安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

陳 麗 倪 玲 郭要紅 (郵編：241003)

1 引言

2016年第10期《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》刊登了馬其頓人Martin Lukarevski提供的問(wèn)題11945如下.

問(wèn)題11945[1]設(shè)a、b、c分別是△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)，wa、wb、wc分別是角A、B、C的內(nèi)角平分線長(zhǎng). 證明

①

2018年第3期《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》刊登了Santa Monia. Dmitry Flesichman提供的問(wèn)題11945的解答.[2]本文給出問(wèn)題11945的一個(gè)加強(qiáng).

定理設(shè)a、b、c分別是△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)，wa、wb、wc分別是角A、B、C的內(nèi)角平分線長(zhǎng). 證明

②

2 兩個(gè)引理

為證明不等式②，現(xiàn)給出兩個(gè)引理.

引理1 設(shè)a、b、c分別是△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)，wa、wb、wc分別是角A、B、C的內(nèi)角平分線長(zhǎng). 則

事實(shí)上，利用三角形面積公式，有

于是

類似可以得到另兩個(gè)等式.

引理2[3]設(shè)R、r分別是△ABC的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，則

3 結(jié)論的證明

證明由算術(shù)——幾何平均不等式、引理1、引理2，有

不等式(2)得證.