李樹臣 孔凡瑞

【摘?要】?創(chuàng)設有價值的問題情境是數(shù)學教學的一個重要環(huán)節(jié)，直接影響到課堂教學的效率.創(chuàng)設問題情境應遵循一定的原則，主要有激發(fā)學生學習興趣的原則，引發(fā)學生認知產(chǎn)生沖突的原則，螺旋上升的原則以及注重培養(yǎng)應用意識的原則.

【關鍵詞】?激發(fā)興趣;認知沖突;螺旋上升;應用意識

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）在“教學建議”中指出，“數(shù)學知識的教學，要注重知識的‘生長點與‘延伸點，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數(shù)學的整體性”[1].隨著對這個理論的學習和應用，江蘇省著名特級教師卜以樓提出了“生長數(shù)學”的概念，生長數(shù)學是在課程理念背景下自然生長出來的一種教學思想和實踐行為[2].

為了更好的落實這個理論，促進學生積極的進行觀察、思考、探索、交流等數(shù)學活動，在活動的過程中獲得數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，實現(xiàn)知識、能力、品質(zhì)等諸“素養(yǎng)”的自然生長.我們應按照一定的原則，努力創(chuàng)設出“有助于學生自主學習的問題情境”[1].這些原則主要有：

1?激發(fā)興趣原則

《課標（2011年版）》指出：“數(shù)學教學活動，特別是課堂教學應激發(fā)學生興趣，調(diào)動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維.”[1]教師無論是進行設計、實施課堂教學，還是組織各種數(shù)學活動，都應根據(jù)課程內(nèi)容，從學生的實際出發(fā)，把激發(fā)學生的學習興趣作為第一原則.

根據(jù)“激發(fā)興趣原則”設計的問題情境應具有如下特征[3]：

（1）啟發(fā)性

問題能引起學生的聯(lián)想，激發(fā)其學習興趣，促使學生的思維處于活躍狀態(tài)，并進行積極的數(shù)學思考，逐步養(yǎng)成獨立思考的習慣，通過思考不僅知道是“什么”，還能明確“為什么”.

（2）趣味性

問題富有情趣、意味和吸引力，能夠使學生在思考的同時感到有趣并且愉快，激發(fā)起強烈的探究欲望，促使學生在“生疑——質(zhì)疑——解疑”的過程中獲得新的數(shù)學基礎知識、形成基本技能.

（3）發(fā)展性

問題能給學生深化理解、產(chǎn)生疑問留出相應的時間和空間，有可能使學生在思考、探究的過程中產(chǎn)生“創(chuàng)新”的火花，進而開發(fā)智力，生長能力.

《課標（2011年版）》界定的四個部分的課程內(nèi)容之間以及每個部分內(nèi)部的知識之間都存在著一定的“實質(zhì)性”聯(lián)系，教師在設計問題情境時，要深入研讀教材，準確找到知識之間的“實質(zhì)性”聯(lián)系，把這種聯(lián)系作為新知識的生長點，圍繞“生長點”設計問題情境，引發(fā)學生的學習興趣.

案例1?無理數(shù)的建立過程.

學生對無理數(shù)的概念普遍感到“生疏”，不容易理解和接受.在引進無理數(shù)概念時，我們可創(chuàng)設下面的問題情境，激發(fā)學生興趣，引發(fā)學生進行數(shù)學思考、探究等活動：圖1

（1）如圖1，作一個等腰直角三角形ABC，使其腰長等于1，則斜邊AB的長=_______.

（2）你學過的整數(shù)有哪些？2是整數(shù)嗎？如果不是，請估計2可能在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間？請相互交流自己的看法.

（3）2可能是整數(shù)1，2之間的某一個分數(shù)嗎？

設計意圖?在本課題之前，學生已經(jīng)探索到勾股定理，并且運用勾股定理能求解直角三角形中邊的長度問題.為了讓學生感受到2是一個確實存在，但又不同于已經(jīng)認知的數(shù)，我們設計了上面的三個問題.學生通過計算問題（1），很容易得到AB=2，這個結(jié)果就是借助于勾股定理通過計算得到的，“2”可以認為是勾股定理“自然生長”的結(jié)果.提出問題（2）的目的是激發(fā)學生探究的興趣和欲望.學生通過獨立思考、相互交流，得到2不是整數(shù)，且1<2<2.問題（3）能引導學生從回憶最簡分數(shù)的意義出發(fā)，用反證法說明2不是分數(shù).從而確認2既不是整數(shù)也不是分數(shù)，這時引出無理數(shù)的概念.這個概念是整數(shù)和分數(shù)（有理數(shù)）的“生長點”或“延伸點”.

2?引發(fā)認知沖突的原則

認知沖突是指學生已有的認知結(jié)構(gòu)與當前所學習的情境之間存在著一定的矛盾.瑞士心理學家皮亞杰認為：“個體的認知發(fā)展是在認知不平衡時通過同化或順應兩種方式來達到認知平衡的，認知不平衡有助于學生建構(gòu)自己的知識體系.”[4]在數(shù)學課堂教學之前，教師要根據(jù)“認知沖突”的原則，努力設計一些能使學生認知發(fā)生沖突的問題情境，這樣的問題情境不僅能激發(fā)學生的學習興趣，激勵學生通過數(shù)學思考找出“沖突”的原因，從而改造或擴大學生的認知結(jié)構(gòu).

認知沖突下數(shù)學學習的一般過程如圖2所示[4]：

學生原本平衡的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，當輸入能引發(fā)認知沖突的學習材料時，便出現(xiàn)“矛盾”，不再平衡，學生為了尋求新的“平衡”，自然而然的就會產(chǎn)生思考、探索、交流、解答這些問題的“內(nèi)動力”.為了促使矛盾的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)達到新的“平衡”，必須對原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)進行改造，其基本形式有同化或順應兩種.無論采用哪種方式，學生都將“經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”[1].在學生參與這些相關活動之后，含有“矛盾”的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)將得到優(yōu)化和發(fā)展，實現(xiàn)新的平衡，完成一個小單元的學習任務.

事實上，這個新的平衡是相對的、短暫的，它是下一個新的不平衡的起點，數(shù)學學習就是在這種“平衡—不平衡—平衡”的循環(huán)往復過程中進行的.伴隨著這個過程的反復進行，學生才能完成對《課標（2011年版）》界定的各部分課程內(nèi)容的學習，從而實現(xiàn)掌握“四基”，提高數(shù)學能力，培養(yǎng)數(shù)學情感、發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)的目的.

案例2?電話號碼怎么是負的呢？

在學生學習了一元一次方程的解法之后，數(shù)學老師給學生布置了下面的一個問題：

我家的電話號碼是八位數(shù)，其中前四位數(shù)字是相同的，后四位數(shù)是連續(xù)的自然數(shù).全部數(shù)字之和恰好等于電話號碼的最后兩位數(shù)，更巧的是，這個電話號碼的后五位數(shù)也是連續(xù)的自然數(shù).請問我家的電話號碼是多少呢？

下面是小林給出的解答：

設前四位的數(shù)字均為x，則后四位數(shù)字依次為x+1，x+2，x+3，x+4，則有

x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）=10（x+3）+（x+4），解得x=-8.

老師：電話號碼怎么能是負的呢？

設計意圖?《課標2011版》指出，教師在具體教學過程中“師生雙方往往會‘生成一些新的教學資源，這就需要教師能夠及時把握，因勢利導，適時調(diào)整方案，使教學活動收到更好的效果”[1].在生成的資源中有“正”“反”兩個方面，教學中我們既要利用正面資源，更要利用“反”面資源.本案例就是在學生掌握了一元一次方程的解法之后，利用反面資源的一個問題.目的是讓學生再一次經(jīng)歷“能根據(jù)具體問題情境中的數(shù)量關系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型”[1]的過程，逐漸培養(yǎng)和提高學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

列方程解應用題，首先要引導學生反復閱讀題意，正確理解題意，然后找到一個“等量關系”，從而建立方程模型.就本題而言，建立方程模型的關鍵在于正確理解“老師的電話號碼的后五位為連續(xù)自然數(shù)”.五位連續(xù)自然數(shù)可以有兩種情況：（1）逐漸增大;（2）逐漸減小.這就是問題的關鍵所在，也是學生常出現(xiàn)錯誤的地方.本設計就從這個“易錯點”出發(fā)，創(chuàng)設了小林在逐漸增大的情況下得到錯誤結(jié)果的情境，導致出現(xiàn)錯誤的結(jié)論，引起認知沖突.學生面對小林的錯誤解法，自然的表現(xiàn)就是進行思考與探索，找到錯誤的原因，并給出下面正確的解答：

設前四位的數(shù)字均為x，那么后四位數(shù)字依次為x-1，x-2，x-3，x-4，

則有x+（x-1）+（x-2）+（x-3）+（x-4）=10（x-3）+（x-4），

解得x=8.所以后四位數(shù)為7654，從而可知，老師的電話號碼為88887654.

教師要在認真研讀《課標（2011年版）》和教材的基礎上，結(jié)合具體的學習內(nèi)容，遵循“認知沖突”的原則，根據(jù)學生的認知發(fā)展水平，在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，努力把新的學習內(nèi)容設計成能導致學生認知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生矛盾的問題情境.當把這些問題在課堂上呈現(xiàn)給學生時，將導致學生原來處于平衡狀態(tài)的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)不再平衡，學生必然會產(chǎn)生進行數(shù)學思考、探索、交流、找出為什么不平衡的“內(nèi)動力”.

3?螺旋上升的原則

《課標（2011年版）》在“教材編寫建議”中強調(diào)指出“教材在呈現(xiàn)相應的教學內(nèi)容與思想方法時，應根據(jù)學生的年齡特征與知識積累，在遵循科學性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則”[1].教材中的一些重要數(shù)學概念與數(shù)學思想不是通過一兩次強調(diào)，學生就能理解或掌握的.

例如，數(shù)學思想是一種重要的基礎知識，《課標（2011年版）》已把學生掌握一些基本的數(shù)學思想確定為課程的目標.而學生對于任何一種具體數(shù)學思想的感悟絕不是“一朝一夕”能夠完成的，筆者認為，在創(chuàng)設引導學生學習“載有”數(shù)學思想的“顯性”知識的教學情境時，要有長遠規(guī)劃，體現(xiàn)“反復強化，多次滲透，螺旋上升”的原則.

案例3?盤點滲透“數(shù)形結(jié)合思想”的知識載體.

《課標（2011年版）》的第一句話指出“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學”[1].數(shù)學就是研究“數(shù)”和“形”的一門科學，數(shù)學的全部內(nèi)容就是圍繞數(shù)和形兩個方面對客觀事實進行提煉、演變、發(fā)展而來的.這種把數(shù)量關系和空間形式兩個方面結(jié)合起來分析實際問題，并充分利用這種結(jié)合解決問題的過程就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

與《課標（2011年版）》相配套的幾套初中數(shù)學教材都是靠數(shù)形結(jié)合思想把“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”的課程內(nèi)容“串聯(lián)”起來的.可以說教材中的每一章內(nèi)容幾乎都能找到數(shù)與形結(jié)合的“影像”.

我們以青島版初中數(shù)學教材為例，對滲透數(shù)形結(jié)合思想的知識點掃描如下[5]：

七年級第1章“我們身邊的圖形世界”中，在研究正方體頂點的個數(shù)和棱的條數(shù)時就是引導學生從觀察正方體模型得到的結(jié)果.《課標（2011年版）》提出的第一個基本事實“兩點確定一條直線”反映了確定一條直線所需要點的最少“個數(shù)”，這個事實是學生通過實際作圖得到的.在第2章“有理數(shù)”中，對于“數(shù)軸”是借助于“溫度計”的直觀形象進行感知的，“溫度計”模型的直觀形象有助于學生理解數(shù)軸的概念、明確構(gòu)成要素.在第3章“有理數(shù)的運算”中，加法法則是借助于數(shù)軸，讓學生充分利用數(shù)形結(jié)合的方法經(jīng)過多次自主探究得到的.第7章“一元一次方程”中，在解決行程問題時，經(jīng)常借助于線段的直觀形象特點表示有關量之間的數(shù)量關系.第13章“平面圖形的認識”，在探究多邊形的內(nèi)角和、外角和的過程中，圖形的直觀特點起了關鍵的作用.第14章“位置與坐標”中，有序?qū)崝?shù)對和平面直角坐標系中的點的一一對應關系、直角坐標系中平面圖形各點的坐標、求平面圖形的面積等都體現(xiàn)出“數(shù)”與“形”在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化的關系.八年級第7章“實數(shù)”中，利用幾何作圖方法探究長度是2，3，5等無理數(shù)的線段時，體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的獨特意義.第10章“一次函數(shù)”中的大量問題都是借助于圖形加以解決的.九年級第2章“解直角三角形”中很多概念的形成，利用直角三角形的三邊關系、三角關系，邊角關系以及勾股定理等解決大量實際問題時，都是借助于幾何圖形的直觀特點完成的.第3章“對圓的進一步認識”中，在探究圓的一些性質(zhì)、定理以及結(jié)合勾股定理解答有關計算問題時，都是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn).第4章“一元二次方程”中，利用一元二次方程的知識求解有關黃金分割線段的方法，可以說是利用數(shù)的知識解決形的問題的范例.第5章“對函數(shù)的再探索”中，二次函數(shù)、反比例函數(shù)的大量知識都利用它們圖象的特征來認知和探究的，在探究二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系時，數(shù)形結(jié)合起了“橋梁”的作用.在利用函數(shù)的知識解答問題、特別是解答有關函數(shù)的綜合性問題時，函數(shù)圖象的直觀特征常常讓學生有“柳暗花明又一村”的感覺，從而輕松走過“走投無路”的境地.

在“統(tǒng)計與概率”部分，各種統(tǒng)計圖表就是利用幾何圖形表達統(tǒng)計資料的一種直觀方式.例如，在八年級第4章“數(shù)據(jù)分析”中，學生在認知有關統(tǒng)計量和統(tǒng)計圖表時，數(shù)與形的結(jié)合為學生清楚、準確的表示數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)進行分析判斷，從而科學決策起到了重要的作用.九年級第6章“事件的概率”中，頻數(shù)直方圖，隨機事件的變化趨勢圖等為我們直觀的認識、探究隨機現(xiàn)象的變化趨勢提供了直觀的幫助，樹狀圖為我們計算有關事件的概率節(jié)省了時間，并且提供了準確可靠的保證.

青島版初中數(shù)學教材就是靠數(shù)形結(jié)合思想將《課標（2011年版）》界定的“課程內(nèi)容”“串聯(lián)”起來的.它為同學們理解、掌握這些課程內(nèi)容以及應用有關知識解決一些實際問題提供了直觀上的幫助，可以說“數(shù)”與“形”的相互結(jié)合體現(xiàn)了數(shù)學的本質(zhì).

我們在對相關內(nèi)容的教學進行設計時，應體現(xiàn)出這種多次強化、滲透數(shù)形結(jié)合思想的特點.只有這樣，學生在學習相關知識的同時才能逐步感悟這一思想，體會到二者之間本來固有的實質(zhì)性的聯(lián)系以及數(shù)學的整體性和文化價值.

4?培養(yǎng)學生應用意識的原則

《課標（2011年版）》指出“應用意識有兩個方面的含義：一方面有意識利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題;另一方面，認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學的方法予以解決.在整個數(shù)學教育的過程中都應該培養(yǎng)學生的應用意識”[1].根據(jù)這個要求，數(shù)學教學設計應遵循培養(yǎng)學生應用意識的原則，即在創(chuàng)設問題情境時，應根據(jù)教學內(nèi)容，盡量設計一些運用數(shù)學知識解決問題的活動，這樣的活動要努力體現(xiàn)“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程.

關于培養(yǎng)數(shù)學意識（應用意識）的意義，我們可以引用丁石孫教授的一段話簡述、概括如下：

“使學生真正懂得數(shù)學究竟是什么，這是十分重要的.數(shù)學的作用，并不在于它的哪一條公式，哪一條定理有多大作用，數(shù)學提供給同學們很重要的是觀念和意識，這種觀念和意識不但對于具體的學科會有很大的作用，甚至對于學生今后做一切工作，如何思考問題，如何抓住問題的要點，都會有用.”[6]

案例4?背誦經(jīng)典詩詞問題（2018年山東威海中考試題）.

為積極響應“弘揚傳統(tǒng)文化”的號召，某學校倡導全校1200名學生進行經(jīng)典詩詞誦背活動，并在活動之后舉辦經(jīng)典詩詞大賽，為了解本次系列活動的持續(xù)效果，學校團委在活動啟動之初，隨機抽取部分學生調(diào)查“一周詩詞誦背數(shù)量”，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計圖（部分）如圖3所示.

大賽結(jié)束后一個月，再次抽查這部分學生“一周詩詞誦背數(shù)量”，繪制成統(tǒng)計表：

請根據(jù)調(diào)查的信息分析：

（1）活動啟動之初學生“一周詩詞誦背數(shù)量”的中位數(shù)為;

（2）估計大賽后一個月該校學生一周詩詞誦背6首（含6首）以上的人數(shù);

（3）選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量，從兩個不同的角度分析兩次調(diào)查的相關數(shù)據(jù)，評價該校經(jīng)典詩詞誦背系列活動的效果.

析解?（1）由條形統(tǒng)計圖可知，活動啟動之初能背誦5首的有20人，由扇形統(tǒng)計圖可知活動啟動之初能背誦5首的人數(shù)占調(diào)查總數(shù)的60°360°=16，共調(diào)查20÷16=120（人）.活動之初能背誦4首的有120-15-20-16-13-11=45（人），這組數(shù)據(jù)中的第60個數(shù)為4，第61個數(shù)為5，因此，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4+52=4.5（首）.

（2）大賽后一個月該校學生一周詩詞誦背6首（含6首）以上的人數(shù)為1200×40+25+20120=850（人）.

（3）根據(jù)數(shù)據(jù)的集中趨勢，從不同的角度分析即可.如，活動啟動之初的中位數(shù)是4.5首，眾數(shù)是4首，大賽比賽后一個月時的中位數(shù)是6首，眾數(shù)是6首，由比賽前后的中位數(shù)和眾數(shù)看，比賽后學生背誦詩詞的積極性明顯提高，這次舉辦后的效果比較理想.

設計意圖?“統(tǒng)計與概率”方面的內(nèi)容主要承載著形成與發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、應用意識等“核心概念”的任務，這些都是學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分.解答“統(tǒng)計與概率”方面的問題首先就是通過閱讀題目，獲取盡可能多的信息，然后利用這些信息進行解答.

本題分為三個小題，只要能求出第一個問題的答案，第二、三個問題將隨之解決.解答第（1）個問題的關鍵有二：一是從條形統(tǒng)計圖中得到能背誦5首的有20人，從扇形統(tǒng)計圖中發(fā)現(xiàn)背誦5首的人數(shù)對應的扇形的圓心角是60°，從而求出能背誦5首的人數(shù)占調(diào)查總數(shù)的16.二是確定出活動之初調(diào)查的總?cè)藬?shù)為20÷16=120（人），并正確的找出第60個數(shù)和第61個數(shù)來.

學生通過解答這樣的問題，加深了對各種統(tǒng)計圖、平均數(shù)、中位數(shù)等統(tǒng)計量的認識和理解，培養(yǎng)了學生利用所學知識解決實際問題的能力，在解決的過程中逐步發(fā)展學生的應用意識，提高和發(fā)展基本數(shù)學素養(yǎng).

為促進學生在數(shù)學學習中能自然生長，教師應認真研讀《課標（2011年版）》的基本理念，科學分析教材內(nèi)容，根據(jù)前面論述的四個主要原則，精心設計教學情境，以此激發(fā)學生的學習興趣，積極開展一系列的數(shù)學活動，使學生在參與各種數(shù)學活動的過程中，達到數(shù)學素養(yǎng)自然生長的目的.

參考文獻

[1]義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]卜以樓.生長數(shù)學：數(shù)學教學的理性回歸[J].中國數(shù)學教育，2017（9）.

[3]李樹臣.數(shù)學教學設計應遵循的三個主要原則[J].中學數(shù)學雜志，2016（6）.

[4]李樹臣.精心創(chuàng)設認知沖突，促進學生積極構(gòu)建[J].山東教育，2016（3）.

[5]李樹臣.突出數(shù)學思想主線，優(yōu)化教材知識結(jié)構(gòu)——青島版《義務教育教科書·數(shù)學》（七—九）編寫的原則之一[J].中學數(shù)學，2016（12）.

[6]李英.淺析數(shù)學教育中應培養(yǎng)的數(shù)學觀念[J].數(shù)學通報，1988（1）.

作者簡介?李樹臣（1962—）男，山東沂南人，中學高級教師.臨沂大學學業(yè)導師.臨沂市科研型骨干教師，《山東教育》特約記者，山東省優(yōu)秀教育科研先進個人，山東省創(chuàng)新教育優(yōu)秀實驗教師.有三項研究成果獲山東省教學成果獎.兩項成果獲山東省教育科研成果二等獎.在省級以上刊物發(fā)表論文數(shù)百篇，其中被人民大學《初中數(shù)學教與學》全文轉(zhuǎn)載40余篇.青島版《義務教育數(shù)學教科書》（初中）核心作者.