魯麗君 張東煥 王春光 楊志剛

摘 要：文章介紹了采用去掉多余約束桿件的方式計(jì)算超靜定桁架內(nèi)力的計(jì)算過(guò)程。以一次超靜定桁架為例，去除多余約束桿件并分別按相對(duì)、相背離兩種方式假設(shè)廣義多余未知力方向，詳細(xì)介紹了兩種情況下的位移協(xié)調(diào)條件的分析過(guò)程，建立了相應(yīng)的力法方程;并對(duì)兩種情況下的力法方程進(jìn)行求解計(jì)算，得出互為反號(hào)的內(nèi)力計(jì)算結(jié)果，同時(shí)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了分析，得出了完全一致的計(jì)算結(jié)論。

關(guān)鍵詞：超靜定桁架;多余桿件;方向假設(shè);內(nèi)力計(jì)算

中圖分類(lèi)號(hào)：O342

文章編號(hào)：2095-624X（2019）06-0142-03

用力法計(jì)算超靜定桁架結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)，解除多余約束的方式有兩種：一種是切斷多余約束桿件，一種是去掉多余約束桿件。這兩種不同的解除約束的方式所對(duì)應(yīng)的位移協(xié)調(diào)條件不一樣，建立的位移協(xié)調(diào)方程（即力法方程）不同。其中去掉多余約束桿件的解除約束方式在建立力法方程時(shí)對(duì)學(xué)生知識(shí)綜合運(yùn)用能力要求較高，需要綜合運(yùn)用前期所學(xué)的《理論力學(xué)》《材料力學(xué)》知識(shí)，正確分析位移協(xié)調(diào)條件，才能建立出力法方程。這比采用切斷多余約束桿件的方式建立力法方程要困難得多，而現(xiàn)有的各種《結(jié)構(gòu)力學(xué)》教材以及相關(guān)輔導(dǎo)資料中很少有采用去掉多余約束桿件的方式計(jì)算超靜定桁架內(nèi)力的講解。李廉錕編著的《結(jié)構(gòu)力學(xué)》第六版[1]例題7-2采用切斷多余約束桿件的方式講解了一次超靜定桁架結(jié)構(gòu)內(nèi)力的計(jì)算過(guò)程，但對(duì)去除多余約束桿件的方式只給出了方程，而沒(méi)有講解方程的建立過(guò)程。這里以該例題為例，詳細(xì)講解采用去掉多余約束桿件的方式計(jì)算該超靜定桁架結(jié)構(gòu)內(nèi)力的步驟與過(guò)程。

一、 建立力法方程

李廉錕編著的《結(jié)構(gòu)力學(xué)》第六版例題7-2，原結(jié)構(gòu)為一次超靜定桁架（圖1）。采取去掉上弦桿34的方式解除多余約束，得到一次超靜定桁架的基本結(jié)構(gòu)（圖2）。去掉的弦桿34用作用于結(jié)點(diǎn)3、4的廣義多余未知力（一對(duì)大小相等、方向相反沿上弦桿34軸向的力）代替，由于廣義多余未知力未知，它的方向可按相向（圖3（a））和背離（圖3（b））兩種情況假設(shè)，而得到圖3所示的超靜定桁架結(jié)構(gòu)的基本體系。基本體系的受力與原結(jié)構(gòu)（圖1）等效，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖3（a）、圖3（b）所示結(jié)構(gòu)體系的計(jì)算。為了方便后續(xù)分析對(duì)比，圖3（a）和圖3（b）中廣義多余未知力分別用X、X表示，下面分別討論這兩種不同方向假設(shè)下的力法方程。

1.廣義多余未知力指向——相向

基本體系如圖3（a）所示，根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件：基本體系中與廣義多余未知力對(duì)應(yīng)的變形應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的伸縮變形相同。去掉上弦桿34后（圖3（a））與廣義多余未知力X對(duì)應(yīng)的變形為3、4結(jié)點(diǎn)的相對(duì)水平位移，它應(yīng)該與原結(jié)構(gòu)（圖1）上弦桿34的變形相同。

基本體系在X和結(jié)點(diǎn)3、4上的外力F共同作用下所產(chǎn)生的3、4結(jié)點(diǎn)間的相對(duì)水平相對(duì)位移，根據(jù)疊加原理等于X與荷載F分別作用時(shí)產(chǎn)生的位移之和，即δX+△;

δ——系數(shù)。單位多余未知力——即令X=1時(shí)所引起的沿X'1方向的位移;

△——自由項(xiàng)。外荷載集中力F所引起的沿X方向的位移;

原結(jié)構(gòu)3、4節(jié)點(diǎn)的相對(duì)水平位移即為弦桿34的軸向變形記作△1。根據(jù)多余未知力相向假設(shè)（圖3（a）），可推知上弦桿34受力方向如圖4——弦桿34上的力與圖3（a）中的廣義多余未知力X互為作用力與反作用力[2]：

建立力法方程時(shí)結(jié)點(diǎn)3、4的相對(duì)水平距離以與圖3（a）所示基本體系中廣義多余未知力方向一致為正，即結(jié)點(diǎn)3、4的相對(duì)水平距離以相對(duì)縮小為正;而由圖4可知弦桿34受拉，桿件伸長(zhǎng)，即原結(jié)構(gòu)（圖1）結(jié)點(diǎn)3、4的相對(duì)水平距離增大，因此根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件：結(jié)點(diǎn)3、4的相對(duì)水平位移為負(fù)值。力法方程如下：

2.廣義多余未知力指向——背離

同理基本體系（圖3（b））中，與廣義多余未知力X對(duì)應(yīng)的變形為3、4結(jié)點(diǎn)的相對(duì)水平位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)（圖1）上弦桿34的伸縮變形相同?；倔w系在多余未知力X和結(jié)點(diǎn)3、4上的外力F共同作用下，根據(jù)疊加原理，與廣義力X對(duì)應(yīng)的3、4結(jié)點(diǎn)間的相對(duì)水平相對(duì)位移為δX+△;系數(shù)δ，自由項(xiàng)△含義與2.1中的δ，△相同，即

δ——系數(shù)。單位多余未知力——即令X=1時(shí)所引起的沿X方向的位移;

△——自由項(xiàng)。外荷載集中力F所引起的沿X方向的位移;

根據(jù)多余未知力相背離假設(shè)（圖3（b）），可推知原結(jié)構(gòu)上弦桿受力如圖5——弦桿34上的力與圖3（b）中的廣義多余未知力X互為作用力與反作用力，弦桿34的軸向變形記作△1：

根據(jù)圖3（b）建立力法典型方程時(shí)，結(jié)點(diǎn)3、4的相對(duì)水平距離以與圖3（b）所示基本體系中多余未知力方向一致為正，即結(jié)點(diǎn)3、4的相對(duì)水平距離以增大為正。而由圖5可知原結(jié)構(gòu)上弦桿34受壓，桿件壓縮，結(jié)點(diǎn)3、4的相對(duì)水平距離減小。同理根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件：結(jié)點(diǎn)3、4的相對(duì)水平位移為負(fù)值，力法方程如下：

根據(jù)廣義多余未知力指向——相向與廣義多余未知力指向——背離的分析對(duì)比發(fā)現(xiàn)：去除多余約束桿件34，廣義多余未知力不論按圖3（a）相向假設(shè)還是按圖3（b）背離假設(shè)，位移協(xié)調(diào)條件是一樣的，與多余廣義未知力的方向假設(shè)無(wú)關(guān)。將力法方程（1）與方程（2）進(jìn)行移項(xiàng)整理得到如下方程：

二、力法方程求解

根據(jù)《結(jié)構(gòu)力學(xué)》知識(shí)，系數(shù)δ、δ和自由項(xiàng)△、△的計(jì)算公式如下：

F、F——單位廣義多余未知力單獨(dú)作用時(shí)，即X=1、X=1單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)（圖2）上時(shí)所引起的各桿件的內(nèi)力值;

F、F——3、4結(jié)點(diǎn)集中力F單獨(dú)作用時(shí)所引起的基本結(jié)構(gòu)（圖2）中各桿件的內(nèi)力值;

1——基本結(jié)構(gòu)（圖2）中各桿件的長(zhǎng)度;

EA——基本結(jié)構(gòu)（圖2）中各桿件的材料常數(shù)。

根據(jù)公式（5）和公式（6），計(jì)算基本結(jié)構(gòu)（圖2）分別在單位廣義多余未知力X=1;3、4結(jié)點(diǎn)荷載F作用下各桿的內(nèi)力F、F，計(jì)算結(jié)果如圖6所示。各桿件桿長(zhǎng)數(shù)據(jù)、內(nèi)力計(jì)算結(jié)果匯總列于表1。

同樣計(jì)算基本結(jié)構(gòu)（圖2）分別在單位廣義多余未知力X=1;3、4結(jié)點(diǎn)荷載F作用下各桿的內(nèi)力F、F，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。各桿件桿長(zhǎng)數(shù)據(jù)、內(nèi)力計(jì)算結(jié)果匯總列于表2。

根據(jù)系數(shù)計(jì)算公式（5）和表1與表2中內(nèi)力和桿長(zhǎng)數(shù)據(jù)計(jì)算可得：

同理根據(jù)自由項(xiàng)計(jì)算公式（6） 和表1與表2中內(nèi)力和桿長(zhǎng)數(shù)據(jù)計(jì)算可得：

將系數(shù)和自由項(xiàng)計(jì)算結(jié)果代入方程（3）和方程（4）并消去相同參數(shù)EA可得：

求解方程（7）和方程（8）可得：

X與X絕對(duì)值相等，異號(hào)。X計(jì)算結(jié)果表明：多余未知力的方向與X假設(shè)方向相同，即弦桿34受力如圖4，弦桿34承受拉力;X計(jì)算結(jié)果則表明：多余未知力方向與X方向相反，即弦桿34實(shí)際受力與圖5方向相反，同樣可推知弦桿承受同樣大小的拉力，計(jì)算結(jié)論完全一致。

去除多余約束桿件方式求解超靜定桁架結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵在于建立位移協(xié)調(diào)方程時(shí)與所解除約束對(duì)應(yīng)的位移數(shù)據(jù)的確定——即方程（1）和（2）等號(hào)右邊數(shù)值的確定，特別是數(shù)值正負(fù)號(hào)的確定。去除多余約束桿件后廣義多余未知力分別按相向和相背離假設(shè)，在分析位移協(xié)調(diào)條件時(shí)略有差異——正、負(fù)號(hào)處理上的差異，但最后分析得出的位移協(xié)調(diào)條件——方程（1）和方程（2）完全相同，即位移協(xié)調(diào)方程與廣義多余未知力的方向假設(shè)無(wú)關(guān)。

雖然采用力法計(jì)算超靜定桁架結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)，切斷多余桿件方式建立位移協(xié)調(diào)方程——即力法方程相對(duì)更容易;但去除多余桿件方式的分析和求解過(guò)程有助于加強(qiáng)對(duì)力法基本思想的理解，加深對(duì)力法位移協(xié)調(diào)條件的認(rèn)識(shí)，從而更好地掌握和運(yùn)用力法。

參考文獻(xiàn)：

[1]李廉錕.結(jié)構(gòu)力學(xué)（上冊(cè)）（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)（I）（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3] 孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來(lái)泰.材料力學(xué)（I）（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

作者簡(jiǎn)介：魯麗君（1977—），女，山東理工大學(xué)建筑工程學(xué)院講師，研究方向：結(jié)構(gòu)疲勞損傷預(yù)測(cè)與評(píng)估。