朱立明，武麗莎

（1. 唐山師范學(xué)院 教育學(xué)院，河北 唐山 063000；2. 唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

一、引言

（一）研究背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）中提出符號(hào)意識(shí)[1]，標(biāo)志著數(shù)學(xué)課程理念開始從以學(xué)科為本轉(zhuǎn)向以學(xué)生為本。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中要不斷同化數(shù)學(xué)符號(hào)及其關(guān)系。因此，在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中，學(xué)生除了要明白數(shù)學(xué)符號(hào)本身的意義，還應(yīng)該更好地利用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，這就要求學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，因此，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)既是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，也是一種數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[2]。

（二）研究問題

數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，具有內(nèi)隱特征與外在表現(xiàn)[3]，數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的內(nèi)隱特征表現(xiàn)為以數(shù)學(xué)思維為內(nèi)核的心理活動(dòng)，外在表現(xiàn)是一種動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)符號(hào)能力，其外顯性決定了學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的可測(cè)性。因此，本研究關(guān)鍵在于探尋義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展轉(zhuǎn)折節(jié)點(diǎn)，為數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)提供指引。

二、理論基礎(chǔ)

SOLO分類理論（Structure Of the Observed Learning Outcome）以結(jié)構(gòu)主義為基礎(chǔ)，旨在檢測(cè)學(xué)生回答問題時(shí)所表現(xiàn)出來的思維結(jié)構(gòu)，用來描述學(xué)生的反應(yīng)及其層次水平，并將學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果劃分為以下五種進(jìn)階式結(jié)構(gòu)：（1）前結(jié)構(gòu)水平：處在該層次水平的學(xué)生不具備解決問題的基礎(chǔ)知識(shí)，或處于被無關(guān)知識(shí)困擾的混沌狀態(tài)，不能獲取問題解決的方法；（2）單一結(jié)構(gòu)水平：處在該層次水平的學(xué)生過于關(guān)注題干中單一線索，并直接得出問題的答案；（3）多元結(jié)構(gòu)水平：處在該層次水平的學(xué)生能夠?qū)で蟾嘞嚓P(guān)性，但缺乏將其系統(tǒng)融合的能力；（4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平：處在該層次水平的學(xué)生可以構(gòu)建相關(guān)線索之間的聯(lián)系，將其整合成為一個(gè)“線索群”，能夠應(yīng)對(duì)復(fù)雜問題的求解；（5）擴(kuò)展抽象結(jié)構(gòu)水平：處在該層次水平的學(xué)生會(huì)在理解、歸納的基礎(chǔ)上將問題進(jìn)行拓展，是更高層次的學(xué)習(xí)能力，表現(xiàn)出更強(qiáng)的創(chuàng)新意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)[4]。

三、研究方法與設(shè)計(jì)

（一）樣本選取

本研究中學(xué)生樣本的選取主要考慮以下兩個(gè)條件：一是所選樣本具有一定的代表性，二是所選樣本具有測(cè)評(píng)研究的可行性。因此，考慮不同區(qū)域、不同水平的學(xué)校，在深圳、天津和長(zhǎng)春共選取18所學(xué)校，其中小學(xué)、初中各9所學(xué)校，學(xué)校層次為優(yōu)質(zhì)學(xué)校、中等學(xué)校、一般學(xué)校三類，從三類學(xué)校1至9年級(jí)中各抽取一個(gè)普通年級(jí)，小學(xué)2 309人，中學(xué)1 168人，共回收有效測(cè)評(píng)問卷3 207份，其中小學(xué)2 039份，初中1 168份。

表1 學(xué)生調(diào)查樣本分布狀況

（二）工具設(shè)計(jì)

本研究通過詞頻分析，經(jīng)過兩輪專家咨詢，最終構(gòu)建了數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的四個(gè)分析層次，即數(shù)學(xué)符號(hào)的感知與識(shí)別（GS）①、數(shù)學(xué)符號(hào)的理解與運(yùn)算（LY）、數(shù)學(xué)符號(hào)的聯(lián)想與推理（LT）、數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象與表達(dá)（CB）。

基于四個(gè)分析層次來設(shè)計(jì)題項(xiàng)，題項(xiàng)的選擇主要考慮四個(gè)來源：（1）相關(guān)研究中的調(diào)查問卷；（2）《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的典型問題；（3）對(duì)教科書中經(jīng)典問題改編；（4）改造小升初以及中考試題。經(jīng)多輪試測(cè)與修訂后，調(diào)查問卷題項(xiàng)能夠以《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》作為基準(zhǔn)，以現(xiàn)行教科書作為載體，以義務(wù)教育學(xué)段作為參考，以分析層次作為標(biāo)尺，較好地控制了深度與廣度。由于測(cè)評(píng)對(duì)象的年級(jí)跨度較大，涵蓋了從1年級(jí)到9年級(jí)的學(xué)生，因此在問卷設(shè)計(jì)中，就需要考慮由于學(xué)生自身發(fā)展對(duì)測(cè)評(píng)帶來的影響。為了更好地使問卷一致性與學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展性相統(tǒng)一，采用鉚題消除由于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力提升對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容所帶來的影響[5]。經(jīng)過檢驗(yàn)，數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)問卷各維度Cronbach’ Alpha值在0.807~0.828之間，總量表的Cronbach’ Alpha值是0.854，如表2所示。

表2 各分析層次及總量表的信度狀況

組內(nèi)兩兩層次相關(guān)系數(shù)在0.154-0.645之間，為中、高程度正相關(guān)。四個(gè)層次與總量表之間相關(guān)系數(shù)在 0.568-0.880之間，表明各分析層次與整個(gè)問卷一致，達(dá)到高程度正相關(guān)。如表3所示。

表3 各分析層次間的相關(guān)系數(shù)矩陣

（三）施測(cè)與評(píng)分

測(cè)評(píng)采用集中施測(cè)，要求學(xué)生在 40分鐘內(nèi)完成測(cè)評(píng)問卷，保證調(diào)查問卷的回收率與答題質(zhì)量。在評(píng)分階段，首先，初步制定詳細(xì)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，與兩名一線數(shù)學(xué)教師進(jìn)行討論，確定評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。其次，為了降低由一個(gè)評(píng)分者評(píng)分造成的測(cè)評(píng)誤差，采用三人共同評(píng)分的方式，結(jié)果表明，評(píng)分一致性達(dá)到95%以上。

四、研究結(jié)果

（一）學(xué)生在數(shù)學(xué)符號(hào)感知與識(shí)別（GS）上的表現(xiàn)

圖1 各年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)GS層次平均分的變化趨勢(shì)

研究結(jié)果表明，義務(wù)教育階段學(xué)生在數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)GS分析層次的平均分隨著年級(jí)的增長(zhǎng)逐漸升高，1年級(jí)到9年級(jí)的總平均分依次為4.035分，4.248分，4.563分，4.625分，4.841分，4.893分，5.038分，5.749分，5.851分。義務(wù)教育階段學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)感知與識(shí)別層次的平均分均超過3.6分（每個(gè)層次總分為6分，視其60%為合格分，即為3.6分，下同），其中一年級(jí)學(xué)生的平均分最低，為4.035分，九年級(jí)學(xué)生的平均分最高，為5.851分?？傮w上義務(wù)教育階段學(xué)生在數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)GS分析層次上的平均分隨著年級(jí)的增長(zhǎng)穩(wěn)定提升，具體如圖1所示。

（二）節(jié)點(diǎn)一：二、三年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)符號(hào)理解與運(yùn)算（LY）上的差異分析

從二年級(jí)到三年級(jí)是數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展的第一次質(zhì)變，如圖1所示，兩個(gè)年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)LY分析層次出現(xiàn)節(jié)點(diǎn)，二年級(jí)學(xué)生的平均分（M=2.706）低于 3.6分，而三年級(jí)學(xué)生平均分（M=3.674）高于 3.6分，這說明二年級(jí)學(xué)生沒有達(dá)到數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的LY分析層次，而三年級(jí)學(xué)生達(dá)到了該層次，但三年級(jí)學(xué)生沒有達(dá)到下一個(gè)層次（LT分析層次）。

圖2 二、三年級(jí)學(xué)生在四個(gè)分析層次平均分變化趨勢(shì)

對(duì)于二年級(jí)學(xué)生而言，大部分學(xué)生并不理解“⊕”運(yùn)算的情境意義，而將其視為熟悉的加法或者乘法，并在題干8⊕5那里“糾正”為8+5=13。研究表明，學(xué)生不能通過運(yùn)算法則來理解新定義的運(yùn)算符號(hào)“⊕”②的意義，二年級(jí)學(xué)生所理解的“⊕”是基于生活經(jīng)驗(yàn)的，更多是依賴于現(xiàn)實(shí)生活情境。運(yùn)算應(yīng)該在具體情境中進(jìn)行理解，低年級(jí)學(xué)生往往借助形象化的事物來理解運(yùn)算，例如加法運(yùn)算就是把一些東西放在一起，計(jì)算它們的總數(shù)，對(duì)于結(jié)果的解釋與算理的理解遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比計(jì)算本身困難得多。也有一些學(xué)生能夠根據(jù)運(yùn)算情境，簡(jiǎn)單理解“⊕”的意義，對(duì)于有字母參與的運(yùn)算則是束手無策；雖然三年級(jí)學(xué)生能夠借助運(yùn)算法則或運(yùn)算情境來解讀運(yùn)算符號(hào)“⊕”的數(shù)學(xué)意義，也區(qū)分了“⊕”與加法之間異同，但總體上回答的也不盡人意。這至少說明，三年級(jí)學(xué)生能夠建立新型運(yùn)算與熟知運(yùn)算之間的聯(lián)系，將字母符號(hào)視為數(shù)字，把字母符號(hào)與數(shù)字聯(lián)系起來，并嘗試對(duì)其進(jìn)行運(yùn)算。

表4 二、三年級(jí)學(xué)生對(duì)測(cè)評(píng)題項(xiàng)的回答舉例

（三）節(jié)點(diǎn)二：四、五年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)符號(hào)聯(lián)想與推理上的差異分析

圖3 四、五年級(jí)學(xué)生在四個(gè)分析層次平均分變化趨勢(shì)

從四年級(jí)到五年級(jí)是數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展第二次質(zhì)變，兩個(gè)年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)LT分析層次上出現(xiàn)節(jié)點(diǎn)，如圖3所示，兩個(gè)年級(jí)在數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)LT分析層次存在差異，四年級(jí)學(xué)生的平均分（M=2.991）低于 3.6分，而五年級(jí)學(xué)生平均分（M=3.601）略高于 3.6分，這說明四年級(jí)學(xué)生沒有達(dá)到數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)LT分析層次，而五年級(jí)學(xué)生到達(dá)該層次，但五年級(jí)學(xué)生并未達(dá)到下一個(gè)層次（CB分析層次）。

表5 四、五年級(jí)學(xué)生對(duì)測(cè)評(píng)題項(xiàng)的回答舉例

對(duì)于四年級(jí)學(xué)生而言，由于字母a的任意性，導(dǎo)致在比較“a+6”與“3a”的大小時(shí)，思維受阻，回答的結(jié)果也是混亂的，字母加入大小的比較給學(xué)生帶來理解障礙。有些學(xué)生只是關(guān)注題目中的大小比較，急于給出“a+6”與“3a”的大小判斷，所以，當(dāng)想到一個(gè)特例或者某一個(gè)數(shù)字時(shí)，馬上得出大小比較的結(jié)論。在同樣的問題處理上，五年級(jí)學(xué)生的表現(xiàn)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)比四年級(jí)學(xué)生靈活，學(xué)生已經(jīng)清楚知道“a+6”與“3a”大小的非恒定性，其大小受到字母a的影響，因此，五年級(jí)學(xué)生能夠探究字母 a是如何決定“a+6”與“3a”大小的，通過找到臨界值，分情況加以討論。由此可見，五年級(jí)學(xué)生已經(jīng)能找到解決問題的通性通法，選取特殊值對(duì)問題進(jìn)行解決，當(dāng)特殊值找到后，還能聯(lián)想特殊值與任意值之間的關(guān)聯(lián)，利用歸納思維，由特殊值到一般規(guī)律，利用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行合情推理，使結(jié)論更具有一般性。

（四）節(jié)點(diǎn)三：七、八年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)符號(hào)抽象與表達(dá)上的差異分析

從七年級(jí)到八年級(jí)是數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展的第三個(gè)質(zhì)變，兩個(gè)年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的 CB分析層次上出現(xiàn)第三個(gè)節(jié)點(diǎn)。如圖4所示，七年級(jí)學(xué)生在 CB分析層次的平均分（M=3.125）低于 3.6分，而八年級(jí)學(xué)生在該層次的平均分（M=4.677）明顯高于 3.6分，這說明七年級(jí)學(xué)生沒有達(dá)到數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)CB分析層次，八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)達(dá)到數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展的最高層次（CB分析層次）。

圖4 七、八年級(jí)學(xué)生在四個(gè)分析層次平均分變化趨勢(shì)

對(duì)于七年級(jí)而言，學(xué)生能夠理解題目要求，關(guān)注題目中的“兩數(shù)之和為固定值”這一內(nèi)容，在學(xué)生知識(shí)能力范圍之內(nèi)，找到了利用具體數(shù)字來解決問題的方法，大部分學(xué)生還是處在具體描述的層面，沒有上升到抽象表達(dá)層面，學(xué)生只能利用文字來描述數(shù)量關(guān)系，不能從中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)，并利用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)。也有學(xué)生對(duì)這些數(shù)特征進(jìn)行概括，如“用100分別減去100以內(nèi)的數(shù)”“小數(shù)+大數(shù)=100”等，學(xué)生還是沒有抽象出符號(hào)，并用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行數(shù)對(duì)關(guān)系的表達(dá)。僅少部分學(xué)生能夠抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)，利用數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá)兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，使得表達(dá)結(jié)果具有一般性，整個(gè)抽象程度達(dá)到了最高。八年級(jí)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)滿足條件的數(shù)對(duì)有無窮多個(gè)，也存在描述性回答，如“用100減去一個(gè)小于100的數(shù)”，大部分學(xué)生還是能夠并從中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)（字母），利用數(shù)學(xué)符號(hào)表示一般性的結(jié)果，甚至有的學(xué)生已經(jīng)明確給出字母的取值范圍為任意實(shí)數(shù)，不僅能夠?qū)⒆帜敢暈閺V義的數(shù)，還能夠?qū)⑵湟暈樽兞?，利用字母表示了?shù)對(duì)之間的抽象關(guān)系。

表6 七、八年級(jí)學(xué)生對(duì)測(cè)評(píng)題項(xiàng)的回答舉例

五、研究結(jié)論

（一）義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)均達(dá)到感知與識(shí)別層次

數(shù)學(xué)符號(hào)的感知與識(shí)別是數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的第一個(gè)分析層次，也是其他層次的基礎(chǔ)，主要描述的是義務(wù)教育階段學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)字之間異同的認(rèn)識(shí)。通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一年級(jí)的學(xué)生能夠掌握數(shù)學(xué)符號(hào)及其代表的數(shù)學(xué)意義與實(shí)際意義，能夠感知并識(shí)別數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)字之間的區(qū)別。學(xué)生能夠明白可以用字母來表示不同的數(shù)字，但還不能理解字母表示數(shù)背后的意義及其數(shù)量關(guān)系。學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)感知與識(shí)別隨著年級(jí)的增長(zhǎng)不斷升高，在一年級(jí)時(shí)就能夠很好地對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行識(shí)別，因此，這也在一定程度上表明，對(duì)于一年級(jí)學(xué)生，可以對(duì)其數(shù)學(xué)符號(hào)的感知與識(shí)別進(jìn)行適當(dāng)?shù)嘏囵B(yǎng)，從而幫助學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)。

（二）處于節(jié)點(diǎn)的年級(jí)包含五種層次水平

根據(jù)SOLO分類理論，處于節(jié)點(diǎn)的年級(jí)表現(xiàn)出不同的水平，總的來說，包含了SOLO分類理論的五個(gè)結(jié)構(gòu)水平，如表7所示，二年級(jí)與三年級(jí)學(xué)生的回答包含兩種層次水平，三年級(jí)學(xué)生要比二年級(jí)學(xué)生的層次水平要高，但兩個(gè)年級(jí)都沒有達(dá)到擴(kuò)展抽象結(jié)構(gòu)水平。四年級(jí)學(xué)生的回答包含兩種層次水平，五年級(jí)學(xué)生的回答包含三種層次水平，五年級(jí)學(xué)生要比四年級(jí)學(xué)生的層次水平要高。七年級(jí)學(xué)生的回答包含三種層次水平，八年級(jí)學(xué)生的回答包含四種層次水平，兩個(gè)年級(jí)同時(shí)達(dá)到單一結(jié)構(gòu)水平、多元結(jié)構(gòu)水平與關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，八年級(jí)同時(shí)達(dá)到了擴(kuò)展抽象結(jié)構(gòu)水平。

表7 節(jié)點(diǎn)年級(jí)結(jié)構(gòu)水平的分布情況

（三）處于節(jié)點(diǎn)的年級(jí)可劃分三種進(jìn)階類型

義務(wù)教育階段學(xué)生在數(shù)學(xué)符號(hào)理解與運(yùn)算（LY）、聯(lián)想與推理（LT）、抽象與表達(dá)（CB）三個(gè)層次出現(xiàn)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)均包含由低到高的三種類型，第一個(gè)節(jié)點(diǎn)涵蓋三種運(yùn)算類型：算術(shù)運(yùn)算型、形式模仿型、符號(hào)運(yùn)算型；第二節(jié)點(diǎn)涵蓋三種推理類型：猜想歸納性、特殊驗(yàn)證型、符號(hào)論證型；第三個(gè)節(jié)點(diǎn)涵蓋三種表達(dá)類型：文字描述型、結(jié)構(gòu)抽象型、符號(hào)表達(dá)型。

六、結(jié)語

數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)需要根據(jù)其發(fā)展階段，幫助學(xué)生逐步強(qiáng)化建立數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，只有經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的進(jìn)階過程，學(xué)生才能從較低的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展水平過渡到高水平。而發(fā)展節(jié)點(diǎn)的研究，對(duì)于適時(shí)的數(shù)學(xué)抽象刺激或教學(xué)干預(yù)究竟能夠帶給學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展的怎樣的變化、每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展水平教學(xué)策略的遴選與實(shí)施均具有重要意義。義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展過程中不同層次的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的探究，為義務(wù)教育階段教師數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)教學(xué)策略的選擇奠定了理論基礎(chǔ)。

[注釋]

① 文中此處 GS為本研究對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)“感知與識(shí)別”的編碼，取其漢語拼音首字母而成，下文LY、LT、CB其意相同。

② 文中“⊕”為本研究為測(cè)評(píng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解與運(yùn)算而新定義的運(yùn)算符號(hào)，下文同此。