【摘 要】代數(shù)式的恒等變形是初等數(shù)學(xué)重要知識點(diǎn)之一，是解決其它問題—函數(shù)及方程的重要前提和手段。其中也包含著數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和思維方法。學(xué)習(xí)掌握、靈活運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，能提高運(yùn)算能力和邏輯思維能力。

【關(guān)鍵詞】代數(shù)式；恒等變形；公式法；拼湊法；代換法

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）16-0011-02

兩個代數(shù)式，如果對于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個代數(shù)式恒等。把一個代數(shù)式變成另一個與它恒等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒等

變形。

為了完成代數(shù)式的證明、求值及化簡等問題，我們常要對某些代數(shù)式（或解析式）進(jìn)行恒等變形。要較好地掌握代數(shù)式的恒等變形，首先要掌握代數(shù)式的相關(guān)公式、性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用；其次要搞清楚該代數(shù)式變形的目的、方向和方法；第三是儲備較豐富的解題實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。代數(shù)式恒等變形的具體手段和技巧較多，一般有配方、因式分解、換元、設(shè)參、拆項(xiàng)與合并等。下面結(jié)合例題從大的方面淺談代數(shù)式的恒等變形的常用方法。

1 公式變形法

例1 若比較，

的大小。

分析：對于參數(shù)分為和兩種情況討論，分別去掉絕對值符號后再比較大小是可以的，但這種方法不簡潔。

注意到，再結(jié)合一些公式的靈活變形，則可進(jìn)行下列變化：

因?yàn)椋钥梢?/p>

由此得證：。

評注：平方差公式大家很熟悉，但其在此題的變形目的、方向上作用不夠。而由其變形公式

引出的恒等變形式卻在證明中發(fā)揮了重要作用。

2 代換變形法

例2 在△ABC中，。

求證：≥

分析：如果直接把展開，再用比較法證明，太過繁雜。注意到，

都是正數(shù)，則可通過代換，令，，可知，

，于是只要證明≥即可，因?yàn)樗?，≥≥可見，≥?/p>

評注：證明不等式≥較難，但換元后的不等式≥容易證明。這體現(xiàn)了代換法的重要性。

3 拼湊變形法

除上面的代換變形法外，這道題還可以采用拼湊變形法來證明。

評注：在這種拼湊變形中，利用了當(dāng)≥0時，的由簡向繁的變形式，其目的在于使根號內(nèi)形成偶數(shù)個因式，以便兩兩結(jié)合產(chǎn)生不等效果。在各種恒等變形中，拼湊變形用得最普遍、最靈活。

代數(shù)式的恒等變形在數(shù)學(xué)各分支、各章節(jié)中有廣泛用途，但恒等變形的知識、方法卻不能在某章、某節(jié)就能完全闡述，只有從代數(shù)的全局看問題，把恒等變形與計(jì)算能力、邏輯思維能力聯(lián)系起來，把解題與提高數(shù)學(xué)素質(zhì)聯(lián)系起來，才能進(jìn)一步看清恒等變形的重要性，也才能更好的掌握恒等變形的技法。

【作者簡介】

白祥福（1964～），男，成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)、中學(xué)數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)教育與教學(xué)。