張曉平, 張 夢(mèng), 劉泉聲, 吳順川, 彭 俊

(1.武漢大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 巖土與結(jié)構(gòu)工程安全湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢 430072;2.昆明理工大學(xué) 國(guó)土資源學(xué)院, 云南 昆明 650093;3.北京科技大學(xué) 土木與資源工程學(xué)院,北京 100083)

0 引 言

深部地應(yīng)力測(cè)量面臨高地溫、高應(yīng)力、高滲透壓力的挑戰(zhàn),對(duì)深部巖體地應(yīng)力測(cè)量,國(guó)內(nèi)外目前最常采用的兩種測(cè)量方法是應(yīng)力解除法和水壓致裂法[1]。水壓致裂法(hydraulic fracturing)本質(zhì)上是二維地應(yīng)力測(cè)試方法,該方法假定鉛垂方向?yàn)橐粋€(gè)主應(yīng)力方向,即自重應(yīng)力為主應(yīng)力,這一假定在構(gòu)造應(yīng)力顯著地區(qū)存在嚴(yán)重誤差。為此,Cornet F H等人[2]提出了原生裂隙水壓致裂法(HTPF)測(cè)試來(lái)確定地應(yīng)力,王成虎等人[3]針對(duì)該測(cè)量方法進(jìn)行了理論修正,但尋找符合條件的原生裂隙存在極大的困難,制約了該方法的實(shí)際應(yīng)用。采用應(yīng)力解除法和空心包體應(yīng)變技術(shù)測(cè)量時(shí),空心包體應(yīng)變計(jì)受溫度影響較大,為此學(xué)者研究了相應(yīng)的溫度補(bǔ)償技術(shù)[4]。空心包體應(yīng)變計(jì)的核心為壓敏電阻,如將壓敏材料進(jìn)行優(yōu)化,可得到靈敏度更高、量程更廣的的應(yīng)變計(jì)。

單層石墨烯薄膜[5]材料于2004年首次成功制備,隨著石墨烯制備方法的不斷發(fā)展[6],對(duì)該材料的研究逐漸增多。石墨烯的理論楊氏模量達(dá)1.0 TPa左右,斷裂強(qiáng)度為130 GPa左右,最大拉伸應(yīng)變可達(dá)20 %,單層石墨烯薄膜厚度約為0.34 nm。傳統(tǒng)MEMS傳感器的敏感元件硅的楊氏模量為190 GPa,厚度為微米(μm)級(jí),因此,作為壓力敏感材料,石墨烯具有比硅更高的靈敏度以及抗過(guò)載能力,而且耐高溫(100 ℃以上),可用于深地高地溫條件下高靈敏度的動(dòng)態(tài)壓力測(cè)量。但關(guān)于該材料的研究多數(shù)為低應(yīng)力(1 MPa以下)環(huán)境下,在高應(yīng)力環(huán)境下的研究較少,為此,本文對(duì)在高壓環(huán)境下石墨烯壓力薄膜的相關(guān)性質(zhì)展開(kāi)研究,為進(jìn)行深地高地應(yīng)力測(cè)量提供理論依據(jù)。

1 理論研究

由于單層石墨烯薄膜的厚度約為0.34 nm,在均布應(yīng)力作用下其撓度形變遠(yuǎn)大于薄膜厚度,撓度特性表現(xiàn)為非線性。國(guó)內(nèi)外的相關(guān)理論研究如下。

1.1 圓薄膜大撓度模型

1910年馮卡門(mén)推導(dǎo)如式(1)所示的平板大撓度非線性方程組[7]

(1)

式中D為圓薄膜的抗彎剛度,E為彈性模量,t為薄膜厚度,r為圓薄膜半徑,q為均布載荷,Fr為中面內(nèi)力,ω為薄膜中心撓度。

對(duì)此,錢(qián)偉長(zhǎng)提出了以荷載和中心撓度為攝動(dòng)參數(shù)的攝動(dòng)法[8],中心撓度ω與均布載荷q之間的關(guān)系

(2)

式中ν為泊松比,其余符號(hào)同上。

應(yīng)用里茨法求解圓薄膜問(wèn)題時(shí)[9],中心撓度ω表示為

(3)

1.2 球殼模型

1959年Beams J W通過(guò)鼓泡實(shí)驗(yàn)獲取沉積在基體上的薄膜力學(xué)性能,提出了相應(yīng)的球殼模型[10],考慮薄膜預(yù)應(yīng)力的影響時(shí),其撓度特性為

(4)

式中σ0為石墨烯薄膜的預(yù)應(yīng)力。

1.3 Ma J模型

2012年香港理工大學(xué)Ma J等人制作了光纖F-P腔石墨烯壓力傳感器以實(shí)驗(yàn)分析石墨烯薄膜的力學(xué)性能[13],給出了均布荷載q與薄膜撓度ω之間的近似關(guān)系

(5)

2 石墨烯薄膜的有限元仿真模擬

在理論模型的基礎(chǔ)上,利用COMSOL軟件,構(gòu)建了石墨烯薄膜撓度特性的仿真模型。以直徑為5 000 nm的單層石墨烯圓薄膜為分析對(duì)象,周邊邊界條件為固支,石墨烯材料的彈性模量E、預(yù)應(yīng)力σ0、厚度t、泊松比ν分別為1 TPa,1.0 GPa,0.34 nm和0.16,考慮到預(yù)應(yīng)力效果,設(shè)置模型的初始預(yù)應(yīng)力為0.1 N/m。由于單層石墨烯很薄,在均布應(yīng)力作用下會(huì)產(chǎn)生非線性變形,因此,COMSOL中選用二維板結(jié)構(gòu),并在計(jì)算時(shí),選取幾何非線性。在0.1～1 MPa的載荷范圍內(nèi)以0.05 MPa為間隔,在1～5 MPa的載荷范圍內(nèi)以0.5 MPa為間隔,一共選取27組均布應(yīng)力分別施加于石墨烯圓薄膜上。

在實(shí)際測(cè)量時(shí),儀器所測(cè)的應(yīng)力是根據(jù)位移計(jì)算得出,因此,比較在相同位移下COMSOL值與理論值的誤差。根據(jù)COMSOL的位移結(jié)果,計(jì)算各個(gè)理論相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值,比較與COMSOL施加應(yīng)力值的誤差,其結(jié)果如圖1所示。

圖1 在0.1～5 MPa應(yīng)力范圍內(nèi)仿真結(jié)果

由圖1(a)可知,Beams方程解與仿真解最接近,且隨著石墨烯薄膜的變形越來(lái)越大,其余方法的解與COMSOL仿真值的絕對(duì)誤差越來(lái)也大。由圖1(b)可知,在圖中應(yīng)力范圍內(nèi),Beams方程解與COMSOL值的相對(duì)誤差先減小后增大,當(dāng)均布應(yīng)力為0.1 MPa時(shí)相對(duì)誤差為最大值7.53 %,當(dāng)均布應(yīng)力為0.95 MPa時(shí)相對(duì)誤差為最小值-0.01 %。而其余方法計(jì)算的結(jié)果與COMSOL值的相對(duì)誤差隨著應(yīng)力的增大越來(lái)越小。三階攝動(dòng)解與COMSOL值的相對(duì)誤差由13.12 %減小至4.06 %;變分法與COMSOL值的相對(duì)誤差由28.37 %減小至18.07 %;Ma J模型與COMSOL值的相對(duì)誤差由-43.27 %減小至31.91 %。

為了分析高應(yīng)力條件下的力學(xué)響應(yīng),增大在COMSOL施加的應(yīng)力,在5～100 MPa載荷范圍內(nèi)以5 MPa間隔,一共選取20組均布應(yīng)力施加于石墨烯薄膜上(暫不考慮石墨烯的破壞),并進(jìn)行誤差計(jì)算。其結(jié)果如圖2所示。

圖2 在5～100 MPa應(yīng)力范圍內(nèi)仿真結(jié)果

由圖2可知,高應(yīng)力條件下,Beams方程解與COMSOL施加的應(yīng)力值誤差最小,且隨應(yīng)力的增大,Beams方程解與COMSOL值的相對(duì)誤差趨勢(shì)為先減小后增大,最大相對(duì)誤差為1.32 %(應(yīng)力為100 MPa),最小相對(duì)誤差為0.93 %(應(yīng)力為35 MPa),相對(duì)誤差均值為1.06 %,而其余解與COMSOL值的相對(duì)誤差趨勢(shì)為逐漸減小,但其余解的相對(duì)誤差相比Beams方程解的相對(duì)誤差太大。而B(niǎo)eams鼓泡試驗(yàn)曾用來(lái)研究石墨烯的納米力學(xué)性質(zhì)[11,12],因此Beams理論更適合用來(lái)描述石墨烯的變形特性,而薄板模型的彎曲剛度較大,其不適合解釋石墨烯薄膜壓力敏感特性。由上述模擬結(jié)果可知,在低壓下的COMSOL值與Beams方程解的絕對(duì)誤差很小,其相對(duì)誤差隨著壓強(qiáng)的增大先減小后增大,在0.95 MPa時(shí)的絕對(duì)誤差為最小值-0.000 1 MPa,在100 MPa時(shí)的絕對(duì)誤差為最大值-1.3406 MPa,高應(yīng)力條件下絕對(duì)誤差增大很多,會(huì)帶來(lái)測(cè)量精度的下降。但相對(duì)誤差增加有限,100 MPa時(shí)的相對(duì)誤差也只有1.32 %,能滿(mǎn)足測(cè)量的需要。COMSOL值與其余理論解的絕對(duì)誤差隨著壓強(qiáng)的增大逐漸增大,且絕對(duì)誤差都比Beams方程解大。

結(jié)合上述計(jì)算結(jié)果可知,COMSOL值與Beams方程解的誤差很小,因此,COMSOL可以用來(lái)模擬計(jì)算單層石墨烯薄膜在均布應(yīng)力下的變形特性。而石墨烯薄膜的壓力敏感特性還與薄膜厚度有關(guān),為進(jìn)一步驗(yàn)證COMSOL模擬的有效性,分別以1,2,3,4,5,6,7層石墨烯薄膜為研究對(duì)象,仿真分析在上述20組(5～100 MPa)均布載荷作用下不同薄膜厚度的中心撓度位移特性,如圖3所示。

圖3 不同位移與厚度下的均布應(yīng)力

由圖3可知,在不同薄膜厚度下,COMSOL應(yīng)力值與Beams方程解的誤差很小(1 %左右)。因此,在不同薄膜厚度下,COMSOL軟件仍然可用于模擬計(jì)算石墨烯薄膜受均布應(yīng)力下的變形特性。因?yàn)樯鲜鲅芯坎](méi)有考慮在高應(yīng)力下,石墨烯薄膜是否會(huì)導(dǎo)致斷裂,因此,對(duì)高應(yīng)力下的石墨烯薄膜進(jìn)行變形和受力分析。

周邊固支的圓形石墨烯薄膜在均布應(yīng)力(施加在z方向上)下的變形示意圖如圖4所示,在石墨烯薄膜中心處的撓度最大。

圖4 石墨烯薄膜示變形示意圖

計(jì)算在圖4(b)中下弧線的長(zhǎng)度,即石墨烯薄膜變形后的線長(zhǎng),可據(jù)此計(jì)算石墨烯薄膜的應(yīng)變。對(duì)1,2,3,4,5,6,7層石墨烯分別施加范圍為5～100 MPa,間隔為5 MPa的均布應(yīng)力,計(jì)算不同層石墨烯薄膜在不同應(yīng)力下的應(yīng)變,如圖5(a)所示。由圖可知,隨著石墨烯層數(shù)的增加,相同應(yīng)力下石墨烯薄膜的應(yīng)變?cè)絹?lái)越小,且應(yīng)變減小的幅度也逐漸變小,而1層石墨烯薄膜對(duì)均布應(yīng)力的靈敏度遠(yuǎn)高其他層石墨烯薄膜。在90 MPa的均布應(yīng)力下,1層石墨烯的應(yīng)變?yōu)?9.918 %,在95 MPa均布應(yīng)力下,1層石墨烯的應(yīng)變?yōu)?0.542 %,而其它層石墨烯在100 MPa內(nèi)的應(yīng)變均不超過(guò)20 %。

在均布應(yīng)力下,不同層石墨烯薄膜在均布應(yīng)力下的最大應(yīng)力如圖5(b)所示。已知石墨烯的最大抗拉強(qiáng)度為130 GPa左右,結(jié)合圖5可知,1層石墨烯能承受的最大均布應(yīng)力值在25～30 MPa之間,2層石墨烯能承受的最大均布應(yīng)力值在55～60 MPa之間,3層石墨烯能承受的最大均布應(yīng)力值在80～85 MPa之間,而4,5,6,7層石墨烯能承受的最大均布應(yīng)力值均超過(guò)了100 MPa。

圖5 不同層石墨烯下的應(yīng)變和最大應(yīng)力

結(jié)合圖1(a)、圖2(a)、圖3可知,在石墨烯薄膜未破壞時(shí),COMSOL軟件可以很好地對(duì)石墨烯薄膜進(jìn)行均布應(yīng)力下變形及受力的模擬分析?？梢愿鶕?jù)待測(cè)應(yīng)力值的范圍,選定合適層數(shù)的石墨烯薄膜,在滿(mǎn)足量程要求的情況下,盡可能提高測(cè)量的靈敏度。

3 采用石墨烯薄膜進(jìn)行深部高地應(yīng)力測(cè)量的討論

在不同均布應(yīng)力下,石墨烯薄膜會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的變形,導(dǎo)致其壓阻發(fā)生改變,即壓阻效應(yīng),可以利用該特性進(jìn)行應(yīng)力測(cè)量。

已有實(shí)驗(yàn)通過(guò)不同方法研究了石墨烯薄膜的壓阻性質(zhì)并測(cè)量其應(yīng)變系數(shù),Huang M等人[14]利用納米壓痕實(shí)驗(yàn)對(duì)受壓懸浮石墨烯納米帶進(jìn)行電學(xué)測(cè)試,測(cè)得的應(yīng)變系數(shù)為1.9。Smith A D等人[15]對(duì)固支在矩形空腔上方的石墨烯薄膜加壓使其發(fā)生形變,得到應(yīng)變系數(shù)的平均值為2.92。Fu X W的課題組[16]研究發(fā)現(xiàn),轉(zhuǎn)移到聚二甲基硅氧烷(PDMS)基底上的石墨烯應(yīng)變系數(shù)高達(dá)151。Lee Y等人[17]將石墨烯轉(zhuǎn)移到PDMS基底,測(cè)得的應(yīng)變系數(shù)約為6.1;同樣是該課題組[18],制作了夾角為120°的石墨烯應(yīng)變傳感器,當(dāng)應(yīng)變小于1.8 %時(shí),應(yīng)變系數(shù)為2.4,當(dāng)應(yīng)變?cè)?.8 %～7.1 %范圍內(nèi)時(shí),應(yīng)變系數(shù)的范圍為4～14,當(dāng)應(yīng)變大于7.1 %時(shí),傳感器失效破壞。上述試驗(yàn)所得的應(yīng)變系數(shù)不完全一致,因此很難說(shuō)石墨烯電阻的變化完全是因?yàn)樽陨淼慕Y(jié)構(gòu)形變,尚需要更深入的研究去解釋這一現(xiàn)象。

在已知石墨烯薄膜壓阻效應(yīng)的基礎(chǔ)上,利用仿真軟件對(duì)其進(jìn)行模擬分析,可為石墨烯應(yīng)變傳感器的提供設(shè)計(jì)依據(jù)。

4 結(jié) 論

本文列舉了可用于分析石墨烯薄膜的理論模型,其中球殼模型被廣泛應(yīng)用。對(duì)于大應(yīng)力下的石墨烯薄膜變形,利用COMSOL進(jìn)行仿真分析,在不考慮石墨烯薄膜是否破壞的情況下,將其結(jié)果與各理論進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)仿真結(jié)果與球殼模型的結(jié)果最為接近,高壓下的絕對(duì)誤差比低壓下的絕對(duì)誤差大,會(huì)帶來(lái)測(cè)量精度的下降,但在高壓下的相對(duì)誤差較小,誤差范圍在1 %左右,能滿(mǎn)足應(yīng)力測(cè)量的要求。在此基礎(chǔ)上利用COMSOL軟件對(duì)石墨烯薄膜的應(yīng)變與應(yīng)力進(jìn)行模擬計(jì)算,討論不同層石墨烯薄膜在該壓強(qiáng)范圍內(nèi)是否破壞,將討論結(jié)果與上述誤差結(jié)果進(jìn)行結(jié)合,共同驗(yàn)證了在較大壓強(qiáng)下且石墨烯未破壞時(shí),利用COMSOL軟件模擬的可靠性,同時(shí)計(jì)算給出根據(jù)待測(cè)應(yīng)力值的范圍,選定合適層數(shù)的石墨烯薄膜,在滿(mǎn)足量程要求的情況下,盡可能提高測(cè)量的靈敏度。