柴冰冰，孫 悅，馬新平，曹晶晶，郭金良

（天津師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

量子糾纏[1-5]是量子理論中的一個基本概念，是量子信息處理中的一種重要資源.量子糾纏的產(chǎn)生和演化對于量子信息處理來說具有重要的意義.近年來，有關(guān)量子糾纏制備及演化的研究在理論和實(shí)驗(yàn)上都取得了較大進(jìn)展[6-8].然而，系統(tǒng)與環(huán)境不可避免的要產(chǎn)生相互作用，由此產(chǎn)生的退相干效應(yīng)導(dǎo)致系統(tǒng)的糾纏衰減.因此，為了實(shí)現(xiàn)某些量子任務(wù)，需要對系統(tǒng)的退相干具有一定的了解.在過去的十幾年中，一種奇特的量子現(xiàn)象受到了人們的廣泛關(guān)注，即糾纏的猝死現(xiàn)象（entanglement sudden death ，ESD）.兩比特系統(tǒng)與2 個獨(dú)立環(huán)境相互作用，系統(tǒng)的糾纏在有限的時間內(nèi)完全消失.這一現(xiàn)象最早由Yu 和Eberly[9]提出，尤其在兩體系統(tǒng)和多體系統(tǒng)中，該現(xiàn)象與以往隨時間指數(shù)衰減的退相干過程完全不同，因此得到了廣泛關(guān)注[10-12].此外，研究表明糾纏態(tài)具有2 種不同的類型：第1 種是自由糾纏態(tài)，它可以在經(jīng)典操作和局部操作中被提純；第2 種是束縛糾纏態(tài)，該糾纏態(tài)既不能在經(jīng)典操作和局部操作中被提純，也不能獨(dú)立用于量子信息處理，與自由糾纏態(tài)不同，束縛糾纏態(tài)不能單獨(dú)用于量子信息處理任務(wù)，但這也并不意味它們在量子信息中是沒用的資源.對于一些束縛糾纏態(tài)，通過激活可以將其應(yīng)用于量子通信處理[13-14]，且一些束縛糾纏態(tài)在提高量子隱形傳態(tài)的保真度[15]、提純安全量子密鑰[16]并降低通信復(fù)雜性[17]方面具有非常重要的作用.可提純性猝死（distillability sudden death ，DSD） 是繼糾纏猝死（ESD）后另一種奇特的量子現(xiàn)象.如果在有限的時間內(nèi)，自由糾纏態(tài)演化為束縛糾纏態(tài)，就稱這種奇特的量子現(xiàn)象為可提純性猝死（DSD）[18].Ali[9，19]證明了自由糾纏態(tài)在單側(cè)或雙側(cè)噪聲存在下可能成為束縛糾纏態(tài).此后，這一現(xiàn)象被推廣到與熱庫[20]和零溫庫相互作用的2 個三能級系統(tǒng)[21].此外，人們還研究了外加磁場以及Dzyaloshinski-Moriya（DM）相互作用下，2 個三能級系統(tǒng)在退相干過程中出現(xiàn)的DSD現(xiàn)象[22-23].

本文主要對光晶格中2 個Qutrits 系統(tǒng)在內(nèi)在退相干的影響下的DSD現(xiàn)象進(jìn)行研究.首先，給出了系統(tǒng)的哈密頓量并導(dǎo)出隨時間演化的Qutrit-Qutrit 系統(tǒng)的密度矩陣，然后對內(nèi)在退相干影響下系統(tǒng)在演化過程中出現(xiàn)的DSD現(xiàn)象進(jìn)行演示，重點(diǎn)討論了系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)對該現(xiàn)象的影響.

1 哈密頓模型及其解

在由三束相互正交的激光束V(x，y，z)=Vxsin2（Kx）+Vysin2（Ky）+Vzsin2（Kz）（其中K 為激光波矢的大?。┬纬傻木Ц裰?，自旋為1 的玻色子束縛在晶格的勢阱中，Vx，y，z與激光束的強(qiáng)度呈正比且可以被單獨(dú)調(diào)節(jié).假設(shè)每個勢阱中僅包含1 個軌道態(tài)，可用Bose-Hubbard形式[24]的有效哈密頓量描述整個系統(tǒng).當(dāng)Vx≤Vy，z時，y 和z 方向上的耦合可以忽略，這時系統(tǒng)可以被看作是一維的自旋鏈，其有效哈密頓量可以表示為

式（2）中：Sα（α =x，y，z）為自旋算符；S1和S2分別表示第1 個原子和第2 個原子在x、y、z 方向上的總自旋算符.J 為自旋相互作用的線性耦合強(qiáng)度；K 為非線性耦合常數(shù).自旋為1的自旋算符的3個分量分別為Six=單位矩陣元為

基態(tài)、第1 和第2 激發(fā)態(tài)分別用|-1〉、|1〉和|0〉表示.為了研究Qutrit-Qutrit 系統(tǒng)的演化，首先需要計(jì)算哈密頓量（式（2））的本征值和對應(yīng)的本征矢.在標(biāo)準(zhǔn)基|-1-1〉，|-10〉，〉00〉|-11〉|0-1〉，|01〉，|1-1〉，|10〉，|11〉 下，得到E7=K+J+2B，|ψ7〉=|11〉；E8=K+J-2B，|ψ8〉=|-1-

采用文獻(xiàn)[26]中描述內(nèi)在退相干的主方程

式（3）中：γ 為相位退相干率.上述主方程的形式解[27-28]可表示為

式（4）中：ρ（0）為初始系統(tǒng)的密度算子，Mk（t）=Hkexp

通過進(jìn)一步計(jì)算可以得到密度矩陣的時間演化

式（5）中：En和|ψn〉分別為哈密頓量的特征值和本征矢.本研究中，假定Qutrit-Qutrit 系統(tǒng)初態(tài)處于

式（6）中： 2≤α≤3.式（6）為最大糾纏態(tài)| ψ+〉 =與可分態(tài)|12〉〈12| + |21〉〈21|和|02〉〈02|的混合態(tài).當(dāng)2≤α≤3 時，ρ（0）為可分離態(tài)；當(dāng)3 ＜α≤4 時，ρ（0）為束縛糾纏態(tài)；4 ＜α≤5 時，ρ（0）為自由糾纏[13].由式（6）進(jìn)行直接計(jì)算，得到Qutrit-Qutrit系統(tǒng)的密度矩陣為

2 可提純性糾纏猝死

2.1 糾纏度的度量方法

在糾纏動力學(xué)研究中，度量糾纏度是一個非常重要的問題.對于自旋1/2 的系統(tǒng)，并發(fā)度（concurrence）被認(rèn)為是一種很好的糾纏度量方法[29].為了量化高維Herbert 空間中系統(tǒng)的糾纏，如Qutrit-Qutrit 系統(tǒng)，負(fù)度（negativity）被證明是一種有效的度量方法[30].以狀態(tài)ρ 的部分轉(zhuǎn)置ρT的跡范數(shù)為基礎(chǔ)，負(fù)度被定義為

式（8）中：‖ρT‖為ρT的跡模.根據(jù)Peres 可分性準(zhǔn)則[31]，負(fù)度只能量化部分糾纏態(tài).如果負(fù)度為正，意味著負(fù)度在部分轉(zhuǎn)置（NPT）下為負(fù)，只能說這個量子態(tài)是一個糾纏態(tài)，但并非一個自由的糾纏態(tài)，因?yàn)槭欠袼蠳PT 量子態(tài)都可以被分離仍然是一個懸而未決的問題.同時，對于負(fù)度為零的正部分轉(zhuǎn)置（PPT）態(tài)，也不能確定其是糾纏的還是可分離的.因此，束縛糾纏態(tài)不能用負(fù)性來量化和檢測.一般情況下，沒有唯一的判據(jù)可以用來檢測所有的束縛糾纏態(tài).在這種情況下，通常采用重排定則[32]來確定某些束縛糾纏態(tài).密度矩陣ρ 的重排定則[33]為

式（10）中：‖ρR‖為ρR的跡模.對于可分離狀態(tài)ρ，重排定則意味著R（ρ）≤0.對于PPT 態(tài)，如N（ρ）= 0，R（ρ）＞0，則該態(tài)可以確定為束縛糾纏態(tài).需要注意的是重排定則不能檢測到所有的束縛糾纏態(tài).如N（ρ）=0 且R（ρ）=0，則無法確定該態(tài)是否為束縛糾纏態(tài).在此基礎(chǔ)上，本文采用負(fù)性和重排定則方法，研究了非線性耦合光晶格中DSD現(xiàn)象.

2.2 非線性耦合光晶格系統(tǒng)中的DSD現(xiàn)象

圖1 為α=4.2，K=1，J=1，B=0.25，γ=1 時，負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）隨時間t 的變化關(guān)系.

由于初始狀態(tài)參數(shù)α 滿足4 ＜α≤5，因此初態(tài)是自由糾纏態(tài).由圖1 可以看出，在有限時間t≈1.09時，Qutrit-Qutrit 系統(tǒng)的負(fù)度N（ρ）衰減為0； t≈2.89時，重排定則R（ρ）衰減為0.這意味著初始自由糾纏態(tài)在有限時間t≈1.09 時變?yōu)槭`糾纏態(tài)，出現(xiàn)了可提純性猝死現(xiàn)象（DSD），盡管在t≈2.89 后，重排定則R（ρ）無法檢測到可能存在的糾纏，但也能夠證明自由糾纏態(tài)在光晶格系統(tǒng)中可以出現(xiàn)DSD現(xiàn)象.

圖1 負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）在α=4.2 時隨時間t的變化情況Fig.1 Negativity N（ρ）and the realignment criterion R（ρ）versus time t

2.3 與系統(tǒng)相關(guān)的參數(shù)對DSD現(xiàn)象的影響

2.3.1 初始狀態(tài)參數(shù)α 對DSD現(xiàn)象的影響

初始狀態(tài)參數(shù)α 對出現(xiàn)束縛糾纏態(tài)保持時間的影響如圖2 所示.

圖2 負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）在α 取不同值時隨時間t的變化情況Fig.2 Negativity N（ρ）and the realignment criterion R（ρ）versus time t with different values of α

由圖2 可以看出，當(dāng)K=1，J=1，B=0.25，γ=1，α 取不同值時，盡管NPT 態(tài)在有限時間總是變?yōu)镻PT 態(tài)，但并不是所有初始自由糾纏態(tài)都會發(fā)生DSD.α 值越大，負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）的非零值保持的時間就越長，確定束縛糾纏態(tài)的時間越短.當(dāng)α 值足夠大時，如α=4.7 時，R（ρ）在N（ρ）消失前衰減為0，這表明此時重排定則R（ρ）無法探測束縛糾纏態(tài).由此可知，是否產(chǎn)生DSD現(xiàn)象在很大程度上取決于初始狀態(tài).

2.3.2 磁場B 對DSD現(xiàn)象的影響

磁場B 對負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）的影響如圖3 所示.

圖3 負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）在B 取不同值時隨時間t的變化情況Fig.3 Negativity N（ρ）and the realignment criterion R（ρ）versus time t with different values of B

由圖3 可以看出，當(dāng)α=4.2，K=1，J=1，γ=1，B 取不同值時，負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）均隨B 的增加而快速衰減，從而縮短了確定束縛糾纏態(tài)的時間.但總是可以用負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）來檢測束縛糾纏態(tài)，這表明能否出現(xiàn)DSD現(xiàn)象與磁場B 的值無關(guān).

2.3.3 退相干因子γ 對DSD現(xiàn)象的影響

圖4 為內(nèi)在退相干因子γ 對負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）的影響.由圖4 可以看出，當(dāng)α=4.2，K=1，J=1，B=0.25，γ 取不同值時，γ 的增大加速了重排定則R（ρ）的衰變時間，同時束縛糾纏態(tài)保持的時間也有所縮短.然而，當(dāng)γ=0.1 時，負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）總是非零的，說明DSD 和ESD現(xiàn)象在整個演化過程中都沒有出現(xiàn).

2.3.4 非線性耦合常數(shù)K 對DSD現(xiàn)象的影響

圖5 給出了非線性耦合常數(shù)K 對負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）的影響.

圖4 負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）在γ 取不同值時隨時間t的變化情況Fig.4 Negativity N（ρ）and the realignment criterion R（ρ）versus time t with different values of γ

圖5 負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）在Κ 取不同值時隨時間t的變化情況Fig.5 Negativity N（ρ）and the realignment criterion R（ρ）versus time t with different values of Κ

由圖5 可以看出，當(dāng)α=4.4，J=1，B=0.25，γ=1，K 取不同值時，K 值越大，負(fù)度N（ρ）的非零值和重排定則R（ρ）保持的時間越長，束縛糾纏態(tài)時間越短，K 值越小，負(fù)度N（ρ）仍處于相對穩(wěn)定的非零狀態(tài).這表明DSD 和ESD現(xiàn)象都沒有發(fā)生.因此，可以通過控制系統(tǒng)的非線性耦合常數(shù)K 避免DSD 和ESD現(xiàn)象，從而獲得對環(huán)境噪聲不受影響的穩(wěn)定糾纏.糾纏的可提純性在有限時間內(nèi)的消失會嚴(yán)重影響量子糾纏在量子信息處理任務(wù)中的應(yīng)用，因此尋找有效干預(yù)DSD和ESD現(xiàn)象發(fā)生的措施是一項(xiàng)非常有意義的工作.

3 結(jié)論

本研究利用負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）分析了量子系統(tǒng)中糾纏猝死的可分性.結(jié)果表明：

（1）DSD現(xiàn)象在很大程度上取決于初始狀態(tài)參數(shù)，且無論α 取何值，可提純性均會在有限的時間內(nèi)突然消失，這也說明自由糾纏態(tài)在光晶格系統(tǒng)中可以出現(xiàn)DSD現(xiàn)象.

（2）只有當(dāng)γ 取某一特定值，DSD 和ESD現(xiàn)象才不會發(fā)生.而負(fù)度N（ρ）和重排定則R（ρ）隨著B 的增加而衰減的時間變短，但一直會出現(xiàn)糾纏的可提純性猝死現(xiàn)象，這說明DSD 的可能性與磁場B 的取值無關(guān).

（3）當(dāng)K 值很小時，負(fù)度N（ρ）總是處于非零狀態(tài)，也就是說可以通過調(diào)整K 的值來避免DSD 和ESD.