袁春娟

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知過程. 關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知過程通常從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所需要的先前經(jīng)驗(yàn)以及建構(gòu)過程等角度進(jìn)行，同時(shí)在問題解決的過程中，學(xué)生的認(rèn)知可以得到充分的發(fā)展. 數(shù)學(xué)教師基于經(jīng)驗(yàn)并從認(rèn)知角度尋找教學(xué)研究的切入口，對教師的教與學(xué)生的學(xué)都有積極意義.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);認(rèn)知過程;復(fù)數(shù)

關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知過程，已經(jīng)成為有效教學(xué)背景下高中數(shù)學(xué)教師的共同認(rèn)識[1]，更多的挑戰(zhàn)在于如何關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知過程. 應(yīng)當(dāng)說在學(xué)生相對熟悉的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的認(rèn)知過程所體現(xiàn)出來的不同并不明顯，因而不能引發(fā)教師的研究沖動. 而在一些相對復(fù)雜的知識學(xué)習(xí)中，學(xué)生的認(rèn)知過程則會與慣用的認(rèn)知有所不同，因而可以引發(fā)教師的注意與研究的沖動（當(dāng)然，前提是教師要有關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的認(rèn)知的意識，如果缺少這個(gè)意識前提，那任何知識的學(xué)習(xí)過程都無法引起教師的重視）. 在高中數(shù)學(xué)知識序列中，“復(fù)數(shù)”是一個(gè)相對特殊的知識，學(xué)生在認(rèn)識復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算的時(shí)候，有著顯著的異于傳統(tǒng)的對數(shù)的認(rèn)識的地方，因而也就引發(fā)了筆者基于其對學(xué)生的認(rèn)知過程進(jìn)行研究的興趣. 筆者在研究的過程中，對學(xué)生的認(rèn)知過程的關(guān)注主要圍繞以下三個(gè)方面：

關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的先前經(jīng)驗(yàn)

認(rèn)知發(fā)展理論對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的先前經(jīng)驗(yàn)（又稱前概念）有著相當(dāng)?shù)闹匾?，著名認(rèn)知心理學(xué)家奧蘇伯爾的名言“如果要我將全部教育心理學(xué)歸納為一句話的話，那我將一言以蔽之，那就是弄清學(xué)生已經(jīng)知道了什么并據(jù)此進(jìn)行教學(xué)”，在這里，“學(xué)生已經(jīng)知道了什么”實(shí)際上就是學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn). 研究表明，學(xué)生在生活與學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)是可以支撐新知識的學(xué)習(xí)的[2]，但這些經(jīng)驗(yàn)?zāi)芊癜l(fā)揮作用，還得看教師如何刺激學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng). 如果忽視學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程會變得非常困難，如果學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)對學(xué)習(xí)起到負(fù)面作用，那還會阻礙學(xué)生建構(gòu)新知識，因而我們關(guān)注學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)，實(shí)際上是要思考如何發(fā)揮先前經(jīng)驗(yàn)的積極作用.

復(fù)數(shù)這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，之所以讓學(xué)生感覺到困難，一個(gè)重要的原因，就是學(xué)生已有的關(guān)于實(shí)數(shù)及其運(yùn)算法則的理解這一先前經(jīng)驗(yàn)，會影響學(xué)生構(gòu)建復(fù)數(shù)這一概念. 例如，最簡單的兩個(gè)未知數(shù)的平方和為0，那這兩個(gè)未知數(shù)肯定就等于0，這樣的認(rèn)識在學(xué)生的思維中根深蒂固. 而此前學(xué)生所遇到的大多數(shù)與數(shù)有關(guān)的問題，往往都有“屬于實(shí)數(shù)”這一前提條件，因而學(xué)生實(shí)際上已經(jīng)形成了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行問題解決的思維模式，這種模式對于學(xué)生來說是內(nèi)隱的，但作用的發(fā)揮是明顯的，其既保證了學(xué)生在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能夠有效地解決問題，也使得學(xué)生在面對復(fù)數(shù)概念的構(gòu)建時(shí)遭遇新的問題.

因此可以說，在復(fù)數(shù)教學(xué)中，最需要研究的先前經(jīng)驗(yàn)就是學(xué)生對實(shí)數(shù)的認(rèn)識. 那如何在實(shí)數(shù)認(rèn)知的基礎(chǔ)上拓寬學(xué)生的視野，使得學(xué)生更快地接受復(fù)數(shù)呢？筆者采取的策略有兩個(gè)：一是給學(xué)生介紹數(shù)的發(fā)展史，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)的發(fā)展與數(shù)學(xué)發(fā)展中遇到的問題有關(guān). 當(dāng)人們的認(rèn)識嘗試突破“兩個(gè)數(shù)的平方和為0，那這兩個(gè)數(shù)是否一定為0”時(shí)，實(shí)際上就意味著新的研究開始了，人們對數(shù)的研究也就進(jìn)入了復(fù)數(shù)視角. 二是既然數(shù)的范圍擴(kuò)大了，那相應(yīng)的運(yùn)算法則也就需要重新建構(gòu)，這就意味著在實(shí)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)適用的運(yùn)算法則，到了復(fù)數(shù)范圍內(nèi)可能就不適用了. 關(guān)于這一點(diǎn)，學(xué)生其實(shí)可以從相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)中獲得理解（這其實(shí)也是學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)，只不過這個(gè)經(jīng)驗(yàn)是由其他學(xué)科提供的而已）.

實(shí)踐證明，這樣的介紹與引導(dǎo)往往只要幾分鐘的時(shí)間，但卻可以從認(rèn)識上引導(dǎo)學(xué)生沖出原有的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，從而將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的眼光拓展到實(shí)數(shù)之外，而這個(gè)意識一旦形成，就掃除了復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)重大障礙.

關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的建構(gòu)過程

這里用建構(gòu)一詞指稱學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的認(rèn)知過程，有兩層含義：一是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論中，學(xué)生的主動建構(gòu)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程確實(shí)存在諸多吻合，因此即使該理論受到不少專家的批評，但筆者仍然以為其對一線教師的教學(xué)有著直接且簡潔的啟發(fā)，也就是說可以讓教師更好地接觸教學(xué)理論，這是其他學(xué)習(xí)理論所不具備的功能. 二是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所表現(xiàn)出來的建構(gòu)性，實(shí)際上就是一種認(rèn)知發(fā)展，一個(gè)數(shù)學(xué)概念或規(guī)律是如何被學(xué)生成功建構(gòu)的，對于這個(gè)問題的回答實(shí)際上就是對認(rèn)知發(fā)展過程的關(guān)注.

在復(fù)數(shù)知識的學(xué)習(xí)中，有一個(gè)重要的內(nèi)容，就是讓學(xué)生去掌握復(fù)數(shù)的不同表示形式. 這些表示形式在教學(xué)中如何遞進(jìn)，實(shí)際上是有學(xué)問的. 之所以常常先介紹代數(shù)表示，即a+bi（a，b∈R），就是考慮到學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，面對類似于a2為負(fù)或者兩數(shù)平方和為0這樣的問題，即使需要在實(shí)數(shù)認(rèn)識的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，那也最好不要完全脫離實(shí)數(shù)認(rèn)識. 因此，代數(shù)表示形式就是第一選擇，因?yàn)檫@樣學(xué)生建構(gòu)起來最順利.

其后，向量形式的教學(xué)的挑戰(zhàn)性在于，如何讓學(xué)生在代數(shù)形式的基礎(chǔ)上生成向量認(rèn)識. 通常情況下，只憑學(xué)生的自主努力，是難以有突破的，更重要的方式應(yīng)當(dāng)是教師的“催產(chǎn)”，即在代數(shù)表示的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生從復(fù)數(shù)的模的角度，將代數(shù)表示形式轉(zhuǎn)換為幾何表示形式，于是學(xué)生的思維就有可能發(fā)生突破. 實(shí)際教學(xué)中，在學(xué)生看到復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式可以轉(zhuǎn)換為平面直角坐標(biāo)系上的向量表示，而代數(shù)形式中的a和b就對應(yīng)著向量的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)時(shí)，學(xué)生所構(gòu)建出來的關(guān)于復(fù)數(shù)的向量表示形式也就清晰了.

再后面，三角形式的教學(xué)就具有挑戰(zhàn)性了，一個(gè)復(fù)數(shù)如何與三角函數(shù)形成聯(lián)系，這對于學(xué)生的建構(gòu)而言，挑戰(zhàn)在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用三角函數(shù)表示復(fù)數(shù)的可能性，而這又可以從復(fù)數(shù)的向量表示形式入手（在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中，實(shí)際上學(xué)生形成的關(guān)于復(fù)數(shù)的向量及代數(shù)表示形式，已經(jīng)由新知識轉(zhuǎn)變成了學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)），于是在z=a+bi化為三角形式z=r（cosθ+isinθ）的過程中，筆者重點(diǎn)設(shè)計(jì)了表示形式的轉(zhuǎn)變.

當(dāng)然，基于不同的設(shè)計(jì)理念，復(fù)數(shù)的表示形式教學(xué)的順序可以做出調(diào)整. 這其實(shí)是一個(gè)重要的判斷，這意味著在不同的教學(xué)設(shè)計(jì)中，學(xué)生的認(rèn)知過程是不一樣的，而我們從宏觀層面強(qiáng)調(diào)教師的主導(dǎo)作用，實(shí)際上也就體現(xiàn)在這些方面.

從認(rèn)知過程的角度來看，復(fù)數(shù)的表示形式這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的認(rèn)知以思維為主線，以符號感的培養(yǎng)為形式. 也就是說，學(xué)生在復(fù)數(shù)的表示形式的建構(gòu)過程中，思維發(fā)揮著無可替代的作用，認(rèn)知發(fā)展的過程就是學(xué)生不斷思維的過程. 在這個(gè)過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)用不同的符號形式（或者說系統(tǒng)），可以對同一個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行不同形式的表示，形非質(zhì)同的背后，是復(fù)數(shù)所表現(xiàn)出來的對不同形式的概括性，這客觀上加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識，即不同表示形式（數(shù)形不同）在復(fù)數(shù)這一知識上的完美的同時(shí)展示，這種認(rèn)識在其他知識的學(xué)習(xí)中相對較難出現(xiàn)（圓錐曲線的學(xué)習(xí)也是一個(gè)例外，不同的圓錐曲線可以從同一個(gè)平面截圓錐面中出現(xiàn)，這是令學(xué)生贊嘆不已的）.

關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)運(yùn)用

數(shù)學(xué)運(yùn)用對應(yīng)著數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的另一個(gè)熱點(diǎn)，即問題解決. 問題解決的過程對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，是一個(gè)應(yīng)用性強(qiáng)、綜合性強(qiáng)的過程. 這個(gè)過程中，學(xué)生的認(rèn)知過程十分豐富，如果真從認(rèn)知角度進(jìn)行詳細(xì)的解析，對于一線教師來說是有著非常大的困難. 幸運(yùn)的是，教師自身在教學(xué)中積累下來的經(jīng)驗(yàn)，可以讓教師有著豐富的緘默知識，從而支撐自己從教學(xué)研究的角度對數(shù)學(xué)運(yùn)用中的學(xué)生認(rèn)知做出一定的解析與判斷.

復(fù)數(shù)這一知識的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的問題解決主要體現(xiàn)在利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則去解決一些數(shù)學(xué)習(xí)題. 固然，數(shù)學(xué)習(xí)題不是真正的數(shù)學(xué)問題，但在高中數(shù)學(xué)的視域下，其已經(jīng)能夠體現(xiàn)問題解決的若干要素了. 當(dāng)然，如果能夠從與學(xué)生關(guān)系更為密切的生活元素中提取與復(fù)數(shù)相關(guān)的問題，那更容易激活學(xué)生的認(rèn)知過程. 比如，說有人設(shè)計(jì)了這樣的一個(gè)問題：如果在一塊大的平地上，一個(gè)人從某點(diǎn)出發(fā)沿直線前進(jìn)a米，然后左轉(zhuǎn)一個(gè)角度（小于180°），然后重復(fù)這樣的一個(gè)過程，問這個(gè)人滿足什么樣的條件才能回到原來的出發(fā)點(diǎn)？

這個(gè)問題對于學(xué)生來說既激趣，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的探究欲望（認(rèn)知過程即在探究的過程中）. 通常情況下，學(xué)生會在草稿紙上作草圖，以嘗試構(gòu)建一個(gè)初步表象，而在復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)提出這個(gè)問題，學(xué)生自然會嘗試用復(fù)數(shù)的知識去完成問題的解決，而直覺會讓學(xué)生運(yùn)用三角表示形式……在思維展開的過程中，學(xué)生會將題目中的人走過的每一段用復(fù)數(shù)形式表示出來.

在這樣的問題解決中，學(xué)生的認(rèn)知過程復(fù)雜且有效，其既增加了學(xué)生對復(fù)數(shù)知識的理解，同時(shí)也促進(jìn)了自身認(rèn)知能力的生長，是真正有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程. 因此，在高中數(shù)學(xué)中關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知過程，于生，于師，都是極有價(jià)值的事情.

參考文獻(xiàn)：

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