何天磊， 朱其新

（1.蘇州科技大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

在空調(diào)溫度控制過(guò)程中，在一定的條件下，其被控對(duì)象可以看成一個(gè)具有時(shí)滯的一階環(huán)節(jié)[1-3]，該時(shí)滯的存在增加了系統(tǒng)的控制難度，降低了系統(tǒng)的控制品質(zhì)。傳統(tǒng)PID 控制作為最常用的一種控制方式，由于其參數(shù)易整定等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。但對(duì)于具有時(shí)滯的對(duì)象，PID 控制常常得不到令人滿(mǎn)意的控制效果。

Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制是最早應(yīng)用于時(shí)滯系統(tǒng)控制的方法，其通過(guò)引入一個(gè)補(bǔ)償器，以削弱時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)性能的影響。但由于Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制太過(guò)于依賴(lài)精確的數(shù)學(xué)模型，在預(yù)測(cè)模型存在一定的誤差時(shí)，控制效果將大大下降[4-6]。后來(lái)提出的達(dá)林算法特點(diǎn)是將期望的閉環(huán)響應(yīng)設(shè)計(jì)成一階慣性加純延遲，然后反過(guò)來(lái)得到滿(mǎn)足這種閉環(huán)響應(yīng)的控制器，其優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，控制系統(tǒng)的魯棒性好，但其實(shí)際應(yīng)用效果較差[7-8]。自適應(yīng)控制通過(guò)修正控制參數(shù)以適應(yīng)對(duì)象和擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性的變化，所以自適應(yīng)控制對(duì)系統(tǒng)參數(shù)有良好的適應(yīng)能力，但其依賴(lài)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，也較難以實(shí)際應(yīng)用[9-11]。

筆者提出的基于極點(diǎn)配置和Pade近似的空調(diào)溫度控制器的新設(shè)計(jì)，一方面利用極點(diǎn)的分布和系統(tǒng)性能的密切關(guān)系，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在期望的位置，從而使空調(diào)溫度控制系統(tǒng)具有優(yōu)良的動(dòng)態(tài)性能[12-15]；另一方面利用Pade近似算法將空調(diào)溫度控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的模型簡(jiǎn)化。Pade近似往往比泰勒級(jí)數(shù)準(zhǔn)確，所以其具有適應(yīng)范圍廣，更容易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)[16-18]。仿真結(jié)果證明，文中提出的基于極點(diǎn)配置和Pade近似的PID控制比傳統(tǒng)的PID 控制和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制具有更好的控制效果。

1 空調(diào)系統(tǒng)溫度控制的對(duì)象模型

在滿(mǎn)足一定控制精度的情況下，空調(diào)系統(tǒng)的實(shí)際溫度控制對(duì)象可以采用一個(gè)一階的模型來(lái)描述被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性，考慮到溫度對(duì)象的滯后性，空調(diào)系統(tǒng)溫度控制模型可表示為[19]

其中，G1（s）表示被控對(duì)象的傳遞函數(shù)，T 為被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)，K 為放大系數(shù)，τ 為溫度對(duì)象的延遲時(shí)間。

2 基于極點(diǎn)配置和Pade近似的控制器設(shè)計(jì)

2.1 Pade近似算法

e-τs是一個(gè)無(wú)理函數(shù)，在系統(tǒng)中直接分析會(huì)比較困難，所以通常用有理函數(shù)近似來(lái)代替延時(shí)環(huán)節(jié)e-τs，以簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過(guò)程。文中采用Pade近似算法，其表達(dá)式為

其中，l，k 的值越大，近似就越精確。當(dāng)l＝k 時(shí)，一階的表達(dá)式為

由（1）式和（3）式可得被控對(duì)象的傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1 所示。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

其中，G1（s）表示被控對(duì)象的傳遞函數(shù)，G2（s）表示設(shè)計(jì)的控制器。用Gp（s）表示控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，顯然有

2.2 極點(diǎn)配置的控制器設(shè)計(jì)

由（4）式可知被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為一個(gè)二階模型，擬采用的控制器為PID 控制器，用G2（s）表示

根據(jù)公式（4）和公式（6）可得

根據(jù)公式（5）和公式（7）易得

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

由于系統(tǒng)的性能主要由系統(tǒng)的特征根確定，對(duì)于三階系統(tǒng)而言，比較理想的情況是其兩個(gè)特征根中有一對(duì)共軛極點(diǎn)和在負(fù)半軸上有一個(gè)實(shí)極點(diǎn)，即希望系統(tǒng)的特征方程為

其中，ωn為系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率，ξ 為阻尼比，ω0為第三個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。

整理得

即希望

由公式（12）可以得

由公式（12）和公式（13），得

由公式（12）、（13）和（14），得

在ωn、ξ、T、K 等參數(shù)都已知的情況下，由公式（14）、（15）和（16）可以得到參數(shù)Kp、Ki和Kd的值。ωn的大小決定了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，ωn越大，系統(tǒng)響應(yīng)越快，但ωn太大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了使系統(tǒng)具有較大的穩(wěn)定裕度，同時(shí)又具有較快的響應(yīng)進(jìn)度，ξ 一般在0.6 到0.8 之間取值，通常取0.707。

3 控制系統(tǒng)仿真

為了驗(yàn)證文中提出的控制器的控制效果，用MATLAB 進(jìn)行模擬仿真。根據(jù)公式（1），一般空調(diào)系統(tǒng)溫度控制中常取時(shí)間常數(shù)為T(mén)＝200，延遲時(shí)間取τ＝10，增益系數(shù)K＝1，所以空調(diào)系統(tǒng)溫度控制的模型為

空調(diào)系統(tǒng)溫度控制的Simulink 仿真模型如圖2 所示。

圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

其中輸入信號(hào)為階躍信號(hào)。

圖3 是傳統(tǒng)PID 控制的響應(yīng)曲線圖，傳統(tǒng)PID控制器的三個(gè)控制參數(shù)是按BTN 公式整定得到[20]，且Kp＝21.6，Ki＝1.03，Kd＝103。從圖3 中可以看出傳統(tǒng)PID 控制不僅超調(diào)較大，而且響應(yīng)時(shí)間較長(zhǎng)。圖4 是Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制的響應(yīng)曲線圖，Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制的系統(tǒng)中PID 控制器的控制參數(shù)即傳統(tǒng)PID 控制中利用BTN 公式整定出的參數(shù)值。由圖4分析，雖然系統(tǒng)震蕩比用傳統(tǒng)PID 控制器控制小很多，但是仍然有較大的超調(diào)。圖5 是基于極點(diǎn)配置和Pade近似算法的PID 控制仿真波形圖， 其PID控制參數(shù)是利用極點(diǎn)配置方法計(jì)算得到，三個(gè)控制參數(shù)值為：Kp＝9.23，Ki＝0.05，Kd＝11.0。由圖5 可知，應(yīng)用極點(diǎn)配置和Pade近似的新型PID 控制器的系統(tǒng)響應(yīng)無(wú)超調(diào)且運(yùn)行平穩(wěn)，而且系統(tǒng)在60 s 就可以達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，響應(yīng)時(shí)間比傳統(tǒng)PID 控制和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制短很多。所以基于極點(diǎn)配置和Pade近似的PID 控制比傳統(tǒng)PID 控制和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制具有更好的動(dòng)態(tài)特性。

圖3 PID 控制系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)曲線

圖4 Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)曲線

圖5 應(yīng)用文中控制器的系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)曲線

為了驗(yàn)證文中提出的基于極點(diǎn)配置和Pade近似的PID 控制器的魯棒性，文中對(duì)空調(diào)系統(tǒng)溫度預(yù)估模型和實(shí)際溫度控制模型存在誤差時(shí)的三種控制方法的控制效果進(jìn)行仿真，即在預(yù)估模型不做任何改變情況下，將實(shí)際模型的增益系數(shù)由1 調(diào)整為0.5，實(shí)際模型的其他參數(shù)不變。預(yù)估模型存在誤差的空調(diào)溫度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖6 所示。

圖6 預(yù)估模型存在誤差時(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

三種控制方法中PID 控制器的三個(gè)參數(shù)都與預(yù)測(cè)模型存在誤差前一樣。圖7、8、9 是傳統(tǒng)PID 控制器、Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制器和基于極點(diǎn)配置和Pade近似法控制器在預(yù)測(cè)模型和實(shí)際存在偏差情況下， 仿真出的系統(tǒng)響應(yīng)曲線圖。由圖7、8 看出，當(dāng)預(yù)估模型出現(xiàn)誤差時(shí)，傳統(tǒng)PID 控制和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制系統(tǒng)響應(yīng)穩(wěn)定時(shí)間和預(yù)估模型沒(méi)有誤差時(shí)響應(yīng)時(shí)間明顯加長(zhǎng)很多，震蕩也在一定程度上加大，說(shuō)明傳統(tǒng)PID 控制器和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制器對(duì)模型的依賴(lài)性較大。由圖9 看出，基于極點(diǎn)配置和Pade近似法的控制運(yùn)行響應(yīng)時(shí)間也加長(zhǎng)了較多， 但是響應(yīng)過(guò)程很平穩(wěn)， 表明該控制器具有較強(qiáng)的魯棒性。所以文中提出的基于極點(diǎn)配置和Pade近似法的控制比傳統(tǒng)PID 控制和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制具有更好的控制性能。

圖7 模型存在誤差時(shí)傳統(tǒng)PID 控制器的閉環(huán)響應(yīng)曲線

圖8 模型存在誤差時(shí)Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制器的閉環(huán)響應(yīng)曲線

4 結(jié)語(yǔ)

筆者提出了一種基于極點(diǎn)配置和Pade近似的空調(diào)溫度控制器設(shè)計(jì)的新方法，該方法結(jié)合了極點(diǎn)配置和Pade近似算法兩者的優(yōu)點(diǎn)， 有效解決了時(shí)滯對(duì)空調(diào)系統(tǒng)溫度控制的影響。仿真結(jié)果證明，相比于傳統(tǒng)PID 控制和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制， 文中提出的基于極點(diǎn)配置和Pade近似的控制器具有更好的動(dòng)態(tài)性能和更強(qiáng)的魯棒性。文中的方法也適用于具有時(shí)滯的其他被控對(duì)象，具有一定的應(yīng)用和推廣價(jià)值。

圖9 模型存在誤差時(shí)文中提出的控制器的閉環(huán)響應(yīng)曲線