劉 凱，陳慧巖，龔建偉，陳舒平，張 玉

（北京理工大學機械與車輛學院，北京 100081）

前言

隨著計算機信息處理技術和傳感器技術的進步，基于高效環(huán)境感知的無人駕駛車輛技術迅速發(fā)展，并在軍事及商業(yè)應用領域取得了長足的進步［1］。未來無人駕駛車輛發(fā)展的一個重要趨勢是提高無人駕駛車輛的行駛速度，使之在高速條件下具有良好的穩(wěn)定性和安全性［2-3］。然而，高速無人駕駛車輛的操控穩(wěn)定性受到高度非線性的車輛動力學特性約束，特別是在低附著路面或存在復雜曲率的道路上行駛時，容易發(fā)生側滑甚至導致車輛失控，嚴重威脅著無人駕駛車輛及乘員的安全［4］。因此，通過系統(tǒng)地考慮高速車輛的非線性動力學特性以及復雜道路條件的影響，研究高速無人駕駛車輛的操控穩(wěn)定性，成為無人駕駛車輛發(fā)展的關鍵技術。

目前，模型預測控制由于具備能夠系統(tǒng)地考慮模型非線性，且易于處理多約束優(yōu)化問題等優(yōu)勢，在無人駕駛車輛的運動規(guī)劃與控制等領域得到廣泛的應用［5-6］。然而，模型預測控制方法通常依賴車輛本身的穩(wěn)定性操控系統(tǒng)，如電子穩(wěn)定控制（ESC）等來防止車輛失穩(wěn)。這就導致經(jīng)過車載系統(tǒng)調整后的軌跡無法保證車輛的無碰撞行駛。針對這一問題，將滑移包絡線等車輛操控穩(wěn)定性約束與模型預測控制相結合的軌跡跟蹤方法被廣泛用于保證無人駕駛車輛在接近速度極限下的行駛安全［7-8］。但該方法沒有充分考慮地面附著力以及道路曲率對車輛操控穩(wěn)定性的影響。此外，相較于常規(guī)速度，高速下的無人駕駛車輛需更長的預測時域和更高的實時性來保證行駛安全［9］。然而，使用非線性動力學模型描述車輛運動所導致的計算復雜度是阻礙其推廣應用的重要原因。

針對上述問題，本文中在深入研究地面附著條件和道路曲率對車輛轉向特性和穩(wěn)定性影響的基礎上，建立了考慮道路曲率的高速車輛等效動力學模型，并提出一種變步長的模型離散化方法，能在保證車輛模型預測精度的基礎上，實現(xiàn)較長的預測時域，并滿足計算實時性的要求。通過分析車輛穩(wěn)態(tài)行駛時的最大橫擺角速度和輪胎最大側偏力，得出了高速無人駕駛車輛滑移穩(wěn)定的約束條件，并得出了車輛在道路內行駛的環(huán)境約束條件。最后將在高速和滑移等復雜約束下的無人駕駛車輛操控穩(wěn)定性操控問題轉化為二次型優(yōu)化問題，并運用模型預測控制算法實時計算滿足約束條件的車輛無碰撞運動軌跡及控制序列，從而保證車輛行駛安全與操控穩(wěn)定性。

1 車輛動力學建模

高速車輛的等效動力學建模是研究其軌跡跟蹤控制及操控穩(wěn)定性的基礎。考慮道路曲率對高速車輛轉向特性和行駛穩(wěn)定性的影響，建立高速車輛等效動力學模型，如圖1所示。

考慮高速行駛的特性，車輛前輪偏角δf和車輛與參考路徑之間的航向角偏差eψ采用小角度假設，車輛的動力學模型為

圖1 車輛動力學模型

式中：vx，vy分別為車體質心處的縱向和橫向速度；Fyf，F(xiàn)yr為前輪和后輪的側向力；r為車體航向角變化率；m為車輛質量；Iz為車身繞z軸的轉動慣量；κ為參考道路的曲率；lf，lr分別為車輛質心到前軸和后軸的距離；ey為車輛與參考路徑的橫向距離偏差；ψ和ψr為車體航向角和參考路徑切向角。式（1）中的非線性因素主要來自輪胎側向力，本文中采用Pacejka提出的Brush輪胎模型［10］計算輪胎側向力Fy：

式中：α為輪胎側偏角；Cα為輪胎的側偏剛度。

當路面的摩擦因數(shù)μ及輪胎垂直載荷Fz確定后，輪胎側向力Fy可簡化為輪胎的等效側偏剛度與輪胎側偏角α的線性模型：

由于此線性輪胎模型只在輪胎側向力的線性區(qū)域內有效，如圖2所示。因此，在應用中需要限制輪胎側偏角的閾值αt。輪胎的側偏角α和等效側偏剛度ˉ可通過實時參數(shù)估計方法得到［11］。

圖2 輪胎側向力與側偏角的關系

式中：h為車輛質心相對于底盤的高度；ax為車輛的縱向加速度。

通過小角度假設可近似得到車輛前后輪胎的側偏角 αf和 αr：

綜合式（1）～式（7），令 ξ=［vyr eyeψ］T為狀態(tài)向量，u1=δf為控制輸入量，u2=κ為附加輸入，可得到考慮道路曲率和路面傾角的高速車輛等效動力學模型：

2 變步長的模型離散化方法

由于高速時的無人駕駛車輛軌跡跟蹤比常速時需要更長的預測時域來應對環(huán)境變化，因此車輛動力學模型的離散化方法對車輛控制算法的實時性至關重要。然而，確定模型離散化的采樣步長仍然是一個挑戰(zhàn)，不論采用較大還是較小的采樣步長，都有各自的優(yōu)缺點：使用較小的采樣步長可使得系統(tǒng)的控制效果更好，但由于預測步數(shù)的增多使得控制系統(tǒng)的運算效率降低；而采用較大的采樣步長則需要以犧牲一定預測精度來實現(xiàn)較長的預測時域?？紤]到高速無人駕駛汽車軌跡跟蹤對于模型預測精度、計算實時性和車輛操控穩(wěn)定性都有較高的要求，所以單一固定的采樣步長已無法滿足實際需求。

針對這一挑戰(zhàn)，本文中采用變步長的離散化方法來實現(xiàn)較長的預測時域，并保證離散后車輛動力學模型的預測精度和計算實時性。此模型離散方法將整個預測時域分成兩部分：第一部分使用短步長ts進行離散以保證離散后模型的精度；第二部分使用較長的步長tl進行離散，在合理的模型精度和計算量下實現(xiàn)較長的預測時域。設整個預測時域為Np，并在第Ns步分成短步長離散和長步長離散兩個部分。

第一部分，k=0，…，Ns，將式（8）表示的車輛動力學模型以ts為步長，使用0階保持（ZOH）進行離散。首先設計增廣向量 zs=［ξ，u1，u2］T，則式（8）可表示為

式（9）通過對Gsts進行矩陣指數(shù)函數(shù)計算，并采取0階保持可得

根據(jù)不同離散步長使用不同的模型離散化方法的對比如圖3所示。

圖3 變步長的模型離散化方法對比

圖3中帶圈虛線為一組期望的控制器輸入量，帶星號的實線為式（11）離散模型的輸入。可看出這種離散方法能夠比較精確地符合期望的控制輸入量，這是因為車輛的底層控制器也會在1個控制周期ts內保持控制量恒定。然而，0階保持對于第二部分k=Ns＋1，…，Np則不再適用，因為在0階保持會限定這部分的控制量在較長的預測周期tl內保持不變，如圖3中點劃線所示?？煽闯鲈摷僭O會使得模型輸入與期望的控制產(chǎn)生較大的偏離，因為控制量在一個較長時間內可能會有比較顯著的變化。針對這種情況，1階保持通過假設控制量在預測周期tl內呈線性變化，有效地適應了較長的離散步長，提供了更好的長步長離散化方法，如圖3中短虛線所示。雖短虛線仍無法與帶圈虛線重合，但在控制精度可接受的范圍內。因此，將預測時域的第二部分（k=Ns＋1，…，Np），以 tl為步長，使用 1階保持（FOH）進行離散。

3 基于MPC的軌跡跟蹤控制器

3.1 滑移穩(wěn)定性約束

車輛滑移主要是由輪胎變形產(chǎn)生側偏角導致的，本文中將輪胎側偏角限制在［-αt，αt］，以保證線性化輪胎模型的有效性。根據(jù)對后輪側偏角的限制推導車輛的滑移穩(wěn)定性約束。后輪最大側偏角限制可以由式（7）轉化為對車輛橫向速度vy和航向角變化率r的約束

式中航向角變化率的閾值可根據(jù)后輪最大側偏力及式（1）獲得：

式（15）和式（16）約束組成了一個封閉的包絡線，如圖4所示，其中，①和③代表的是式（15）約束，②和④代表的是式（16）約束。當車輛狀態(tài)處于包絡線之內，車輛滿足滑移約束。然而，車輛狀態(tài)超出包絡線并不必然導致車輛失穩(wěn)，例如當后輪側偏角超出閾值，后輪側偏力進入輪胎模型的非線性區(qū)域，雖然輪胎力的線性化條件失效，但短時間內仍能保持車輛的可控性。因此，設置了約束松弛因子允許車輛狀態(tài)暫時超出包絡線的限制，優(yōu)先保證車輛的無碰撞軌跡。

3.2 道路環(huán)境及執(zhí)行機構飽和約束

圖4 高速車輛滑移的包絡線約束

道路環(huán)境對高速車輛的約束主要表現(xiàn)為車輛軌跡須保持在給定的可行區(qū)域內，并滿足無碰撞的要求。高速車輛避障功能可通過在生成可行區(qū)域時考慮障礙物的影響來實現(xiàn)。本文中將道路環(huán)境對車輛軌跡的約束表示為一系列橫向偏差閾值的組合，如圖5所示。

圖5 道路環(huán)境約束

首先根據(jù)車輛縱向速度和車輛動力學模型的離散化步長，在道路的縱向上生成一系列參考點。然后將道路環(huán)境約束對參考點的橫向跟蹤偏差閾值定義為 emax（k）和 emin（k），因此道路環(huán)境約束為

式中：ξ（k）為車輛在第 k時刻的狀態(tài)；ds為一個根據(jù)車體尺寸定義的安全距離。

此外，高速車輛的跟蹤控制須滿足底層驅動力的限制，設 δf，max和 Δδf，max分別為前輪偏角及其變化量的閾值，則

3.3 模型預測控制問題

考慮滑移和側傾的高速無人駕駛車輛運動規(guī)劃與跟蹤控制問題可轉換為式（21）的二次型最優(yōu)求解問題，并通過實時求解生成有效避險的運動規(guī)劃軌跡及最優(yōu)控制序列，同時防止車輛側滑危險的發(fā)生。模型預測控制中所涉及的變量及其數(shù)值如表1所示。

表1 模型預測控制使用的參數(shù)及其數(shù)值說明

式中待優(yōu)化的變量是車輛前輪偏角控制量δf和滑移約束的松弛因子Ssh。松弛因子的存在是為了通過允許高速車輛出現(xiàn)暫時性滑移現(xiàn)象以保證此優(yōu)化問題始終存在可行解。需要調試的參數(shù)為Wδf，Wey，Weψ和松弛因子的權重 Ws，通過選取不同的權重可以體現(xiàn)出優(yōu)化目標的優(yōu)先級。對車輛滑移約束施加一定的松弛因子，可保證當?shù)缆返臒o碰撞軌跡與穩(wěn)定性約束發(fā)生沖突時，優(yōu)先保證車輛在可行區(qū)域內行駛，即允許車輛暫時發(fā)生滑移。

式（21）中：式（21a）抑制了高速無人駕駛車輛相對于參考路徑的橫向偏差和航向偏差，體現(xiàn)了路徑跟蹤的期望；式（21b）建立了跟蹤參考路徑與控制量平滑之間的關系；式（21c）對車輛滑移穩(wěn)定性約束的松弛因子進行懲罰，促使高速車輛盡量不出現(xiàn)滑移現(xiàn)象；式（21d）和式（21e）分別為變步長離散方法得到的車輛動力學等效模型；式（21f）和式（21g）分別為針對高速車輛行駛過程中穩(wěn)定性的包絡線滑移約束和道路環(huán)境約束；式（21h）和式（21i）體現(xiàn)了對車輛執(zhí)行機構和底層驅動能力的約束。

本文中使用 CVXGEN［12］生成針對求解式（21）二次型優(yōu)化問題的求解器，優(yōu)化得到前輪偏角的最優(yōu)控制序列，模型預測控制使用的參數(shù)說明見表1。

4 仿真試驗研究

為驗證本文中所提出的控制器保持高速無人駕駛車輛操控穩(wěn)定性的能力，并保證仿真研究的充分性，在多種道路條件和車速下進行對比仿真試驗，分別選取干燥的瀝青路面、潮濕的瀝青路面和冰雪覆蓋的路面等3種典型道路。不同道路摩擦因數(shù)的取值根據(jù)文獻［13］中獲得。通過CarSim／Simulink搭建聯(lián)合仿真試驗環(huán)境，仿真測試道路包含3個連續(xù)大曲率彎道，如圖6所示。仿真所用車輛模型的各項參數(shù)如表2所示。

圖6 CarSim／Simulink聯(lián)合仿真測試道路

4.1 干燥的瀝青路面

干燥瀝青路面的摩擦因數(shù)設為0.85，分別以70，80，90和100 km／h的車速進行仿真試驗，試驗結果如圖7所示。圖7（a）為高速無人駕駛車輛的橫向跟蹤誤差對比圖，7（b）為軌跡跟蹤控制器優(yōu)化得到的前輪轉角控制量，7（c）為軌跡跟蹤過程中車輛質心橫向速度及橫擺角速度的對比圖。

表2 車輛參數(shù)及其數(shù)值說明

由圖7（a）可知，高速無人駕駛車輛的橫向跟蹤偏差始終保持在0.5 m以內。圖7（b）則顯示，無論在何種速度，控制器優(yōu)化得到的前輪轉角都處于執(zhí)行機構的機械飽和約束范圍內。由圖7（c）可知，被控車輛的車輛質心橫向速度及橫擺角速度始終處于滑移包絡線之內，即高速車輛處于操控穩(wěn)定性的狀態(tài)，而且車速越低，車輛越穩(wěn)定，與實際規(guī)律相符合。仿真結果驗證了本文中提出的軌跡跟蹤控制器在干燥瀝青道路下的有效性。

4.2 潮濕的瀝青路面

潮濕瀝青路面的路面摩擦因數(shù)設為0.6，仿真測試車速分別為60，70，80和90 km／h，試驗結果如圖8所示。

高速無人駕駛車輛的橫向跟蹤偏差對比圖如圖8（a）所示，可以看出當車速低于95 km／h時，被控車輛的跟蹤誤差始終保持在0.5 m以內，即始終行駛在給定的道路區(qū)域內。然而，當車速高于95 km／h時橫向跟蹤偏差會超過道路環(huán)境約束。這種情況發(fā)生主要是由于當車速過高時，潮濕地面所能提供的附著力不足以約束車輛的橫向滑移所導致的。

跟蹤控制器優(yōu)化得到的前輪轉角如圖8（b）所示，滿足轉向機構的機械飽和約束。被控車輛的車輛質心橫向速度及橫擺角速度的軌跡如圖8（c）所示，當車速低于95 km／h時被控車輛的橫向速度和橫擺角速度仍然處于滑移包絡線之內，但是當車速高于95 km／h時滑移包絡線約束失效，車輛發(fā)生失穩(wěn)。綜上可知，本文中提出的高速車輛軌跡跟蹤控制器可在一定速度下有效地控制車輛安全地行駛在潮濕的瀝青路面上，具有較為令人滿意的控制效果。

圖7 干燥瀝青路面上的路徑跟蹤仿真結果

4.3 冰雪覆蓋的路面

在冰雪路面上進行仿真試驗可更為有效地檢驗本文中提出的方法保證高速無人駕駛車輛操控穩(wěn)定性的能力。冰雪覆蓋道路的路面摩擦因數(shù)設為0.3，仿真車速分別取為 50，60，65和 70 km／h，仿真結果如圖9所示。可以看出，本文中設計的路徑跟蹤控制器在冰雪路面上仍具有較好的控制效果，能夠以一定的速度在較低的路面附著系數(shù)下實現(xiàn)被控車輛安全穩(wěn)定地行駛。但是當車速超過65 km／h后則不能保證車輛在冰雪路面的穩(wěn)定行駛。

圖8 潮濕瀝青路面上的路徑跟蹤仿真結果

綜上所述，本文中提出的高速無人駕駛車輛軌跡跟蹤控制器能充分地利用道路的曲率信息，且能適應多種路面條件，對路面摩擦因數(shù)的變化有較好的魯棒性，可有效減少車輛的滑移現(xiàn)象，從而保持車輛的操控穩(wěn)定性。

圖9 冰雪路面上的路徑跟蹤仿真結果

5 結論

（1）提出了一種考慮道路曲率的高速車輛等效動力學模型及變步長的模型離散化方法，解決了在滿足一定模型預測精度，實現(xiàn)較長預測時域并保證計算實時性的問題。

（2）針對高速無人駕駛車輛的操控穩(wěn)定性要求，推導了基于包絡線的滑移穩(wěn)定性約束，并設計了基于模型預測控制的高速軌跡跟蹤控制算法。仿真試驗證明，該算法可適應不同的道路條件和復雜的道路曲率，能夠在高速和側滑等約束下得到最優(yōu)運動軌跡和控制序列，在保證無碰撞軌跡的前提下實現(xiàn)車輛的操控穩(wěn)定性。