黃開志 陳小亮 張龍 鄭恒偉 李定玉

(重慶科技學(xué)院建筑工程學(xué)院， 重慶 401331)

相關(guān)研究顯示，超高精密傳感器件、精密機(jī)電產(chǎn)品及土建結(jié)構(gòu)等受自重的影響較大[1-6]。楊實如運(yùn)用材料力學(xué)假設(shè)，求出了小曲率圓環(huán)撓曲線微分方程的通解，并以實例說明如何利用所求通解計算圓環(huán)的內(nèi)力及位移[7]。王兆清采用重心插值配點(diǎn)法求解了圓環(huán)的位移及穩(wěn)定性[8]。彭美驥根據(jù)圓環(huán)變形的假設(shè)條件，用疊加原理推證了圓環(huán)振動時環(huán)上任意點(diǎn)的位移[9]。關(guān)于圓環(huán)在諸如集中力、集中力偶、靜水壓力、雙向均布對壓等載荷下的內(nèi)力和位移計算，現(xiàn)有研究文獻(xiàn)較多。

馬少華對橢圓環(huán)在雙向均布對壓下的內(nèi)力和位移進(jìn)行了計算[10]。分析橢圓環(huán)的內(nèi)力和位移，對該類產(chǎn)品的設(shè)計制造、安裝調(diào)試和維護(hù)保養(yǎng)等具有一定的意義，但相關(guān)文獻(xiàn)較少。本次研究未采用求解微分方程的辦法，而是借助重心公式，由能量法導(dǎo)出閉口和頂部開口橢圓環(huán)的內(nèi)力和位移計算公式，并舉例對求解結(jié)果進(jìn)行分析。

1 公式推導(dǎo)

1.1 閉口橢圓環(huán)

圖1所示力學(xué)模型中，均質(zhì)等截面線彈性閉口橢圓環(huán)放置在水平面上，受均布自重q作用，關(guān)于AB軸對稱，則A截面剪力為零，其為二次超靜定問題。

圖1 力學(xué)模型

1.1.1 內(nèi)力

在圖2所示原載荷下的內(nèi)力圖中，X1和X2為多余反力。設(shè)橢圓參數(shù)方程為：

(1)

離心角為φ的P點(diǎn)，其切線和法線斜率滿足：

結(jié)合式(1)，得式(2)：

(2)

圖2 原載荷下的內(nèi)力

離心角為α的點(diǎn)的弧坐標(biāo)s(α)滿足：

結(jié)合式(1),得式(3)：

(3)

AP段的重心C坐標(biāo)為：

結(jié)合式(1)(3)，得式(4)：

(4)

計算AP段均布自重q的合力：

結(jié)合式(3)得：

(5)

計算P截面上由q引起的內(nèi)力：

由式(1)(2)(4)(5)得式(6)

(6)

計算P截面上由x1和x2引起的內(nèi)力：

結(jié)合式(1)、(2)，得：

(7)

將式(6)和(7)對應(yīng)項相加，得P截面上的總內(nèi)力：

(8)

計算與彎矩對應(yīng)的應(yīng)變能：

(9)

A截面的轉(zhuǎn)角和沿軸線的位移均為0，由卡氏第二定理得式(10)：

(10)

由式(8)、(9)、(10)得式(11)：

(11)

其中：

將式(11)代入式(8)，可求得內(nèi)力。

1.1.2 位移

在圖3所示單位載荷下的內(nèi)力圖中，P截面分別虛加單位載荷Fx(φ)=1,Fy(φ)=1和Me(φ)=1時,在離心角為θ的Q截面引起的彎矩，依次為：

(12)

式中，θ∈[φ,π]。

圖3 單位載荷下的內(nèi)力圖

由單位載荷法，結(jié)合式(3)(8)(12)，計算位移：

(13)

1.2 開口橢圓環(huán)

若橢圓環(huán)在A截面開口，則據(jù)式(6)計算總內(nèi)力，將式(6)代入式(13)，即可得位移。

2 算例及結(jié)果分析

令橢圓環(huán)的水平軸與鉛垂軸之比為k。若k=2,借助Maple 18，由式(6)(8)可得圖4所示無量綱化內(nèi)力圖,由式(13)可得圖5所示無量綱化位移圖。

圖4 k=2時無量綱化內(nèi)力圖

圖5 k=2時無量綱化位移圖

根據(jù)表1和表2所示內(nèi)力和位移分析，得出以下主要分析結(jié)果。

表1 k=2時的內(nèi)力分析

表2 k=2時的位移分析

(1) 和開環(huán)相比，閉環(huán)的彎矩極值較小，但軸力極值較大，二者在底部可取得相同的剪力極值。在水平軸上，二者的彎矩相同，軸力也相同。

(2) 閉環(huán)的3個位移極值均小于開環(huán)。沿鉛垂軸的位移方面，閉環(huán)和開環(huán)在頂部相同，且閉環(huán)在該處取得極值，開環(huán)在水平軸上取得極值；沿水平軸的位移方面，開環(huán)在頂部取得極值；角位移方面，二者在頂部的轉(zhuǎn)角均為0。

由于沒有考慮軸力和剪力對位移的影響,故計算結(jié)果略小于實際值。