賈金平，張凡娣

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

眾所周知，在現(xiàn)代的工業(yè)自動(dòng)化系統(tǒng)中，以計(jì)算機(jī)為核心的數(shù)字控制系統(tǒng)正逐步取代以模擬電路為主的模擬控制系統(tǒng).和傳統(tǒng)的模擬控制器相比，計(jì)算機(jī)控制不但可以實(shí)現(xiàn)許多高級(jí)復(fù)雜的控制算法，而且能夠?qū)h(yuǎn)距離的設(shè)備進(jìn)行統(tǒng)一的調(diào)度和控制.因此，作為計(jì)算機(jī)控制理論基礎(chǔ)的采樣系統(tǒng)理論成為了近年來(lái)控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).國(guó)內(nèi)外有很多控制論專(zhuān)家都投入到了這方面的研究，并形成了豐富的研究成果.[1-2]在采樣系統(tǒng)中，控制器在每個(gè)采樣時(shí)刻決定了從現(xiàn)在到下一采樣時(shí)刻的控制量.如何為給定的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)設(shè)計(jì)采樣控制器是采樣系統(tǒng)理論的一個(gè)核心問(wèn)題.對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，該問(wèn)題已經(jīng)得到了較好的解決.但對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)，由于采樣帶來(lái)的復(fù)雜性，使得這一問(wèn)題變得極具挑戰(zhàn)性.大多數(shù)情況下，非線(xiàn)性采樣系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)都采用基于連續(xù)模型的設(shè)計(jì)方法.[3]該方法直接對(duì)連續(xù)控制器進(jìn)行離散化.但研究表明，這種控制器只有在采樣周期較小時(shí)才有效.為了得到在較大采樣周期情況下能夠保持理想控制性能的采樣控制器.基于Lyapunov函數(shù)匹配的思想，Tiefensee等人對(duì)一類(lèi)嚴(yán)格反饋非線(xiàn)性系統(tǒng)提出了一種具有冪級(jí)數(shù)形式的采樣控制方案.[4]后來(lái)Tanasa將該方法推廣到了多率采樣控制的情形.[5]受這些結(jié)果的啟發(fā)，本文對(duì)Tanasa的結(jié)果做了進(jìn)一步的推廣，在考慮輸入延遲的情況下，對(duì)一類(lèi)二階嚴(yán)格反饋系統(tǒng)提出了一種基于預(yù)測(cè)器的多率控制方案.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮具有如下形式的嚴(yán)格反饋非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)

引理1.1考慮無(wú)延遲非線(xiàn)性系統(tǒng)(1)(即τ=0)，假設(shè)存在一個(gè)光滑函數(shù)η*=φ(ξ)和一個(gè)徑向無(wú)界的正定函數(shù) W(ξ)(W(0)=0)，使得

則在如下?tīng)顟B(tài)反饋控制器下

系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)(0,0)'是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.即 ，存 在 一 個(gè) 徑 向 無(wú) 界 的 正 定 函 數(shù) V(ξ,η)(V(0,0)=0)，使得對(duì) ?(ξ,η)∈ ?2-(0,0)，有

在設(shè)計(jì)連續(xù)控制器uc的過(guò)程中，令則無(wú)延遲系統(tǒng)(1)可被等價(jià)地寫(xiě)成

引理1.2考慮無(wú)延時(shí)系統(tǒng)(1)(即τ=0)，給定一個(gè)形如式(3)的光滑狀態(tài)反饋控制器.則對(duì)一個(gè)充分小的，存在一個(gè)多率采樣控制器這里

注意到，控制器(7)中的未知系數(shù)aij通過(guò)求解一個(gè)代數(shù)方程得到，它們的值可以看成是xk的函數(shù)，所以我們可以把該控制器簡(jiǎn)單的寫(xiě)成

2 控制器設(shè)計(jì)與分析

下面考慮輸入延時(shí)系統(tǒng)(1)(即τ＞0)的采樣鎮(zhèn)定問(wèn)題.在引理1.1和1.2的基礎(chǔ)上，提出一種基于預(yù)測(cè)器的多率采樣控制方案.為了保證系統(tǒng)解的存在性以及避免有限時(shí)間逃逸現(xiàn)象的發(fā)生，本文總假設(shè)對(duì)任意的初值和任意的控制輸入，所涉及動(dòng)態(tài)方程的解在整個(gè)時(shí)間軸上都是存在的.

定理2.1考慮非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)(1)，給定一個(gè)形如式(3)的光滑狀態(tài)反饋控制器.假設(shè)輸入延時(shí)τ是采樣周期的整數(shù)倍(即τ=Nδ).則對(duì)一個(gè)充分小的T*＞0 ，對(duì)任意的 δ∈[0,∞)，存在一個(gè)多率采樣控制器

使得系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)(0,0)'是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.給定初始條件由下面方程產(chǎn)生

證明假設(shè)輸入延時(shí)是采樣周期的整數(shù)倍，即存在N∈?，使得τ=Nδ.根據(jù)微分方程解的Lie-級(jí)數(shù)表示,[7]非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)(1)的采樣等價(jià)模型可以表示為

這里α和β是如(6)中一樣所定義的光滑函數(shù).通過(guò)引入中間變量，可以將時(shí)滯系統(tǒng)(11)轉(zhuǎn)化為下面的無(wú)延遲系統(tǒng)

對(duì)系統(tǒng)(12)，根據(jù)引理1.1中的V構(gòu)造下面的Lyapu?nov函數(shù)

這說(shuō)明系統(tǒng)(1)的離散等價(jià)系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.由假設(shè)知，對(duì)任意的t0≥0和任意的初始條件x(t0)，系統(tǒng)(5)的解 x(t)，t∈[0,+∞)存在.由 α(x)和 β(x)的連續(xù)性可知，系統(tǒng)(5)的解在任意閉區(qū)間上有界.這說(shuō)明，與之等價(jià)的系統(tǒng)(1)的解是全局一致有界的.綜合離散等價(jià)系統(tǒng)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性，應(yīng)用文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果，可以證明，在多率采樣控制器(9)-(10)下，時(shí)滯系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)平衡點(diǎn)(0,0)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.