劉會(huì)峰， 李俊林， 楊棟輝

(1.太原科技大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，山西 太原 030024；2. 太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

超磁致伸縮材料是20 世紀(jì)70 年代發(fā)展起來(lái)的一種新型功能材料[1].超磁致伸縮材料因其具有磁致伸縮系數(shù)大、響應(yīng)快、能量密度大、精度高等特點(diǎn)[2]而在傳感器[3-5]、致動(dòng)器[6-7]及換能器[8-10]等中有廣泛的應(yīng)用. 然而， 在外激勵(lì)磁場(chǎng)作用下， 渦流不可避免地會(huì)導(dǎo)致輸出功率的降低及器件的過(guò)度發(fā)熱.

在過(guò)去的幾十年， 旨在降低渦流損耗影響的研究已取得了許多成果. 一些學(xué)者致力于廣泛應(yīng)用在車削加工領(lǐng)域的棒狀超磁致伸縮材料的研究[11-13]. 還有一些學(xué)者對(duì)超磁致伸縮材料板內(nèi)磁場(chǎng)與渦流的研究是基于無(wú)限大薄板的[14-15]， 在這種情形之下， 可以把板看作是二維的. 但事實(shí)上， 許多情況下， 把板簡(jiǎn)化為二維的薄板是不合理的. 本文我們主要研究三維矩形超磁致伸縮材料板內(nèi)的渦流分布情況， 此研究結(jié)果為合理選取材料參數(shù)降低渦流損耗提供了理論依據(jù).

1 矩形超磁致伸縮材料板內(nèi)部磁場(chǎng)強(qiáng)度

外磁場(chǎng)H0＝(0，0，H0z) ＝(0，0，Hsejωt) 作用于超磁致伸縮材料矩形板， 如圖1 所示，2a，2b，2c 分別表示矩形板的長(zhǎng)、寬及厚度.

圖1 外激勵(lì)磁場(chǎng)作用于矩形超磁致伸縮材料板Fig.1 The rectangular giant magnetostrictive plate is placed in the external magnetic field

由Maxwell 方程可得， 矩形超磁致伸縮材料板內(nèi)部磁場(chǎng)H(x，y) 可由以下方程確定[16]:

應(yīng)用二重Fourier 正弦變換， 可解得

所以，t 時(shí)刻板內(nèi)磁場(chǎng)強(qiáng)度為

2 矩形超磁致伸縮材料板內(nèi)部渦流密度

應(yīng)用Maxwell 方程?× H ＝J， 由上面的式(3)可得板內(nèi)x 方向和y 方向上的渦流如下:

于是， 渦流密度即為:

其中，

JR，JI分別表示渦流密度的實(shí)部與虛部； i→， j→分別表示x 方向與y 方向的單位向量. 所以，

由此可得單位體積內(nèi)渦流功率為:

其中，ρ 為材料的密度.

所以， 整個(gè)板內(nèi)每秒的渦流損耗為:

3 矩形超磁致伸縮材料板內(nèi)渦流密度的分布

矩形超磁致伸縮材料板的參數(shù)如下取值:2a ＝0.005 m，2b ＝0.01 m，f ＝500 Hz，μ0＝4π ×10-7H/m，μr＝32 ，σ ＝1.667 ×106S/m，Hs＝500 A/m， 我們可得板內(nèi)渦流密度的分布如下圖2 所示:

圖2 矩形超磁致伸縮材料板內(nèi)渦流密度分布:(a) 3D 視圖； (b) 沿z 軸方向俯視圖； (c) 沿y 軸方向視圖； (d) 沿x 軸方向視圖Fig.2 Distribution of eddy current density in rectangular magnetostrictive plates:(a) 3D view； (b) View along z-axis direction； (c) View along y-axis direction； (d) View along x-axis direction

圖2 給出了渦流密度的3 維視圖以及分別沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的視圖， 從圖中可以看出， 渦流在板內(nèi)呈軸對(duì)稱分布， 以平行于x 軸與y 軸的板的兩條中心軸線為對(duì)稱軸. 渦流在板的中心部分減小并趨于零， 在板的中心， 即在(a，b) 處， 由渦流密度的表達(dá)式可以看出， 當(dāng)x ＝a，y ＝b 時(shí)，

由此可知， 渦流的最小值取自板的四個(gè)邊角及板的中心處， 且Jmin＝0 . 而渦流密度的最大值取自平行于y 軸(矩形板的長(zhǎng)邊方向)的兩條邊的中點(diǎn)， 平行于x 軸的(矩形板的短邊方向)兩條邊的中點(diǎn)處渦流密度次之.特別地， 若板為正方形的， 則渦流密度為中心對(duì)稱的， 其最大值取自四條邊的中點(diǎn).

4 板內(nèi)渦流密度的影響因素

下面我們分別考慮外激勵(lì)頻率， 板的電導(dǎo)率及相對(duì)磁導(dǎo)率對(duì)板內(nèi)渦流密度的影響.

當(dāng)外激勵(lì)頻率分別取200 Hz、500 Hz、1 000 Hz 及1 500 Hz 時(shí)，板內(nèi)渦流密度的分布如圖3 所示. 由此可以看出， 隨著外激勵(lì)頻率的增大， 板內(nèi)渦流密度也在增大.

圖3 不同外激勵(lì)頻率下矩形超磁致伸縮材料板內(nèi)渦流密度的分布Fig.3 Distribution of eddy current density in rectangular giant magnetostrictive plate with different excitation frequency

圖4 不同相對(duì)磁導(dǎo)率下矩形超磁致伸縮材料板內(nèi)渦流密度的分布Fig.4 Distribution of eddy current density in rectangular giant magnetostrictive plate with different relative permeability

圖4 所示為當(dāng)板的相對(duì)磁導(dǎo)率μr分別取40，60，80 和100 時(shí)板內(nèi)渦流密度的變化. 由圖可知， 當(dāng)相對(duì)磁導(dǎo)率增大時(shí)， 渦流密度增大.

圖5 不同電導(dǎo)率下矩形超磁致伸縮材料板內(nèi)渦流密度的分布Fig.5 Distribution of eddy current density in rectangular giant magnetostrictive plate with different conductivity

圖5 給出了當(dāng)板的電導(dǎo)率σ 分別取1 ×106S/m、1.25 ×106S/m、1.5 ×106S/m 及1.67 ×106S/m 時(shí)板內(nèi)渦流密度的變化情況. 可以看出， 隨著材料電導(dǎo)率的增大， 板內(nèi)渦流密度也增大.

5 結(jié)論

1) 基于由雙重Fourier 級(jí)數(shù)表示的矩形超磁致伸縮材料板內(nèi)磁場(chǎng)函數(shù)所計(jì)算得到的板內(nèi)渦流密度函數(shù)表達(dá)式， 在理論上能較好地反映矩形板內(nèi)渦流密度的分布.

2)通過(guò)對(duì)超磁致伸縮材料板內(nèi)部渦流密度分布的分析， 得出渦流密度不僅與板的形狀有關(guān)， 還受外激勵(lì)頻率、材料的電導(dǎo)率及相對(duì)磁導(dǎo)率的影響.

3)外激勵(lì)頻率、材料的電導(dǎo)率及相對(duì)磁導(dǎo)率分別增大， 板內(nèi)渦流密度也隨之都增大.