朱曉明

【摘要】函數(shù)與不等式的恒成立問題一直是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重、難點(diǎn)問題.這類問題在各類考試以及高考中都屢見不鮮，容易混淆，學(xué)生往往感覺題型變化無常，沒有一個(gè)固定的思想方法去處理，不知如何下手，因此，備受困擾.在此，為了更好地、準(zhǔn)確地把握這類問題的快速解決，本文就恒成立問題，結(jié)合具體例題對(duì)常見的解法做了一些初步探索和總結(jié).

【關(guān)鍵詞】函數(shù);恒成立;方法

恒成立問題綜合考查函數(shù)、方程和不等式的主要內(nèi)容，并且與函數(shù)的最值、方程的解和參數(shù)的取值范圍緊密相連，又是體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)基本思想和方法的載體.恒成立問題一般有最值轉(zhuǎn)換法、變量處理法和數(shù)形結(jié)合法.

一、最值轉(zhuǎn)換法

對(duì)含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題，可以用求函數(shù)最值的方法，即：

（1）f（x）>m恒成立f（x）min>m;

（2）f（x）

典型例題

例1 已知f（x）=x2+2x+ax，對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 f（x）=x2+2x+ax≥0對(duì)任意x∈[1，+∞）恒成立，

等價(jià)于φ（x）=x2+2x+a≥0對(duì)任意x∈[1，+∞）恒成立，

又等價(jià)于x≥1時(shí)，φ（x）min≥0成立.

由于φ（x）=（x+1）2+a-1在[1，+∞）上為增函數(shù)，

則φ（x）min=φ（1）=a+3，∴a+3≥0，a≥-3.

即a的取值范圍為[-3，+∞）.

二、變量處理法

恒成立問題通常包含2個(gè)以上變量，變量之間相互制約.如果對(duì)變量的處理方法得當(dāng)，通常能夠化繁為簡，事半功倍.變量的處理方法根據(jù)具體情況又可細(xì)分，如：

（1）分離參數(shù)法.在同一個(gè)等式或不等式中，將主元與輔元分離，一般適用于參數(shù)與變量易于分離，并且分離后的函數(shù)最值容易求出的題型.

（2）主元變換法.對(duì)含有兩個(gè)參數(shù)，且已知一個(gè)參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，求另一參數(shù)的取值范圍.

（3）消元轉(zhuǎn)換法.對(duì)含有兩個(gè)以上變量的不等式恒成立問題，可以根據(jù)題意依次進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問題，使問題得到解決.

典型例題

例2 已知對(duì)任意的a∈[-1，1]，函數(shù)f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0恒成立，求x的取值范圍.

解析 令g（a）=（x2+2x-1）a-4x+3在a∈[-1，1]時(shí)，g（a）>0恒成立，

則g（-1）>0，g（1）>0， 得-3-13

即x的取值范圍為{x|-3-13

點(diǎn)評(píng) 本題若按照常規(guī)思路：a=0時(shí)，f（x）是一次函數(shù);a≠0時(shí)，是二次函數(shù)兩種情況討論，不容易求x的取值范圍.因此，我們不能總是把x看成是變量，把a(bǔ)看成是參數(shù)，我們可以通過變量轉(zhuǎn)化，把a(bǔ)看成變量，x看成常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)問題，問題就變得容易求解.

三、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用.我們知道，函數(shù)圖像和不等式有著密切的聯(lián)系，對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用構(gòu)造對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)的圖像法求解.如，

（1）f（x）>g（x）函數(shù)f（x）圖像恒在函數(shù)g（x）圖像上方;

（2）f（x）

對(duì)以上f（x）≥g（x）型問題，可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的關(guān)系再處理.若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖像，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果.尤其對(duì)選擇題、填空題，這種方法更顯方便、快捷.凡是能與六種基本函數(shù)聯(lián)系起來的相關(guān)問題，都可以考慮此法.

典型例題

例3 當(dāng)x≥0時(shí)，不等式（5-a）x2+6x+a+5>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 令f（x）=（5-a）x2+6x+a+5，由題意，f（x）>0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立.

（1）當(dāng)5-a=0，即a=5時(shí)，有6x+10>0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立.

（2）當(dāng)5-a≠0時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的圖像，

有-62（5-a）<0，f（0）>0，5-a>0 或-62（5-a）≥0，5-a>0，Δ=36-4（5-a）（a+5）<0，

解得-5

綜合（1）（2），得a∈（-5，5].

恒成立問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，這類試題綜合性比較強(qiáng)，難度大，可以綜合集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、方程及導(dǎo)數(shù)等諸多方面知識(shí)，其題型和解題方法靈活多樣.解決此類問題可培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題、綜合駕馭知識(shí)的能力，在此基礎(chǔ)上充分挖掘他們的創(chuàng)造潛能，以理性的探索、求真、質(zhì)疑作為堅(jiān)強(qiáng)的依托，合理地選擇有效的手段與策略，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)與方法進(jìn)行探索研究，甚至是創(chuàng)造性地解決問題.[1]

【參考文獻(xiàn)】

[1]武小強(qiáng).恒成立問題解法總結(jié)[J].試題與研究：新課程論壇，2009（23）：38.