馬先龍

摘要：對(duì)一個(gè)以等邊三角形為背景的線段最小值問(wèn)題進(jìn)行解析，之后進(jìn)行拓展，運(yùn)用拓展所得的結(jié)論，能快速地求出相應(yīng)問(wèn)題中線段的最小值.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴};解析;拓展;運(yùn)用

在初三數(shù)學(xué)教學(xué)中，遇到一個(gè)以等邊三角形為背景的線段最小值問(wèn)題.解析之后，發(fā)現(xiàn)此問(wèn)題可以進(jìn)行拓展，運(yùn)用拓展所得的結(jié)論，能快速地求出相應(yīng)問(wèn)題中線段的最小值.

1問(wèn)題與解析

1.1問(wèn)題

如圖1，在等邊OABC中，AB=4，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)M、N，求線段MN的最小值.

1.2解析

分析如圖1，直接求線段MN的最小值非常困難.連接AM、AP、AN.由題意，易知AM=AP=AN，∠MAN=120°，故AMN是頂角為120°的等腰三角形.易得MN=/3AM.于是MN=/3AP.由題意，易知AP≥2v3，從而，代入可得MN的最小值.

解如圖1，因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠BAC=∠ABC=60°.

連接AM、AP、AN，因?yàn)辄c(diǎn)P、M關(guān)于直線AB對(duì)稱，所以AM=AP，∠MAB=∠BAP=2∠MAP;同理，AN=AP，∠NAC=∠CAP=二1∠NAP.

所以AM=AP=AN，∠MAN=LMAP+∠NAP=2∠BAP+2∠CAP=2∠BAC=120°.

過(guò)點(diǎn)A作AD⊥MN于點(diǎn)D，在OAMN中，因?yàn)锳M=AN，AD⊥MN，所以∠MAD=2∠MAN=60°，MD=ND=-1MN，2

在Rt△AMD中，因?yàn)椤螦DM=90°，∠MAD=60°，

所以∠AMD=30°.所以AD=-AM，MD=y

所以MD=113AP.所以MN=v3AP.

過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，則根據(jù)“垂線段最短”，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)，線段AP的長(zhǎng)最小.

在Rt△ABP中，易知AP=￥AB=x4=2/3，22

所以AP≥23.所以線段MN的最小值是6.

2拓展與應(yīng)用

2.1拓展

在AABC中，AB=c，BC=a，CA=b，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)M、N，則MNnin=2bcsin∠BACmina

證明（1）如圖2，若∠BAC為銳角，連接AM、AP、AN，因?yàn)辄c(diǎn)P、M關(guān)于直線AB對(duì)稱，所以AM=AP，∠MAB=∠PAB;同理AN=AP，∠NAC=∠PAC.

所以MN=2APsin∠BAC.

因?yàn)閟in∠BAC為定值，故當(dāng)AP⊥BC，即AP最短時(shí)，MN長(zhǎng)最小

易知APmin=bcsin∠BAC

所以MNmin2bcsin2∠BAC

（2）如圖3，若∠BAC為直角，易知MN=2AP.

此時(shí)APmire=0，所以MNan=_2bc

此時(shí)sin∠BAC=1，故M…=2besin∠BAC仍然成立.

（3）如圖4，若LBAC為鈍角，連接AM、AP、AN.因?yàn)辄c(diǎn)P、M關(guān)于直線AB對(duì)稱，所以AM=AP，∠MAB=∠PAB;同理AN=AP，LNAC=∠PAC.

所以AM=AN，∠MAN=360°-2∠，BAC.

所以MN=2APsin∠BAC.

同樣，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP最短，MN長(zhǎng)最小.同（1），APmin=bcsin∠BACa

所以MNmin=52bcsin2∠BACmin

2.2應(yīng)用

例1如圖5，在AABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)M、N，求線段MN的最小值.

解如圖5，因?yàn)椤螧AC=90°，AB=AC=3，所以BC=32

由拓畏所得的結(jié)論，知

MN.=‘2x3x3sin290°-=3、2.min3J2

所以線段MN的最小值是3、2.

例2如圖6，在▲ABC中，LBAC=120°，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)M、N，求線段MN的最小值.

解如圖6，由條件，易得BC=2<4sin60°=4√3.由拓展所得的結(jié)論，知

MNmin2x4x4sin2120°=2/3.43

問(wèn)題的拓展與問(wèn)題的解決具有同樣的重要性[1]對(duì)問(wèn)題進(jìn)行拓展，可以引起更加廣泛的思考，培養(yǎng)思維的廣闊性與深刻性，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.很明顯，運(yùn)用拓展所得的結(jié)論，可以快速地求出更多類似的問(wèn)題中“連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)所得線段”的最小值，從而達(dá)到省時(shí)省力的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.