素，把系統(tǒng)離散化之后建立起各個(gè)單元之間的運(yùn)動(dòng)方程，再以單元的節(jié)點(diǎn)位移函數(shù)來(lái)表示單元內(nèi)的位移特性，從而導(dǎo)出質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式，求得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。其中集中參數(shù)法在實(shí)際中運(yùn)用的比較少，而有限元法隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展能夠快速準(zhǔn)確的求出轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，但是使用有限元法對(duì)計(jì)算機(jī)硬件要求極高且占用內(nèi)存大[10-11]；傳統(tǒng)傳遞矩陣法以程序簡(jiǎn)單、耗時(shí)少和所需內(nèi)存小的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛的應(yīng)用，但是隨著計(jì)算頻率的提高，運(yùn)算的精度降低[12]。

近年來(lái)，電主軸動(dòng)力學(xué)特性在主軸工作中的重要影響引起了國(guó)內(nèi)外專家的研究熱潮，并取得了比較突出的成果。殷國(guó)富等[13]、陳小安[14]、王建平等[15]以及Jorgensen B R等[16]分別使用有限元仿真和影響系數(shù)法對(duì)電主軸的動(dòng)靜態(tài)性能進(jìn)行了分析，且綜合考慮各個(gè)耦合系統(tǒng)之間的關(guān)系提出了新型電主軸的耦合動(dòng)力學(xué)模型，但在計(jì)算時(shí)不同程度的對(duì)軸承載荷和變形關(guān)系進(jìn)行線性簡(jiǎn)化，且是集中在動(dòng)態(tài)模型的建立及分析產(chǎn)生振動(dòng)的機(jī)理。

本文采用采用Riccati法建立電主軸動(dòng)力學(xué)理論模型，使用Matlab編程Riccati法和Prohl法計(jì)算電主軸固有頻率與臨界轉(zhuǎn)速，將仿真結(jié)果與錘擊法試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了Riccati法建立的170SD30電主軸理論模型的準(zhǔn)確性，并分析相同轉(zhuǎn)速不同節(jié)點(diǎn)和不同轉(zhuǎn)速下不同節(jié)點(diǎn)上軸系的不平衡響應(yīng)；同時(shí)運(yùn)用有限元ANSYS對(duì)電主軸進(jìn)行諧響應(yīng)分析，研究不同的預(yù)緊力對(duì)主軸振動(dòng)性能的影響。

1 高速電主軸動(dòng)力學(xué)建模

傳遞矩陣法首先將高速電主軸簡(jiǎn)化為集中參數(shù)力學(xué)模型，在簡(jiǎn)化過(guò)程中，按照質(zhì)心不變的原則，在盡量保持高速電主軸所有動(dòng)力學(xué)特性的前提下，將高速電主軸系的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡(jiǎn)化成為由集中質(zhì)量和若干軸段組成的模型[17]。

1.1 模型簡(jiǎn)化

電主軸是新一代機(jī)、電、液一體化的加工中心用高速精密主軸，主要由殼體、主軸、軸承、定子和轉(zhuǎn)子等零件組成[18]。圖1給出了170SD30 型電主軸的結(jié)構(gòu)示意圖，其前后軸承均采用角接觸球軸承，主軸前端軸承型號(hào)為7015C，后端型號(hào)為7012C。

圖1 170SD30電主軸結(jié)構(gòu)圖

主軸的支撐一般采用角接觸球軸承，由于存在初始預(yù)緊力，會(huì)使其所承受的工作載荷能力和主軸剛度有所提高。因此，在簡(jiǎn)化電主軸模型時(shí)需要考慮軸承的剛度。軸承的剛度可以分為徑向剛度、軸向剛度和角剛度，在實(shí)際工況下，隨著轉(zhuǎn)速的提高軸向剛度和角剛度都會(huì)達(dá)到一個(gè)較為穩(wěn)定的值，對(duì)電主軸的動(dòng)力學(xué)特性影響很小[19]。所以在簡(jiǎn)化高速電主軸模型時(shí)軸承可以簡(jiǎn)化為4個(gè)徑向均布的彈簧，只考慮其徑向剛度，簡(jiǎn)化后如圖2所示。在添加軸向預(yù)緊力的情況下，徑向剛度的計(jì)算公式為[20]：

(1)

其中，δ為角接觸陶瓷球軸承修正系數(shù)；Db為滾動(dòng)體直徑(8mm)；Z為軸承滾動(dòng)體數(shù)目(18個(gè))；α為接觸角(150)；Fa0為軸向預(yù)緊力，本文研究的電主軸是輕載取δ=1.8，前后預(yù)緊力都是400N。代入上式得Kr=2245.42N·mm-1。

圖2 電主軸實(shí)體簡(jiǎn)化模型

1.2 節(jié)點(diǎn)劃分

在使用傳遞矩陣法對(duì)高速電主軸進(jìn)行模型簡(jiǎn)化時(shí)，需要對(duì)電主軸進(jìn)行節(jié)點(diǎn)劃分，而節(jié)點(diǎn)的數(shù)目將會(huì)嚴(yán)重影響電主軸臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算結(jié)果，其中節(jié)點(diǎn)數(shù)太少計(jì)算結(jié)果不精確；節(jié)點(diǎn)數(shù)太多會(huì)導(dǎo)致計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，耗費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)，誤差增大。根據(jù)等截面梁的計(jì)算結(jié)果，如果要求計(jì)算的高速電主軸的臨界轉(zhuǎn)速誤差小于1%，那么節(jié)點(diǎn)總數(shù)N應(yīng)滿足如下關(guān)系[21]：

N≥1+5.34r

(2)

式(2)中，r為要求計(jì)算的主軸固有頻率(或臨界轉(zhuǎn)速)的最高階數(shù)，根據(jù)轉(zhuǎn)子模型，電主軸被劃分為25個(gè)節(jié)點(diǎn)，則r=4。建立的電主軸的簡(jiǎn)化力學(xué)模型如下圖3所示。

圖3 電主軸的簡(jiǎn)化力學(xué)模型

2 Riccati傳遞矩陣法對(duì)電主軸的分析計(jì)算

2.1 傳遞矩陣法基本原理與計(jì)算方法

Riccati傳遞矩陣法建立的新型高速電主軸模型計(jì)算主軸的臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，在編程時(shí)考慮了剪切效應(yīng)和截面系數(shù)等影響因素，計(jì)算結(jié)果更精確，計(jì)算速度更快[22]。

在構(gòu)建電主軸的傳遞矩陣時(shí)，為考慮剪切效應(yīng)的影響，要在矩陣中加入剪切影響系數(shù) ：

(3)

式中，E為彈性模量，I為截面對(duì)中性軸的慣性矩，kt為截面系數(shù)，G為材料剪切模量，A為截面積，l為軸段的長(zhǎng)度。

由材料力學(xué)，截面系數(shù)：

(4)

式中，x為不均勻分布系數(shù)，是一個(gè)無(wú)量綱系數(shù)。計(jì)算公式如下：

(5)

(6)

通過(guò)式(5)和式(6)計(jì)算可以得到，不均勻分布系數(shù)x與電主軸的截面形狀有相關(guān)。其中圓形截面，x由內(nèi)外徑的比值確定，具體關(guān)系如表1所示。在本文中，170SD30 型電主軸為實(shí)心即是內(nèi)外徑比值為d/D=0.5，因此x取值1.69。

表1 內(nèi)外徑的比值與不均勻分布系數(shù)的關(guān)系

Riccati傳遞矩陣法的計(jì)算原理是：首先把軸劃分為若干等質(zhì)量的軸段，然后根據(jù)軸段兩端的邊界條件，從軸的一端逐步遞推到另一端，從而確定起始端的狀態(tài)向量，在反過(guò)求各個(gè)截面的狀態(tài)向量；在轉(zhuǎn)速由小變大的過(guò)程中，響應(yīng)最大的點(diǎn)即為臨界轉(zhuǎn)速[23]。

Ti=

Riccati傳遞矩陣法把每個(gè)節(jié)點(diǎn)Z的狀態(tài)矢量的r個(gè)元素分成f和e兩組，即：

(7)

(8)

式中，

將式(8)展開(kāi)，得：

(9)

引入如下Riccati變換：

fi=Siei

(10)

式中，Si稱為Riccati矩陣，它是一個(gè)r/2×r/2的方陣，將上式代入(8)得：

(11)

(12)

對(duì)比式(10)和式(12)，可知：

(13)

這就是Riccati傳遞矩陣的遞推公式。

由起始截面的邊界條件知f1=0,e1≠0,故有初值S1=0。在已知u11、u12、u21、u22的條件下，反復(fù)利用式(13)，就可以順次遞推得到S1、S2......、Sn。

對(duì)于右端截面N+1的節(jié)點(diǎn)則有：

fN+1=SN+1eN+1

(14)

由右端的邊界條件fN+1=0及eN+1≠0,故式(14)有非零解的條件為：

(15)

這就是系統(tǒng)的頻率方程式。滿足式(15)的根ω即為所求的臨界轉(zhuǎn)速的角速度。

2.2 主軸系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)分析

質(zhì)量不平衡響應(yīng)是主軸系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)分析中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，在實(shí)際情況下，由于轉(zhuǎn)子材質(zhì)不均、加工誤差及安裝偏差等原因，軸系總是存在質(zhì)量不平衡，因此分析主軸系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)是非常重要且有意義的。

初始輸入電主軸的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：定子外徑D1=130mm，定子內(nèi)徑D2=80mm，軸端長(zhǎng)度l=11mm，支撐剛度Kr=2245.42N·mm-1，單元質(zhì)量m=6.0×10-9t/mm3。其中軸段材料參數(shù)入下：彈性模量E=20600N·mm-2，泊松比μ=0.3，密度ρ=7.85g·cm-3。輸入轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)后，調(diào)用函數(shù)計(jì)算單元的5個(gè)特征值：質(zhì)量m、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ip、直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Id、彈性模量與截面對(duì)中性軸的慣性矩的乘積EI以及剪切影響系數(shù)。

運(yùn)用Matlab編寫(xiě)Prohl法、 Riccati法的程序，可以求得轉(zhuǎn)子各階固有頻率和臨階轉(zhuǎn)速具體算法流程圖如圖4所示，求解得前4階固有頻率對(duì)比結(jié)果如表2所示。

圖4 算法流程圖

階數(shù)Riccati法Prohl法固有頻率/Hz誤差/%11667.91661.56.022058.12032.58.232956.52890.29.344193.23866.17.8

從表2中可以得到Riccati法比Prohl法計(jì)算的固有頻率值更大，且兩者最大誤差為9.3%，后面將計(jì)算仿真結(jié)果于實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

根據(jù)Riccati傳遞矩陣法的基本原理，假設(shè)主軸系統(tǒng)軸系上存在著偏心質(zhì)量0.1kg，偏心距0.005m，工作轉(zhuǎn)速為3000r/min。運(yùn)用Matlab編制程序計(jì)算偏心質(zhì)量處于不同節(jié)點(diǎn)時(shí)的不平衡響應(yīng)，不平衡量加在節(jié)點(diǎn)3，10，14，15，20，24上，仿真結(jié)果如圖5所示。

(a) 節(jié)點(diǎn)3 (b) 節(jié)點(diǎn)10

(c) 節(jié)點(diǎn)14 (d) 節(jié)點(diǎn)15

(e) 節(jié)點(diǎn)20 (f) 節(jié)點(diǎn)24 圖5 不同節(jié)點(diǎn)上相同轉(zhuǎn)速下軸系的不平衡響應(yīng)

可以看出，軸系兩端彈性支撐附近(節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)24)對(duì)不平衡量很敏感，即是如果發(fā)生不平衡，響應(yīng)的振幅最大。

針對(duì)不平衡量加在節(jié)點(diǎn)3，10，14，15，20，24以上幾種不平衡分布情況，采用Riccati傳遞矩陣法計(jì)算不同轉(zhuǎn)速下的響應(yīng)結(jié)果 ，如圖6所示。由圖可以看到主軸轉(zhuǎn)速?gòu)?r/min逐漸增大的過(guò)程中，整個(gè)軸系的不平衡響應(yīng)，其中頻率在接近1600Hz和3100Hz處各點(diǎn)的振幅突然增大，說(shuō)明軸系發(fā)生了共振。

(a) 節(jié)點(diǎn)3 (b) 節(jié)點(diǎn)10

(c) 節(jié)點(diǎn)14 (d) 節(jié)點(diǎn)15

(e) 節(jié)點(diǎn)20 (f) 節(jié)點(diǎn)24 圖6 不同節(jié)點(diǎn)上不同相同轉(zhuǎn)速下軸系的不平衡響應(yīng)

3 實(shí)驗(yàn)分析與結(jié)果討論

為了驗(yàn)證Riccati傳遞矩陣法仿真結(jié)果的正確性，搭建了高速電主軸動(dòng)態(tài)性能測(cè)試系統(tǒng)。本實(shí)驗(yàn)采用錘擊法對(duì)170SD30 型高速電主軸進(jìn)行敲擊，并對(duì)輸入輸出信號(hào)進(jìn)行激振和采集。實(shí)驗(yàn)設(shè)備包括力錘、電荷放大器、加速度傳感器、力傳感器、信號(hào)采集儀等。實(shí)驗(yàn)測(cè)試流程圖及實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖7和圖8所示。

圖7 電主軸動(dòng)態(tài)性能測(cè)試流程圖

圖8 電主軸動(dòng)態(tài)性能測(cè)試系統(tǒng)

在電主軸上所安裝的傳感器是加速度振動(dòng)傳感器，是采集振動(dòng)信號(hào)的主要設(shè)備，通常由質(zhì)量塊、阻尼器、彈性元件、敏感元件和適調(diào)電路等部分組成。本套實(shí)驗(yàn)設(shè)備的傳感器主要參數(shù)如表3所示。

表3 傳感器主要參數(shù)

為了降低實(shí)驗(yàn)誤差，得到更準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本實(shí)驗(yàn)主要選取3個(gè)錘擊點(diǎn)，分別是主軸前段，主軸中部和主軸后端。實(shí)驗(yàn)方法為單點(diǎn)響應(yīng)，多點(diǎn)施振，具體步驟如下，首先，啟動(dòng)主軸，從某一低速開(kāi)始運(yùn)行，然后，用力錘對(duì)每個(gè)測(cè)點(diǎn)敲擊6次，力錘加在主軸前端的沖擊力為100 N，其次，按一定的步長(zhǎng)逐步提高轉(zhuǎn)速，同時(shí)對(duì)每種轉(zhuǎn)速下電主軸的振動(dòng)響應(yīng)值進(jìn)行測(cè)量并記錄，最后，獲得電主軸振動(dòng)響應(yīng)值曲線，如圖9所示。

圖9 電主軸振動(dòng)響應(yīng)曲線

由圖9得到1767.6Hz、2214.0 Hz、3186.6Hz分別為主軸的前3階頻率，其余的波峰為電磁噪聲的干擾振動(dòng)頻率。Riccati傳遞矩陣法得到的電主軸前三階固有頻率分別是1667.9 Hz、2058.1Hz、2956.5Hz，最大誤差不超過(guò)7.2%，比傳統(tǒng)傳遞矩陣法精度提高了2.1%。由此證明了Riccati傳遞矩陣法分析電主軸的準(zhǔn)確性和可行性。

4 預(yù)緊力對(duì)軸系振動(dòng)的影響

軸承預(yù)緊力對(duì)主軸系統(tǒng)的固有頻率、振動(dòng)、剛度、軸承溫升等具有重要影響。如果能對(duì)主軸系統(tǒng)施加合適的預(yù)緊力，它能夠有效提高軸系的固有頻率、軸系剛度，降低軸系振動(dòng)，對(duì)于提高主軸系統(tǒng)的運(yùn)行性能具有重大意義。

在ANSYS中有三種諧響應(yīng)分析方法：完全法、縮減法和模態(tài)疊加法。其中綜合考慮計(jì)算效率、方法特點(diǎn)及主軸系統(tǒng)的具體情況，本文采用模態(tài)疊加法進(jìn)行諧響應(yīng)分析計(jì)算[24]。

在激振力的作用下，當(dāng)激振力的固有頻率和電主軸的固有頻率相等時(shí)，在電主軸的固有頻率處會(huì)發(fā)生共振并產(chǎn)生響應(yīng)位移。本文主要對(duì)不同預(yù)緊力下軸系一階頻率的響應(yīng)位移進(jìn)行了計(jì)算分析，選取初始激振力F=50N，加載在主軸前段。具體分析步驟如下：

⑴在對(duì)模擬軸承的彈簧處施加阻尼。對(duì)前軸承的模擬彈簧施加阻尼為1.17N·s/mm，對(duì)后軸承的模擬彈簧施加阻尼為 0.765N·s/mm。

⑵計(jì)算初始預(yù)緊力為50N時(shí)電主軸的固有頻率。根據(jù)軸承徑向剛度計(jì)算公式(1)，對(duì)前后軸承的軸向彈簧施加剛度為Kr=2245.42N·mm-1。通過(guò)有限元軟件首先計(jì)算出軸系相應(yīng)的固有頻率，之后再計(jì)算出在此固有頻率下的軸系諧響應(yīng)，并分別記錄軸系前端、中間和后端的諧響應(yīng)位移。

⑶重復(fù)步驟⑵分別求當(dāng)對(duì)軸承施加預(yù)緊力為100N、150N、200N、250N、300N、350N、400N時(shí)，主軸前端、中間和后端的諧響應(yīng)位移。

根據(jù)以上步驟可以得到當(dāng)主軸在不同預(yù)緊力下作用時(shí)，主軸前端、主軸后端和主軸中間的徑向響應(yīng)位移，如圖10～圖12所示。

圖10 主軸前端徑向響應(yīng)

圖11 主軸后端徑向響應(yīng)位移

圖12 主軸中間徑向響應(yīng)位移

從圖10～圖12中可以得到，主軸前端和后端的徑向響應(yīng)位移隨著預(yù)緊力的增大而減小，主軸中間的徑向響應(yīng)位移隨著預(yù)緊力的增大而增大。由此可以得到對(duì)軸承施加合適預(yù)緊力能夠降低主軸前端和后端的振動(dòng)，且在主軸軸承等彈性支撐附近施加的預(yù)緊力要比在非彈性支撐處施加的預(yù)緊力大，有助于降低振動(dòng)位移，這對(duì)指導(dǎo)研發(fā)高性能電主軸具有重要意義。

5 結(jié)論

(1)Riccati傳遞矩陣法求得的電主軸的固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速與實(shí)驗(yàn)結(jié)果最大誤差為7.2%，比傳統(tǒng)矩陣法精度提高了2.1%，證明了Riccati傳遞矩陣法的準(zhǔn)確行與可行性，解決了傳統(tǒng)傳遞矩陣法運(yùn)算精度降低的問(wèn)題。

(2)電主軸在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，在軸系的彈性支撐附近對(duì)不平衡量比較敏感，響應(yīng)的振幅較大，易發(fā)生共振。

(3)適當(dāng)增加預(yù)緊力能夠降低主軸前端和主軸后端的振動(dòng)，可以有效的避免由于振動(dòng)帶來(lái)的影響。