房園園

三角換元技巧是一種用三角函數(shù)代替問題中的字母，然后利用三角函數(shù)之間的關(guān)系解決問題的一種代換方法，此法應(yīng)用廣泛，本文僅就這種方法在求解多元函數(shù)最值問題中的應(yīng)用，精選部分高考和競賽數(shù)學(xué)題為例說明如下.

一、解最大值問題

例1?（2015年第二十六屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二第1試第3題）當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，函數(shù)f（x，y）=x2-y2+y3-x2的最大值是（??）.

A.2??B.3??C.6??D.23

分析：本題直接求函數(shù)的最大值，比較繁瑣，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，尤其結(jié)合根號(hào)內(nèi)的代數(shù)式，通過三角換元，結(jié)合sin2θ+cos2θ=1，使問題的解答順暢明了.

解：設(shè)x=3sinα，y=2sinβ，（0≤α≤π2，0≤β≤π2），所以2-y2=2-2sin2β=2cosβ，3-x2=3cosα.則f（x，y）=3sinα·2cosβ+2sinβ·3cosα=6sin（α+β），因此當(dāng)α+β=π2時(shí)，f（x，y）max=6.故選C.

點(diǎn)評(píng)：這是一道二元無理函數(shù)的最值問題，通過巧妙配湊系數(shù)后，借助sin2θ+cos2θ=1，巧妙利用三角換元，將無理函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù)的化簡求最值問題，自然流暢地應(yīng)用正弦函數(shù)的有界性求得結(jié)果.其解法簡捷明了，其思路順理成章，真可謂匠心獨(dú)具，別有洞天，令人耳目一新.

例2?（2014年美國哈佛—麻省理工數(shù)學(xué)競賽題）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2-xy+2y2=8，試求x2+xy+2y2的最大值.

分析：這是一道二元最值問題，試題以二次方程的形式給出，去求二次式的最大值，入口較寬，可以從多個(gè)角度進(jìn)行思考，故能較好地考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維水平，本文僅介紹一種新穎簡捷的三角代換法.

解：因?yàn)閤2-xy+2y2=8，配方得，

（x-y2）2+74y2=8，設(shè)

x-y2=22cosθ，72y=22sinθ，

則x=227sinθ+22cosθ，①y=427sinθ，②

將①、②同時(shí)代入x2+xy+2y2中，得

x2+xy+2y2=（227sinθ+22cosθ）2+（227sinθ+22cosθ）·427sinθ+2（427sinθ）2

=887sin2θ+8cos2θ+327sinθcosθ=727+167sin2θ-167cos2θ=727+3227sin（2θ-φ），其中tanφ=77，故依據(jù)正弦函數(shù)的有界性，知當(dāng)sin（2θ-φ）=1時(shí)，x2+xy+2y2取得最大值72+3227.

點(diǎn)評(píng)：上述解法從已知條件入手，先將題設(shè)式進(jìn)行配方，結(jié)合三角換元，將條件三角化后代入目標(biāo)函數(shù)，從而溝通了題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了將代數(shù)最值問題化歸為三角函數(shù)最值問題來處理，最后根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，巧妙求得最大值.上述解法，不僅減少了計(jì)算量，而且豐富了同學(xué)們的解題思路，提高了解題速度.

二、解最小值問題

例3?（2015年福建省高考題）已知a>0，b>0，c>0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.

（1）求a+b+c的值;

（2）求14a2+19b2+c2的最小值.

分析：（1）易求得a+b+c=4;（2）本題所求目標(biāo)式的最小值涉及三個(gè)字母，難度大，然而通過變換與變形便能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，找到了三角換元求解就簡便了.

解：設(shè)14a2+19b2+c2=r2（r>0），令c=rsinβ，13b=rsinα·cosβ，

12a=rcosα·cosβ，其中，α，β∈[0，π2]代入a+b+c=4中變形得

1r=2cosα·cosβ+3sinα·cosβ+sinβ4.

因?yàn)棣隆蔥0，π2]，所以cosβ≥0，于是2cosα·cosβ+3sinα·cosβ=13cosβ·sin（α+φ）≤13cosβ，（其中tanφ=23）.所以2cosα·cosβ+3sinα·cosβ+sinβ≤13cosβ+sinβ≤14，所以1r≤144，即r2≥87，當(dāng)且僅當(dāng)a=87，b=187，c=27時(shí)等號(hào)成立，故14a2+19b2+c2的最小值為87.

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值函數(shù)最值的求法及其滿足約束條件的多元函數(shù)的最值問題的解法.對(duì)于第（1）小題我們利用絕對(duì)值的性質(zhì)易得a+b+c=4，上面給出的三角換元法求最值的方法，其實(shí)質(zhì)是空間極坐標(biāo)系也叫球坐標(biāo)系，數(shù)學(xué)選修《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》中有介紹，若將本題中12a，13b，c分別看作x，y，z，令14a2+19b2+c2=r2（r>0），即x2+y2+z2=r2.那么問題就轉(zhuǎn)化為球面方程，可選用空間極坐標(biāo)系法求解.

例4?（2014年高考遼寧卷·理第16題）對(duì)于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時(shí)，3a-4b+5c的最小值為????.

分析：本題為三元函數(shù)的最值問題，由于試題橫向入口較寬，縱向難度較大，綜合性和技巧性很強(qiáng)，因而同學(xué)們感到很棘手.然而根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)特征巧妙將已知條件變形，再運(yùn)用三角換元技巧就可將三元函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來求最小值，從而解題就便利了.

解：由已知得（2a-12b）2+154b2=c，

令2a-12b=ccosθ，152b=csinθ，則2a=c15sinθ+ccosθ，b=2c15sinθ，

從而2a+b=c15sinθ+2c15sinθ+ccosθ

=3c15sinθ+ccosθ=210c5sin（θ+φ），

于是（2a+b）max=210c5，此時(shí)4a2+4ab+b2=85c，即

4a2+4ab+b2=85（4a2-2ab+4b2），整理得4a2-12ab+9b2=0，即（2a-3b）2=0，得2a=3b.

又2a+b=4b=210c5，從而b=10c10，a=31020c，于是3a-4b+5c=-2b+5c=-210c+5c=5（1c-105）2-2≥-2.即3a-4b+5c的最小值為-2.

點(diǎn)評(píng)：上述方法是從條件入手，通過配方，將已知條件三角化后代入目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了將代數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題來處理.本題運(yùn)用三角換元技巧法求解，不僅簡潔明快，解法流暢，而且能啟迪思維，提高解題速度，拓寬視野.此題設(shè)計(jì)精巧，可以從多角度研究，思維分析切口較寬，解法也較多.然而，根據(jù)題中條件的結(jié)構(gòu)特征，利用三角換元思想解題可謂別具一格.

三、解最大值和最小值問題

例5?（2015年蘇錫常三市高考二模試題）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2+b2≤c≤1，求a+b+c的最大值和最小值.

分析：本題如從已知條件入手求解，則很難，但從結(jié)構(gòu)入手通過設(shè)a=rcosθ，b=rsinθ，則可聯(lián)系三角函數(shù)知識(shí)求得結(jié)果.

解：設(shè)a=rcosθ，b=rsinθ，θ∈[0，2π]，r≤c≤1，則a+b+c=rcosθ+rsinθ+c=2rsin（θ+π4）+c.由sin（θ+π4）∈[-1，1]可知a+b+c∈[-2r+c，2r+c].因?yàn)?≤r≤c≤1，那么2r+c≤1+2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22，c=1時(shí)，等號(hào)成立;又-2r+c≥-2c+c=（2c-1）22-12≥-12，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=-12，c=12時(shí)，等號(hào)成立.因此a+b+c的最大值為1+2，最小值為-12.

點(diǎn)評(píng)：本題屬于三元條件最值問題，直接用代數(shù)方法解較難.然而根據(jù)已知條件式子的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想三角換元，利用正弦函數(shù)有界性求得最大值和最小值.其解法思維自然，解法流暢，從而溝通了題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，使問題輕松得到解決.

從以上各例可以看出用三角換元技巧求高考最值問題，其關(guān)鍵是要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題設(shè)及所求題目的結(jié)構(gòu)特征經(jīng)過合理的推理，探究出問題中的隱藏的三角函數(shù)關(guān)系，列出符合題意的關(guān)系式，從而與代數(shù)有關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來，以達(dá)到解題目的.

用三角換元技巧求解高考最值問題之所以具有新穎別致、獨(dú)特創(chuàng)新的靈活性和創(chuàng)造性，是因?yàn)樵诮忸}過程中往往容易找到題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系，使原來抽象隱含的條件充分顯露出來，因而解題時(shí)，就能化繁為簡，變難為易.

用三角換元技巧求解高考最值問題，對(duì)于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)有一定的強(qiáng)化作用，有利于提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.這種解法的優(yōu)點(diǎn)在于可將已知條件中的二個(gè)或三個(gè)變量代換為同一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)來表示，從而利于我們運(yùn)用熟知的三角公式進(jìn)行化簡，直至問題的解決.