馬 帥,高 亮,劉秀波，蔡小培

(1.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；2.中國鐵道科學研究院集團有限公司 基礎設施檢測研究所，北京 100081)

我國客貨共線鐵路正線一般采用有砟軌道、長大隧道一般采用無砟軌道。對于客貨共線無砟軌道，由于開行貨運列車，運營條件和環(huán)境比客運專線無砟軌道或有砟軌道差，而在結構和力學性能上與客貨共線有砟軌道也存在顯著差異；即使在相同的外界環(huán)境下，4種不同條件下軌道結構的平順狀態(tài)也將呈現(xiàn)不同的發(fā)展規(guī)律。因此，有必要針對客貨共線無砟軌道建立軌道平順狀態(tài)預測模型，為制定合理維修計劃奠定基礎。

國內(nèi)外學者在軌道平順狀態(tài)預測方面取得了許多研究成果。早期學者通過試驗和軌檢車實測數(shù)據(jù)歸納分析建立了多個預測模型，如日本學者的預測公式[1-3]，國際鐵路聯(lián)盟ORE的軌道不平順惡化率線性模型[4]，加拿大PWMIS系統(tǒng)的線性預測模型[5]。此外，相關學者還將多種數(shù)據(jù)分析方法用于軌道平順狀態(tài)預測，如基于卡爾曼濾波的軌檢車數(shù)據(jù)預測分析方法[6]、基于軌道不平順概率分布的特性矩陣法[7]、考慮軌道狀態(tài)惡化眾多影響因素的綜合因子法[8]、改進型指數(shù)平滑預測模型[9]、基于平均劣化率的軌道質(zhì)量短期預測模型[10]、基于灰色系統(tǒng)理論的非等時距GM(1,1)預測模型[11]及其修正模型[12]、灰色GM(1,1)與AR模型的組合模型[13]、灰色模型與神經(jīng)網(wǎng)絡的組合模型[14]等。這些預測模型主要針對有砟軌道，有砟軌道平順狀態(tài)發(fā)展規(guī)律通常滿足分段線性、多項式或指數(shù)等具有明顯趨勢的形式。而研究發(fā)現(xiàn)，客貨共線無砟軌道的軌道質(zhì)量指數(shù)TQI在相當長的時間內(nèi)并無明顯惡化趨勢，通常呈長期趨勢緩慢變化并伴隨平穩(wěn)波動，因此以往的預測模型難以分析這種變化特征。

基于客貨共線無砟軌道TQI的時間序列變化特征，結合小波分析和時間序列分析預測方法，本文提出將ARMA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡和ARMA-SVR模型用于無砟軌道平順狀態(tài)預測。首先對TQI原始序列進行小波分解，將ARMA模型用于預測TQI序列平穩(wěn)波動成分，同時利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量回歸SVR對TQI序列的慢變趨勢成分進行建模與預測，最后綜合2種成分的預測值獲得最終預測結果。

1 TQI時間序列特征

TQI是我國工務部門評價軌道質(zhì)量和指導線路養(yǎng)護維修的重要參數(shù)，由200 m區(qū)段內(nèi)左右高低、左右軌向、軌距、水平和三角坑共7項軌道不平順的標準差求和得到，能夠有效反映軌道平順性。

本文數(shù)據(jù)來自包西線慶興隧道和太中線吳堡隧道的軌檢車檢測數(shù)據(jù)，2條線路的設計速度均為160 km·h-1，隧道內(nèi)分別鋪設Ⅰ型和Ⅱ型雙塊式無砟軌道。軌道不平順動態(tài)檢測每月1次，數(shù)據(jù)檢測時間為2014年1月至2016年12月，對每次的檢測數(shù)據(jù)，每200 m區(qū)段計算1個TQI值，每個區(qū)段的連續(xù)多次TQI數(shù)據(jù)作為1個時間序列樣本。對2個隧道各隨機選取5個無砟軌道區(qū)段作為研究對象，TQI時間序列樣本如圖1所示，其中慶興隧道樣本的里程為K770+600—K770+800，吳堡隧道樣本的里程為K1 192+600—K1 192+800。

圖1 無砟軌道區(qū)段TQI時間序列樣本

由圖1可以看出：無砟軌道區(qū)段3年的TQI數(shù)值并未發(fā)生明顯的趨勢性變化，TQI值變化并不能用多項式或指數(shù)表示。這是因為，相比于有砟軌道，無砟軌道結構穩(wěn)定，具有較好的軌道質(zhì)量保持能力；處于隧道內(nèi)，溫度、濕度也相對穩(wěn)定，不受雨雪等外界環(huán)境影響。此外，2個隧道自建成至今未進行過換軌等大修，主要的扣件維護和鋼軌打磨作業(yè)對TQI影響較小，TQI值并未發(fā)生明顯變化。

為了深入分析TQI時間序列是否含有趨勢性成分，采用小波分解方法，利用bior4.4小波基將圖1中慶興隧道的TQI樣本進行1級分解，得到低頻成分和高頻成分，如圖2所示。由圖2可以看出：低頻成分具有幅值變化相對平緩的趨勢項，而高頻成分圍繞0值均勻波動，近似滿足平穩(wěn)性。

圖2 慶興隧道TQI樣本小波分解

經(jīng)過反復試算，db6，db8，sym6，sym8和bior4.4等小波基均適用于TQI時間序列，分解結果相近，考慮雙正交小波兼顧了線性相位和正交性，故選取bior4.4小波基。

對TQI時間序列高頻成分是否滿足平穩(wěn)性需要驗證時，ADF檢驗[15]是常用的時間序列平穩(wěn)性檢驗方法。它以隨機游走模型為檢驗依據(jù)，并在實際檢驗過程中推廣為以下3個模型。

(1)

(2)

(3)

其中，

ΔXt=Xt-Xt-1

式中：Xt為時間序列；εt為白噪聲；I為差分項數(shù)目；γ，β和δ為常數(shù)。

式(2)和式(3)分別考慮了常數(shù)和趨勢項，每個模型的原假設都是δ=0，即不滿足平穩(wěn)性。檢驗過程從式(3)開始，然后式(2)、式(1)，何時拒絕原假設何時停止檢驗，否則直到檢驗完式(1)為止。表1為對圖2中高頻成分在顯著性水平為0.05時的平穩(wěn)性檢驗結果。

當3個公式中差分項數(shù)I取不同值時，高頻成分均拒絕原假設，這表明高頻成分滿足平穩(wěn)性；進一步分析得知，絕大多數(shù)TQI樣本的高頻成分均滿足平穩(wěn)性?？梢哉J為，客貨共線無砟軌道TQI的時間序列包含平穩(wěn)的高頻成分。

表1 慶興隧道TQI樣本平穩(wěn)性檢驗結果

2 軌道質(zhì)量指數(shù)TQI預測模型

由于客貨共線無砟軌道TQI時間序列的不同頻率成分具有不同特性，在進行預測時應該采用不同模型分別建模?？紤]到TQI高頻成分滿足平穩(wěn)性，本文采用適用于平穩(wěn)時間序列建模的ARMA模型；TQI低頻成分是慢變的非線性趨勢項，可以采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量回歸SVR建模。最后將ARMA子模型的預測結果分別和BP神經(jīng)網(wǎng)絡、SVR子模型的預測結果求和，得到2種軌道質(zhì)量指數(shù)TQI預測模型：ARMA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡和ARMA-SVR預測模型的建模流程如圖3所示。

圖3 建模流程

下文建模采用圖1中慶興隧道的TQI樣本。

2.1 ARMA子模型

ARMA模型是時間序列分析中具有代表性的一類有限參數(shù)線性模型，能描述平穩(wěn)時間序列內(nèi)部的相關關系，適合平穩(wěn)時間序列建模。ARMA模型建模過程如下。

(1)TQI時間序列高頻成分的平穩(wěn)性檢驗。ARMA模型要求時間序列滿足平穩(wěn)性，可以利用ADF檢驗方法進行檢驗。如果TQI時間序列高頻成分不滿足平穩(wěn)性，可以進行差分處理使其滿足平穩(wěn)性，最后對預測結果進行積分處理。

(2)模型階數(shù)選取。自回歸階數(shù)n與滑動平均階數(shù)m一般根據(jù)貝葉斯信息準則(BIC)[16]確定。BIC準則在模型復雜度與模型對數(shù)據(jù)描述能力之間尋求最佳平衡，通過加入模型復雜度的懲罰項避免過擬合問題，是衡量模型擬合優(yōu)良性的一種標準。BIC統(tǒng)計量為

BIC=klnM-2lnL

(4)

式中：k為模型參數(shù)個數(shù)；L為模型極大似然函數(shù)值；M為樣本容量。

本文分別對n和m取不同的值，當BIC統(tǒng)計量最小時將對應的n和m作為模型階數(shù)。圖4為n和m取不同值時慶興隧道TQI樣本的BIC統(tǒng)計量的柱狀分布圖。由圖4可知對于慶興隧道的TQI樣本應取n=2，m=3。

圖4 不同自回歸階數(shù)、滑動平均階數(shù)時慶興隧道TQI樣本的BIC統(tǒng)計量

(3)采用最小二乘法進行模型參數(shù)估計，得到模型參數(shù)。

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡子模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡是一種常用的前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡，具有較強的非線性建模能力。理論上，1個3層神經(jīng)網(wǎng)絡能夠逼近任一復雜的非線性系統(tǒng)。利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡進行TQI時間序列低頻成分建模過程如下。

(1)網(wǎng)絡結構設計，確定各層節(jié)點數(shù)目。將神經(jīng)網(wǎng)絡層數(shù)選定為3。為了保證輸入信息充足，選取輸入層節(jié)點數(shù)為5，輸出層節(jié)點數(shù)為1。對于關鍵的隱含層節(jié)點數(shù)目，分別選取節(jié)點數(shù)2～10(數(shù)目過大容易產(chǎn)生過擬合，降低模型泛化能力)，然后隨機選取不同的模型初始值，對每個隱含層節(jié)點數(shù)目的神經(jīng)網(wǎng)絡均訓練100次，計算模型預測均方根誤差的平均值，結果如圖5所示。選取使誤差最小的值作為隱含層節(jié)點數(shù)，由圖5可知隱含層節(jié)點數(shù)應取9。

圖5 模型誤差與隱含層節(jié)點數(shù)目關系曲線

輸入輸出矩陣的每一行是1組輸入輸出數(shù)據(jù)。

(3)數(shù)據(jù)規(guī)范化。采用最小—最大規(guī)范化方法，對輸入輸出矩陣的每一列進行規(guī)范化，計算式為

(5)

(4)確定神經(jīng)網(wǎng)絡訓練參數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡隱含層和輸出層的激活函數(shù)分別取Log-sigmoid函數(shù)和Purelin函數(shù)，模型訓練方法為自適應學習率梯度下降算法，學習率為0.01，目標誤差精度0.01，最大迭代次數(shù)105次。

(5)模型訓練與預測。

2.3 支持向量回歸SVR子模型

支持向量回歸SVR是支持向量機SVM進行回歸和數(shù)值預測時的變體，具有較強的非線性建模能力。SVR基于結構風險最小化策略訓練模型，不太容易過分擬合，因此具有較好的泛化能力；采用核函數(shù)代替復雜的高維空間內(nèi)積運算，能夠有效克服維數(shù)災難和局部極小問題。SVR試圖找到1個決策函數(shù)f(x)=ωTx+b， 其中ω和b為待定系數(shù)，使得函數(shù)值f(x)與真實值y盡可能接近。一般認為當y-f(x)=0時模型的損失才為0，而支持向量回歸SVR允許y與f(x)之間存在最大偏差θ，即引進損失函數(shù)lθ(x)。

(6)

SVR的結構風險函數(shù)為

(7)

式中：‖ω‖2為模型參數(shù)絕對值的平方，描述模型的復雜程度；C為懲罰系數(shù)。

i=1, 2, …,M

(8)

s.t.

ηi≥0

式中：M為數(shù)據(jù)樣本容量。

利用SVR對TQI低頻成分建模的過程如下。

1)訓練數(shù)據(jù)集選取與整理

選定訓練數(shù)據(jù)集{(x1,y1), (x2,y2), …, (xN-p,yN-p)}∈Rp×R， 其中xi=(xi,xi+1, …,xi+p-1)，yi=xi+p， 1≤i≤N-p。并采用與神經(jīng)網(wǎng)絡同樣的方法整理輸入輸出數(shù)據(jù)的格式。

2)構造最優(yōu)化問題

建立對偶形式SVR結構風險函數(shù)。

(9)

s.t.

ai≤C

式(9)的詳細推導參見文獻[17]。

基于大量分析對比，本文選擇徑向基函數(shù)作為核函數(shù)，即

K(x,y)=exp(-r|x-y|2)

(10)

式中：r為徑向基核函數(shù)的參數(shù)。

3)模型參數(shù)確定

在r，C和θ這3個參數(shù)中，θ是決定模型精度的最關鍵參數(shù)。令θ在0.01～0.5范圍內(nèi)以0.01的間隔依次遞增，對于每個不同的θ值，同時允許r和C在合理范圍內(nèi)取值，并對r和C優(yōu)化使得SVR對TQI低頻序列的擬合和預測均方根誤差最小。圖6為r和C取最優(yōu)值時，θ在0.10～0.30范圍內(nèi)的均方根誤差變化曲線。結果表明，當θ取0.23時預測誤差最小，但擬合誤差略大；均衡考慮擬合和預測誤差，θ取0.20。

圖6 SVR均方根誤差與θ的關系曲線

經(jīng)過初步試算，r和C相對合理的取值范圍log2C為[5,15]，log2r為[-15,-5]。當θ=0.20時，計算不同r和C情況下的SVR預測均方根誤差，如圖7所示。當預測誤差最小時，r≈0.001，C≈16 000。

圖7θ=0.20時，SVR均方根誤差與懲罰系數(shù)C、核函數(shù)參數(shù)r的關系曲面

4)求解最優(yōu)化問題

(11)

式中：φ(xi)為第i個數(shù)據(jù)樣本的映射函數(shù)值。

選擇1個正值拉格朗日乘子0

(12)

5)構造決策函數(shù)

(13)

3 模型預測效果

為了驗證模型對已知數(shù)據(jù)的擬合效果和對未知數(shù)據(jù)的預測能力，利用ARMA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡和ARMA-SVR預測模型對圖1中的樣本進行擬合和預測，并與單一非線性預測模型的預測結果進行對比，其中2014年1月—2016年7月(前31個)的TQI值用于模型訓練，2016年8月—2016年12月(后5個)的值用于模型預測。此外，還分別計算了2個隧道中10個無砟軌道區(qū)段的模型的準確度指標，以對比2個組合模型之間的優(yōu)劣。

圖8為本文預測模型和單一模型(BP神經(jīng)網(wǎng)絡和SVR)對慶興隧道K770+600—K770+800里程區(qū)段TQI樣本的擬合和預測結果。圖9為吳堡隧道K1 192+600—K1 192+800里程區(qū)段TQI樣本的擬合和預測結果。表2統(tǒng)計了各模型的擬合與預測的均方根誤差。由于神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入層確定為5層，為了便于對比，SVR的輸入向量維數(shù)取5維。此時，前5次數(shù)據(jù)(2014年1月—5月數(shù)據(jù))只能作為模型的輸入值，無法進行預測，故圖8與圖9中沒有對應數(shù)據(jù)。

表2 各模型的擬合和預測均方根誤差

由圖8和圖9可以看出：相比于本文提出的預測模型(ARMA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡和ARMA-SVR)，單一預測模型(BP神經(jīng)網(wǎng)絡和SVR)的擬合精度較高，但預測精度明顯降低。這是因為，TQI時間序列不同頻率成分的特性存在差異，單一非線性模型難以對具有多種成分、不同特性的復雜時間序列進行有效模擬，往往對訓練數(shù)據(jù)過擬合，導致模型復雜度偏高，從而降低了泛化能力，預測誤差偏高。因此，單一模型不適合TQI預測。

圖8 慶興隧道TQI樣本模型預測效果對比

圖9 吳堡隧道TQI樣本模型預測效果對比

利用ARMA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡和ARMA-SVR這2個模型分別對慶興隧道和吳堡隧道共10個無砟軌道區(qū)段的TQI樣本進行建模與預測，并與文獻[11]中的GM(1,1)修正模型進行對比。根據(jù)文獻[14]中的模型精度指標，計算3個模型的平均相對誤差、均方根誤差、模型精度及后驗差4個指標在10個區(qū)段的平均值，結果見表3。

表3 各模型精度指標平均值

結果表明：本文提出的2個模型的預測精度等級均為1級，均可對客貨共線無砟軌道TQI時間序列進行有效預測；ARMA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡的擬合精度高于ARMA-SVR，但預測精度低于ARMA-SVR，可以認為ARMA-SVR以犧牲擬合精度獲得較高的預測精度，具有更強的泛化能力。對于客貨共線無砟軌道得TQI時間序列，其低頻趨勢成分變化緩慢，不符合分段線性或指數(shù)等形式，具有指數(shù)函數(shù)形式的GM(1,1)模型將難以適用，而BP神經(jīng)網(wǎng)絡、SVR對此依然具有較強的建模和預測能力。

4 結 論

(1)客貨共線隧道內(nèi)無砟軌道TQI時間序列特征明顯，包含了緩慢變化的低頻成分和平穩(wěn)波動的高頻成分。

(2)ARMA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡和ARMA-SVR模型可以對具有不同特性多種成分的復雜TQI時間序列進行綜合建模，預測精度明顯高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡和SVR預測模型。ARMA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡和ARMA-SVR模型的預測精度等級均為1級，能夠有效預測客貨共運線路無砟軌道TQI時間序列發(fā)展。

(3)本文提出的預測模型沒有考慮客貨共線無砟軌道大修情況的影響。大修作業(yè)對無砟軌道TQI變化規(guī)律的影響及預測方法需要進一步研究。