耿彥峰，王立志

（忻州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 忻州 034000）

1 引言和預(yù)備知識(shí)

隨著對(duì)混沌系統(tǒng)同步控制的深入研究，相關(guān)學(xué)者提出了多種混沌同步的概念[1-4].文獻(xiàn)[4]提出了混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步的概念，該同步控制的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)通過函數(shù)比例因子和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步，是一種更為廣義的同步，其在工程領(lǐng)域中有著廣闊的應(yīng)用前景[4-5].實(shí)現(xiàn)混沌控制同步的主要方法有線性反饋控制法、自適應(yīng)控制法和滑模控制法等[6-9].其中滑?？刂品椒ㄟm用系統(tǒng)范圍廣，能夠得到快速響應(yīng)，且具有很強(qiáng)的魯棒性和抗干擾能力.對(duì)于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步，文獻(xiàn)[5]基于分?jǐn)?shù)階微積分理論研究了一類不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制問題，文獻(xiàn)[10]結(jié)合分?jǐn)?shù)階微分不等式研究了基于憶阻器分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的修正投影同步，文獻(xiàn)[11]通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)捻憫?yīng)系統(tǒng)針對(duì)一類分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)廣義投影同步的控制方案.

本文研究分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)修正函數(shù)投影同步，基于滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)函數(shù)投影同步的控制方案.通過構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng)的補(bǔ)償器，進(jìn)而由響應(yīng)系統(tǒng)得到誤差系統(tǒng)；然后構(gòu)造一個(gè)分?jǐn)?shù)階積分滑模面，給出合適的自適應(yīng)控制器，并選取合適的自適應(yīng)滑?？刂坡?，最終實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)修正函數(shù)投影同步控制；最后通過數(shù)值算例及其仿真驗(yàn)證了所提控制方案的有效性和可行性.

對(duì)于分?jǐn)?shù)階微積分的概念[12]，Caputo 定義的初始條件有明確的物理意義，因此廣泛應(yīng)用于許多實(shí)際問題的建模，本文采用Caputo 定義.函數(shù)f（t）的q 階Caputo 導(dǎo)數(shù)為

定義1[4]對(duì)于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)和若存在函數(shù)對(duì)角矩陣M（t）=diag（m1（t），m2（t），…，mn（t）），使得

則稱這2 個(gè)系統(tǒng)獲得函數(shù)投影同步.其中：mi（t）為連續(xù)可微有界函數(shù)，且mi（t）≠0，i=1，2，…，n.

引理1[13]對(duì)于自治系統(tǒng)Rn，若矩陣A 的任意特征值滿足則該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

引理2[14]設(shè)x（t）為可微向量函數(shù)，則有其中：0 ＜q ＜1，P 為正定矩陣.

引理3[15]設(shè)為分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)f（x，t）的平衡點(diǎn)，若存在分?jǐn)?shù)階Lyapunov 函數(shù)V（t，x（t））與K 類函數(shù)γi（i=1、2、3），使得

（1）γ1（‖x‖）≤V（t，x（t））≤γ2（‖x‖）；

則當(dāng)0 ＜q ＜1 時(shí)，該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

統(tǒng)一混沌系統(tǒng)相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)[16]為

當(dāng)α∈[0，1]，系統(tǒng)（2）均呈混沌態(tài).本文只討論0 ＜q ＜1的情形.

2 主要結(jié)果

系統(tǒng)（2）的矩陣形式為

式（3）可表示為如下形式的混沌系統(tǒng)

其中：A、B∈Rn×n為已知常數(shù)矩陣，設(shè)‖A‖=N；f（x）為非線性向量函數(shù)；α 為單參數(shù)，α∈[0，1].

以系統(tǒng)（4）作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng)

系統(tǒng)（4）和系統(tǒng)（5）的同步誤差為

為了得到分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)，將參考信號(hào)的分?jǐn)?shù)階微分設(shè)計(jì)在補(bǔ)償器中.因此對(duì)于響應(yīng)系統(tǒng)（5），控制器U 設(shè)計(jì)為

其中：v 為待設(shè)計(jì)的控制器；補(bǔ)償器u 為

則有

將式（8）整理后可得誤差系統(tǒng)

設(shè)向量函數(shù)f（·）滿足Lipschitz 條件，即‖f（y）-f（Mx）‖≤l‖y-Mx‖，其中l(wèi) 為正常數(shù).

設(shè)計(jì)積分滑模面

其中a ＞0.對(duì)式（10）求分?jǐn)?shù)q 階導(dǎo)得

設(shè)計(jì)控制器

及自適應(yīng)律

其中：Q=diag（q1，q2，…，qn）為正定陣，設(shè)q′＝min{q1，q2，…，qn}；為控制增益；λ、μ 均為正常數(shù).

定理對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（4）和響應(yīng)系統(tǒng)（5），設(shè)計(jì)積分滑模面（10），采用控制器（13）及自適應(yīng)律（14），則系統(tǒng)（4）和系統(tǒng)（5）可實(shí)現(xiàn)修正函數(shù)投影同步.

證明構(gòu)造分?jǐn)?shù)階Lyapunov 函數(shù)

設(shè)k 為正常數(shù)，且k≥N+l+a.對(duì)V 取分?jǐn)?shù)q 階導(dǎo)數(shù)，并由引理2 可得

由引理3 知系統(tǒng)（11）是漸近穩(wěn)定的，即s→0，故在滑模面s=0 上有e→0，所以系統(tǒng)（4）和（5）最終實(shí)現(xiàn)修正函數(shù)投影同步，且有證畢.

3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證上述同步方案的正確性和有效性，采用Adams-Bashforth-Moultom 算法進(jìn)行數(shù)值仿真.

例1對(duì)于分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)（3），取α=0.8，q = 0.98，此時(shí)系統(tǒng)為分?jǐn)?shù)階Lü 混沌系統(tǒng).取M =則響應(yīng)系統(tǒng)可寫為

通過補(bǔ)償器u，由響應(yīng)系統(tǒng)可得誤差系統(tǒng)為

積分滑模面、 控制器與自適應(yīng)律分別按式（10）、式（13）和式（14）取得，取Q 為單位矩陣，步長(zhǎng)h=0.01，系統(tǒng)（3）和（15）的初值取為x（0）=[3.5，7.5，-6]T，y（0）=[4，-3.5，3.2]T，（0）＝3.4.仿真結(jié)果見圖1 和圖2.由圖1 可知驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)最終實(shí)現(xiàn)同步，圖2 表明參數(shù)趨于定值0.8.

圖1 例1 的e（t）-t 曲線Fig.1 Curve of e（t）-t for example 1

圖2 例1 的（t）-t 曲線Fig.2 Curve of （t）-t curve for example 1

例2對(duì)于系統(tǒng)（3），取a=1，q=0.9，此時(shí)系統(tǒng)為分?jǐn)?shù)階Chen 混沌系統(tǒng)，取響應(yīng)系統(tǒng)按式（15）取得，則可得誤差系統(tǒng)為

積分滑模面、 控制器與自適應(yīng)律分別按式（10）、式（13）和式（14）取得，取Q 為單位矩陣，步長(zhǎng)為h =0.01，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、響應(yīng)系統(tǒng)的初值分別取為x（0）=[-3.5，-6，6]T，y（0）= [7.8，-3.5，13]T，（0）＝3.2.仿真結(jié)果見圖3 和圖4.

圖3 例2 的e（t）-t 曲線Fig.3 Curve of e（t）-t for example 2

圖4 例2 的（t）-t 曲線Fig.4 Curve of （t）-t curve for example 2