張曉磊, 蘇春

(東南大學 機械工程學院, 江蘇 南京 211189)

隨著經(jīng)濟全球化的推進,制造商的業(yè)務重點開始從單純的銷售產(chǎn)品,向營銷產(chǎn)品與售后服務并重的模式轉(zhuǎn)變[1]。作為產(chǎn)品售后的重要組成部分,質(zhì)保服務可以幫助企業(yè)博取顧客信賴、贏得市場。質(zhì)保是制造商對產(chǎn)品發(fā)生的特定故障現(xiàn)象,向顧客提供更換、維修等服務的契約[2]。根據(jù)定義質(zhì)保界限的變量數(shù)量,質(zhì)?？梢苑譃橐痪S質(zhì)保、二維質(zhì)保以及多維質(zhì)保。一般的,產(chǎn)品在初始銷售時會附帶基本質(zhì)保(basic warranty,BW)條款。BW結(jié)束后,顧客需要對是否支付額外費用購買延長質(zhì)保(extended warranty,EW)合同作出決策。從制造商的層面,只有當EW的售價超過EW期間所要承擔的維修費用時才能盈利。因此,延長質(zhì)保(延保)的價格是交易雙方都關(guān)注的重要變量。近年來,一些學者通過考慮不同維修策略構(gòu)建延長質(zhì)保的定價模型。Jack等[3]考慮顧客購買EW的時刻和范圍,利用博弈論方法確定延長質(zhì)保價格。Musakwa[4]提出一個生存時間模型,用于解決有限使用量數(shù)據(jù)下的汽車延保定價問題。Bouguerra等[5]在一維質(zhì)?？蚣芟?分析維修間隔期和質(zhì)保范圍對延保價格的影響。Tong等[6]考慮顧客購買EW的時間點,研究二維EW的定價機制。Darghouth等[7]考慮維修過程中的學習效應,優(yōu)化質(zhì)保合同的價格和范圍。

以上研究多關(guān)注修復性維修(corrective maintenance,CM),而實施預防性維修(preventive maintenance,PM)措施往往可以減少產(chǎn)品故障次數(shù),降低質(zhì)保成本和停機風險。Kim等[8]從產(chǎn)品壽命周期的角度,討論質(zhì)保期內(nèi)最優(yōu)離散PM方案。Chen等[9]考慮2類故障模式,分析連續(xù)PM措施對可更新免費更換質(zhì)保策略的影響。Chang等[10]制定產(chǎn)品壽命周期內(nèi)最優(yōu)PM方案以提高制造商利潤。Su等[11]研究柔性質(zhì)保合同下質(zhì)量升級和PM策略聯(lián)合優(yōu)化問題。Su和Wang[12]以顧客何時購買EW為決策點,針對不同顧客分階段地提供定制化PM服務。

現(xiàn)有文獻主要考慮一維延長質(zhì)保的優(yōu)化問題,針對二維延長質(zhì)保定價機制的研究還很少見。此外,由于工作環(huán)境和使用方式不同,產(chǎn)品的性能退化和故障規(guī)律存在很大差異,質(zhì)保定價模型應考慮上述因素影響。本文將二維PM策略引入到延保價格模型中,考慮PM實施區(qū)間和顧客使用率的差異性,從交易雙方的角度構(gòu)建延長質(zhì)保成本模型,采用網(wǎng)格搜索法分析不同PM方案對延長醫(yī)保價格的影響,并提出定制化的延長質(zhì)保定價機制。

1 模型構(gòu)建

假設(shè)制造商向顧客提供免費的BW服務,BW區(qū)間為Ωb=(t,u),t∈[0,Wb],u∈[0,Ub],其中Wb和Ub分別為BW的時間期限和使用量期限。BW結(jié)束后,顧客可以支付額外費用購買EW合同,EW區(qū)間為Ωe=(t,u),t∈[Wb,Wb+We],u∈[Ub,Ub+Ue],We和Ue分別為EW的時間范圍和使用量范圍。設(shè)質(zhì)保期內(nèi)產(chǎn)品發(fā)生的故障均采用最小維修方式加以修復,維修時間忽略不計。為改善產(chǎn)品性能,制造商實施一系列二維PM措施(每K個時間間隔或每L個使用量間隔實施一次PM,以先到者為準),如圖1所示。

制造商承擔質(zhì)保期內(nèi)產(chǎn)品發(fā)生故障的修復成本以及PM的投入成本,并以此確定延保的最低售價,消費者在EW的潛在維修費用界定了延保的最高價格。本文的主要目的是分析不同PM方案以及消費者使用率對延長質(zhì)保價格的影響并探討定制化的PM策略和延保價格機制。

1.1 產(chǎn)品故障建模

隨著使用時間、使用量(里程、次數(shù)等)的增加,機電產(chǎn)品的老化現(xiàn)象逐漸加深。為了解產(chǎn)品的退化性能,需要對其故障過程進行建模和分析。常用的二維質(zhì)保故障建模方法包括:兩變量法、復合尺度法和使用率法[13]。由于使用率法能較好地反映時間和使用量對產(chǎn)品故障率的影響,故本文采用使用率法。令t=0表示產(chǎn)品開始使用的時刻,T(t)和U(t)分別表示產(chǎn)品在時間t時的累積使用時間和累積使用量。假定產(chǎn)品在[0,t)區(qū)間內(nèi)沒有發(fā)生故障或發(fā)生的故障都得到修復且修復時間可以忽略,則T(t)=t。使用率法假定U(t)和T(t)之間存在一個非負系數(shù)R的線性關(guān)系。以R表示產(chǎn)品的使用率,R=U(t)/T(t)=U(t)/t。不同用戶的使用率具有差異,但同一用戶的使用率保持恒定,并且單個產(chǎn)品在整個質(zhì)保期內(nèi)的使用率也是不變的。因此,可以認為使用率R是一個非負的隨機變量,并服從函數(shù)G(r)=P{R≤r},0≤r<∞。假設(shè)對發(fā)生故障的產(chǎn)品都采取最小維修方式,則產(chǎn)品故障服從故障率為λ(t|r)的非齊次泊松過程。為方便案例研究,本文采用文獻[12-13]中的條件故障率函數(shù)來描述使用時間、顧客使用率(使用量與使用時間的比值)對產(chǎn)品性能退化的影響。其表達式如下

(1)

式中,θ0,θ1,θ2,θ3均為非負常數(shù)系數(shù)。

1.2 不完全PM建模

PM可以減少產(chǎn)品的故障次數(shù),改變設(shè)備的故障率。本文采用文獻[8]的年齡回溯模型來描述PM的實施效果。實施PM能夠減少產(chǎn)品的虛擬年齡,減少量取決于PM的水平m,m∈[0,∞]且為整數(shù),PM的效果隨著m的增加而增大。假定在質(zhì)保期內(nèi)的離散時刻(π1,π2,…,πj)實施PM,令π=0表示產(chǎn)品開始使用的時刻,此時v0=0,令vj-1表示實施第(j-1)次PM活動后產(chǎn)品的虛擬年齡,j≥2。則第j次PM活動實施前產(chǎn)品的虛擬年齡為vj=vj-1+(πj-πj-1)。若PM水平為m,則第j次PM活動后產(chǎn)品的虛擬年齡為vj=vj-1+δ(m)(πj-πj-1)。δ(m)為PM的年齡遞減因子,0≤δ(m)≤1。δ(m)是m的遞減函數(shù),δ(0)=1,δ(∞)=0。如果m=0,則PM沒有對產(chǎn)品故障率造成影響,產(chǎn)品修舊如舊,存在vj=πj,j≥2;如果實施最大水平的PM,則產(chǎn)品相當于修復如新。多數(shù)情況下,m介于0與∞之間,即實施不完全PM活動,導致產(chǎn)品的故障率介于修舊如舊與修復如新之間的狀態(tài)。本文采用指數(shù)型遞減函數(shù)來描述δ(m)與m之間的關(guān)系，即δ(m)=(1+m)e-m。

2 模型的建立

站在制造商的角度,總質(zhì)保成本包括最小維修成本和PM成本。令Cm和Cp分別表示單次最小維修成本和單次PM成本,E[C(K,L,m)]表示制造商在EW內(nèi)的期望質(zhì)保成本,其中K和L分別為PM活動的時間間隔和使用量間隔,m為PM實施的水平。考慮到不同顧客使用率具有差異性,其質(zhì)保期結(jié)束的時刻也不一致。給定一類消費者的使用率為r,則其產(chǎn)品在BW和EW結(jié)束時的時間分別為:

(2)

(3)

于是,EW的實際長度為

(4)

在BW和EW內(nèi),基于時間維度下二維PM的間隔期分別為:

(5)

(6)

設(shè)質(zhì)保期內(nèi)PM的水平m保持不變,則實施第j次PM活動后,產(chǎn)品的虛擬年齡為

(7)

2.1 剛性延保價格模型

基于以上描述,分別從制造商和顧客的角度,給出4種PM方案下延長質(zhì)保的價格模型。分別令Pl,i和Pu,i表示制造商制定的最低延保價格和最高延保價格,i=1,2,3,4,對應4種PM方案。從數(shù)值上看,Pl,i相當于EW內(nèi)實現(xiàn)最優(yōu)PM策略時的延長質(zhì)保成本,而Pu,i根據(jù)EW內(nèi)沒有實施PM活動時的延長質(zhì)保成本來確定。

Case 1 整個質(zhì)保期內(nèi)沒有PM活動。令產(chǎn)品在延長質(zhì)保期間的期望故障數(shù)為Ne,有

(8)

由于此方案下產(chǎn)品發(fā)生自然狀態(tài)下的退化現(xiàn)象,所以針對所有顧客,延保價格為

(9)

Case 2 在[0,Wb+We]期間實施二維PM措施,該策略下產(chǎn)品性能得到持續(xù)改善。

假定制造商實現(xiàn)最小質(zhì)保服務成本時,PM的時間間隔和使用度間隔分別為(K*,L*),實施次數(shù)為n*。令nb*表示在(K*,L*)策略下,BW期間實施的PM次數(shù)。于是制造商在EW的質(zhì)保服務成本為

(10)

延長質(zhì)保的價格為:

Case 3 只在[0,Wb]實施PM活動。該方案導致產(chǎn)品以較低的故障率進入EW。

對于平均使用率r,制造商的延長質(zhì)保服務成本為

(13)

由于EW期間沒有PM活動,所以延保價格為

(14)

Case 4 只在延長質(zhì)保期間實施PM項目。平均使用率r下,制造商承擔的延長質(zhì)保成本為

(15)

延長質(zhì)保價格為:

2.2 定制化延保價格模型

將顧客進行分類并提供相應的質(zhì)保服務,是定制化質(zhì)保合同的有效做法。本文將使用率最低的25%顧客定義為低使用率群體,使用率最高的25%顧客定義為高使用率群體,其余50%顧客為中使用率群體。根據(jù)該分類方法,延保最低售價可以調(diào)整為如下形式:

于是,根據(jù)EW期顧客支付的最大潛在維修費用,延長質(zhì)保的最高價格分別為:

上標l,m和h分別對應低、中和高使用率顧客,Nil,Nim和Nih分別表示定制化方案下3類顧客的產(chǎn)品在EW內(nèi)的期望故障次數(shù)。

3 案例分析

本節(jié)以某汽車零部件為例,驗證模型的有效性。假定產(chǎn)品出售時附帶二維質(zhì)保合同,顧客面臨購買EW的決策問題。設(shè)Wb=3 a,Ub=3×104km,We=3 a,Ue=3×104km;λ(t|r)的參數(shù)設(shè)置為θ0=0.1,θ1=0.2,θ2=0.7,θ3=0.7,與文獻[12]的數(shù)據(jù)相同。假設(shè)消費者的使用率r服從均勻分布,其概率密度函數(shù)為g(r)=1/(rmax-rmin),rmin≤r≤rmax。參考Huang等[14]模型中的數(shù)值,本文取rmin=0.2×104km/a,rmax=3.4×104km/a,并令rl=1.0×104km/a和rh=2.6×104km/a分別表示g(r)的第1個和第3個四分位點。令Cm=250元,表1給出了不同PM水平下δ(m)和Cp的取值,與文獻[8]的參數(shù)一致?？梢钥吹?隨著m的增大,年齡遞減因子變小,同時所投入的PM費用升高。

表1 PM的相關(guān)參數(shù)

工程實際中,預防性維修活動的實施通常是離散性的。本文利用MATLAB對模型進行求解,以得到最優(yōu)的PM策略及相應的質(zhì)保成本。為符合PM的可操作性,案例中K和L的搜索步長分別設(shè)置為1個月和1 000 km。

3.1 剛性PM策略和延保價格

表2給出不同PM水平取值下相對應的PM策略及延長質(zhì)保價格。圖2顯示了延長質(zhì)保價格的取值范圍。表2中K*,L*分別表示給定PM水平下,制造商實現(xiàn)最低質(zhì)保服務成本時,實施PM措施的時間間隔和使用量間隔;價格區(qū)間[Pl,Pu]中,Pl表示制造商制定的最低延長質(zhì)保售價,Pu表示顧客愿意支付的最高延保價格?？紤]制造商的盈利水平和顧客的支付意愿,價格區(qū)間的中間值是雙方總體滿意度最大的選擇。例如m=1時的Case 2,延長質(zhì)保價格區(qū)間為[2 014,2 165]元,平均價格P=(Pl+Pu)/2=2 090元。令Pr(Pr=Pu-Pl)表示每個Case中延長質(zhì)保售價的范圍,顯然Pr越大,雙方的選擇范圍越大,制造商的利潤空間和顧客承擔維修費用的靈活性越大,滿足雙方需求的可行解越豐富,如圖3所示。

表2 面向所有顧客的PM策略和延保價格

圖2 4種PM方案下的延保價格

PM水平mCase 1Case 2Case 3Case 4[Pl,Pu]K?L?[Pl,Pu]K?L?[Pl,Pu]K?L?[Pl,Pu]012345[309, 309][309, 309][309, 309][309, 309]510[175, 276]511[275, 275]511[298, 309]612[124, 225]511[232, 232]511[289, 309]715[137, 238]715[238, 238]715[288, 309]715[143, 228]715[228, 228]715[294, 309]1020[165, 196]715[224, 224]715[306, 309]

圖3 不同PM方案下的延保價格范圍

根據(jù)上述結(jié)果,可以得到以下結(jié)論:

1) Case 1和Case 3中,EW期沒有PM活動,所以Pl=Pu,如圖2a)和圖2c)所示。2 252元是Case 1的平衡點,延保價格高于2252元,顧客購買EW的意愿將會降低;而低于2250元,制造商則沒有質(zhì)保收益。在Case 3中,BW實施了PM措施,產(chǎn)品以較低的故障率進入EW期,延保價格低于Case 1。

2) Case 2中,Pr隨著m的增加而增大,如圖3所示。二維PM策略存在一個現(xiàn)象:當m=4時,制造商的質(zhì)保費用最低為921元,如圖2b)所示,此時PM的間隔期為9個月或1.5×104km。原因在于m≥4時,δ(m)逐漸變小,但是單次PM費用卻急速增加。

3) 不同方案中,最優(yōu)PM策略也具有差異性(Case 2中m=4,間隔期為9個月或1.5×104km,該方案的Pr也更大,如圖3所示;而Case 3和Case 4中m=3,間隔期為9個月或1.1×104km)。部分原因是BW和EW期內(nèi)分別單獨實施PM措施時,PM的間隔期相對小,造成的虛擬年齡減少量也較少,導致產(chǎn)品的故障率和質(zhì)保成本下降的少。

3.2 定制化延保價格策略

實際中,顧客之間的產(chǎn)品使用模式具有差異性,導致產(chǎn)品呈現(xiàn)出不同的退化規(guī)律。因此,基于使用率將顧客進行分類,制定與使用模式相適應的PM方案和延保價格機制會更符合工程實際需求,也可以為不同顧客提供更多選擇柔性質(zhì)保策略的機會。

表4 中使用率顧客的PM策略和延保價格

表5 低使用率顧客的PM策略和延保價格

表3～5分別給出了3類使用率顧客的最優(yōu)PM策略和延保價格。據(jù)此可以得出以下結(jié)論:

1) 針對Pl與Pu的值,高使用率顧客最小,中使用率最大,低使用率介于兩者之間,如表3～5所示。這是由于:高使用率顧客在很短時間內(nèi)便結(jié)束了質(zhì)保期,產(chǎn)品發(fā)生故障的維修費用最少;質(zhì)保結(jié)束時低使用率顧客的使用量遠低于使用度期限(U),說明產(chǎn)品的使用頻次比較低,維修費用也較少;中使用率顧客的使用時間和使用量都很接近2個維度的期限(W和U),產(chǎn)品的使用頻次和使用時間都很高,因此產(chǎn)品在2個維度上將會發(fā)生嚴重的退化現(xiàn)象。

2) 在Case 2、Case 3和Case 4中,隨著m的增加,二維PM的間隔期逐漸變大。說明PM的投入程度越大,相應的實施頻次越低,以緩解投入過高的PM成本。

3) 顧客使用模式的差異性導致相應的PM策略也隨之改變。以Case 2為例,對于高使用率顧客,當m=2、間隔期為6個月或1.2×104km時,制造商的質(zhì)保成本最小,Pr也最大;而針對中、低使用率顧客,m=4時,制造商的質(zhì)保成本最少,PM的間隔期分別為10個月或1.2×104km、12個月或1.0×104km。說明顧客的使用率越高,PM的實施頻次也相應提高,以減緩產(chǎn)品過高的故障率。

4 結(jié) 論

本文在二維質(zhì)?？蚣芟?針對免費維修質(zhì)保合同內(nèi)隨機失效的產(chǎn)品,研究延長質(zhì)保的定價問題。為反映使用時間和使用量對產(chǎn)品退化性能的影響,引入二維PM策略。通過構(gòu)建EW的成本模型,分析不同PM方案對延保價格的影響,并提出定制化的延保價格機制。根據(jù)案例分析,得出如下結(jié)論:①在BW和EW期內(nèi)實施統(tǒng)一的PM措施,制造商會獲得更高的延保收益,顧客也能夠體驗較高的產(chǎn)品性能;②為不同使用強度的顧客提供定制化的延長質(zhì)保價格和PM策略更加符合實際需求。后續(xù)研究可以采用按比例分攤質(zhì)保、可更新免費更換質(zhì)保等策略。此外，考慮多種維修方式的組合、顧客的風險偏好、環(huán)境變量以及不同分布的用戶使用率等因素,也可以豐富柔性質(zhì)保定價問題,得到更加符合工程實際的質(zhì)保策略。