王志剛 鄭建華

[摘? 要] 文章以導數(shù)概念的教學過程為例，通過分析數(shù)學核心概念教學的重要性、教材的編寫特點、課程標準的要求，探討在數(shù)學核心概念教學中落實數(shù)學核心素養(yǎng)的想法和做法.

[關鍵詞] 課程標準;數(shù)學核心概念;數(shù)學核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》，首次提出高中數(shù)學課程要“凝練學科核心素養(yǎng)”，指出“中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)是黨的教育方針的具體化、細化”. 各學科基于本學科凝練的學科核心素養(yǎng)，明確了學生學習該學科課程后應該達成的價值觀、必備品格和關鍵能力，因此在學科教學中認真落實學科核心素養(yǎng)，對全面貫徹黨的教育方針、落實立德樹人根本任務，發(fā)展素質教育都有非常重要的意義. 數(shù)學學科的核心素養(yǎng)凝練在“數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析”[1]六個方面，是通過數(shù)學教學使學生逐步形成的“數(shù)學思維品質與關鍵能力”. 李邦河院士說過，“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”[2]. 可見，數(shù)學概念就是這些數(shù)學思維品質與關鍵能力的集中體現(xiàn). 在數(shù)學概念體系中，一些處于核心位置的概念密切聯(lián)系著其他一些概念，這些概念可以衍生、推出其他的數(shù)學概念，這樣的數(shù)學概念我們稱之為“數(shù)學核心概念”. 抓住數(shù)學的核心概念就便于理解數(shù)學的思維品質和關鍵能力，因此在數(shù)學教學中把握住數(shù)學核心概念的教學是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要策略. 筆者就以“導數(shù)的概念”（人民教育出版社出版高中數(shù)學A版教材，選修1-1第三章“導數(shù)及其應用”）一節(jié)的教學為例，就數(shù)學核心概念教學中如何落實數(shù)學核心素養(yǎng)，談談筆者的做法，求教于同行.

教材內容解讀

3.1.2節(jié)的主要內容是導數(shù)的概念. 教材結合上節(jié)高臺跳水情境定義了瞬時速度的概念，提出“如何求運動員的瞬時速度”引導學生開展探究，通過計算發(fā)現(xiàn)當Δt無限趨近于0時，平均速度都無限趨近于一個確定的值，類比到一般函數(shù)，抽象概括給出函數(shù)y=f（x）在x=x0處導數(shù)的定義，然后介紹其產生的歷史背景和導數(shù)在生產、生活等領域的廣泛應用.

一般地，導數(shù)學習的起點是極限，但現(xiàn)在極限的概念在課程標準中要求不高，考慮到學生的理解能力，也為了使教學的重點落腳于對導數(shù)本質的理解，教材中通過計算用“逼近”方法定義導數(shù). 因此教學中應該設法讓學生對“無限逼近的過程”有親身的經歷和感悟，只有經歷了這樣的過程，學生才能準確理解導數(shù)的概念，體會導數(shù)思想及其豐富內涵. 在實際教學中不要盲目追求理論上的嚴謹性，以免教學的重心偏移.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》的要求

《課程標準》（2017年版）對“導數(shù)的概念及其意義”提出了如下三點要求：（1）通過實例分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道導數(shù)是關于瞬時變化率的數(shù)學表達，體會導數(shù)的內涵及思想. （2）體會極限思想. （3）通過函數(shù)圖像直觀理解導數(shù)的幾何意義.[1]

？搖？搖從上可以看出，《課程標準》（2017年版）已經將如何“理解導數(shù)的意義、學習導數(shù)的概念”表述得非常清楚了，不僅提出了學生要“學什么”，規(guī)定了“怎樣學”，并且明確了學習過程中包含的數(shù)學核心素養(yǎng).

1. 學什么

“學什么”具體地說包括三方面：（1）在導數(shù)概念形成的過程中，通過分析具體的實例，讓學生親身經歷由平均變化率到瞬時變化率的逼近過程，在這一過程中使學生體會、感悟數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模和數(shù)據(jù)處理等數(shù)學核心素養(yǎng). （2）在導數(shù)幾何意義學習過程中，通過具體的函數(shù)圖像，使學生深入理解導數(shù)的概念，培養(yǎng)學生幾何直觀和數(shù)學建模的數(shù)學核心素養(yǎng). （3）在導數(shù)產生歷史背景和應用廣泛性的介紹，以及例題的解決過程中，滲透數(shù)學文化素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識.

2. 怎樣學

“怎樣學”也表現(xiàn)在三個方面：（1）讓學生通過數(shù)據(jù)計算某一時段的運動員的平均速度，探索解決“如何求高臺跳水運動員在某一時刻的瞬時速度”這一問題，抽象出瞬時速度的概念. （2）導數(shù)的概念是在數(shù)值計算后體會、感悟無窮逼近的過程中，觀察平均速度的變化趨勢時，由特殊到一般逐步抽象概括形成的. （3）導數(shù)的幾何意義是通過函數(shù)圖形直觀想象呈現(xiàn)的.

3. 教學設計與學習的思維導圖

基于以上分析，筆者設計了如下的教學與學習的思維導圖：

課堂片段實錄與評價

1. 創(chuàng)設情境，提出問題的過程

問題1：回顧上一節(jié)的高臺跳水問題，知道運動員在不同時刻速度是不同的，用平均速度來描述運動員的運動狀態(tài)會出現(xiàn)一個問題：運動員在某一時刻是運動著的，但在這一時刻平均速度卻為0.數(shù)值與現(xiàn)實的矛盾，告訴我們用平均速度刻畫物體在某一時間段運動狀態(tài)有時也不精準，因此需要求運動員在某一時刻的速度，即瞬時速度，那么怎樣求運動員在某一時刻，比如t=2時的瞬時速度呢？

學生：根據(jù)物理學習的經驗，我們可以將這個問題轉化為求平均速度問題.

教師：很好，求哪一時間段內的平均速度呢？有什么要求？

學生：求t=2附近這段時刻，時間段越短越好.

教師：為什么？談談你的想法？

學生：時間段越短，速度變化得越小，運動員在該段的平均速度就越接近t=2時刻的瞬時速度.

教師：理解得很精準.時間段選取在t=2附近，該如何理解？

學生：時間段應該選擇在t=2之前或之后.

教師：能否舉出一些具體時間段？

學生：可以，比如時間段[2，2.1]，[1.99，2]和[2，2.001].

評價：通過分析求運動員在跳水過程中某一時間段內的平均速度的想法，縮短時間區(qū)間，運用逼近思想，在交流探究活動中直觀呈現(xiàn)平均速度無限逼近瞬時速度的條件，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，滲透數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)學抽象的數(shù)學核心素養(yǎng).

2. 數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、感受“無限逼近”的過程

評價：“逼近”思想是形成導數(shù)概念的核心思想，學生對概念的認識需要借助于大量的直觀形象和數(shù)據(jù)，因此，在導數(shù)概念教學中，要通過數(shù)學運算讓學生直觀感受不論時間從2時的左邊或右邊無限逼近2，平均速度的變化發(fā)展趨勢都呈現(xiàn)一定的規(guī)律性. 讓學生經歷數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析的活動，真正地體會到從平均速度到瞬時速度的發(fā)展變化過程，在運算推理中感受“逼近”思想，發(fā)展學生數(shù)學運算、數(shù)學推理、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學核心素養(yǎng).

3. 引導探究，構建模型的過程

教師：當Δt趨近于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢？

學生：通過填表發(fā)現(xiàn)，雖然各組取的Δt有所不同，但當所取的Δt越來越接近于0時，各組計算出來的平均速度都不約而同地趨近于一個確定的常數(shù)-13.1.

教師：上述運算過程有統(tǒng)一的表達方式嗎？

教師：你真棒，你對這一問題做了高度的抽象歸納，找出數(shù)據(jù)運算的共性，同時建立了一個函數(shù)模型，降低了數(shù)據(jù)的運算難度，更能突出數(shù)學的本質.

這個環(huán)節(jié)需要一個較長的時間，在這個環(huán)節(jié)中，學生通過親自動手計算，小組合作探究，抽象概括完成了所提出問題，而且已經實踐了如何求導數(shù)的過程，學生在運算中感受逼近的思想，為導數(shù)概念的建立奠定基礎，培養(yǎng)學生數(shù)學建模的數(shù)學核心素養(yǎng).

4. 抽象概括，概念生成的過程

（1）物理模型

問題2：一般地，我們怎樣表示運動員在某個時刻t0的瞬時速度呢？請?zhí)畋?，并說說你的想法.

評價：通過表格對比使學生認識到，當Δt趨近于0時平均速度的極限就是瞬時速度，為抽象概括導數(shù)概念提煉出一個具體的極限模型. 體現(xiàn)了特殊到一般的思維方法，培養(yǎng)學生抽象概括、邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng).

（2）數(shù)學建模的過程

教師：通過上面的分析，我們看到“位移對于時間的瞬時變化率”就是瞬時速度. 如果將運動員高臺跳水問題中的函數(shù)用y=f（x）來表示，那么函數(shù)y=f（x）在x=x0處的瞬時變化率如何表示？完成表4.

評價：通過對一般函數(shù)y=f（x）類比來定義t0時刻的瞬時速度，剝離具體問題的背景和實際意義，用純數(shù)學的方式表示函數(shù)在t0的瞬時變化率，抽象得到導數(shù)的定義，導數(shù)概念水到渠成、自然地出現(xiàn). 導數(shù)概念的建立過程反映了數(shù)學建模的思想，也反映了數(shù)學抽象概括的數(shù)學核心素養(yǎng).

（3）數(shù)學應用，理解概念的過程

在鞏固概念的教學環(huán)節(jié)，通過介紹導數(shù)的歷史文化和廣泛應用，解決例1中的問題，讓學生模仿重現(xiàn)導數(shù)概念的建立過程，并說明結果的實際意義.

評價：使學生知道導數(shù)產生的歷史背景，并且自己動手解決問題加深對導數(shù)概念深入的理解，滲透數(shù)學文化，發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng)、邏輯推理能力.

教學后的思考

1. 對導數(shù)的思想及其內涵的思考

《課程標準》要求學生知道導數(shù)的本質就是瞬時變化率，體會導數(shù)的思想及內涵.那么導數(shù)的思想和內涵具體是什么？從教材中看，“瞬時變化率就是導數(shù)”，導數(shù)的問題就應該是瞬時變化率問題，其思想及內涵就應該是：瞬時變化率是平均變化率的極限，函數(shù)變化率和極限的思想及其內涵就是導數(shù)的思想及其內涵，而由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程就是一個無限逼近的極限過程[6].

2. 對數(shù)學核心素養(yǎng)落實的思考

本節(jié)課的教學過程遵循“促進深度思考，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)”的理念，設計了“教師為主導，學生為主體，問題解決為主線，能力發(fā)展為目標，素養(yǎng)培養(yǎng)為導向”的教學思想，采用“問題驅動”“啟發(fā)引導”“自主探究與實踐”等教學方法，通過問題情境的設置，激發(fā)學生探索新知的欲望，親身經歷導數(shù)概念的產生發(fā)展、抽象概括過程，引導學生積極思考用數(shù)學的眼光分析問題，積極動手用數(shù)學的方法解決問題，用數(shù)學的語言表述一般的結論，把數(shù)學核心素養(yǎng)在課堂教學中落到實處.

參考文獻：

[1]? 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]，北京：人民教育出版社.[2]? 李邦河. 數(shù)的概念的發(fā)展[J]. 數(shù)學通報，2009（8）：1-3，9.

[3]? 邵光華，章建躍. 數(shù)學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程·教材·教法，2009（7）：47-51.

[4]? 林崇德. 我的心理學觀[M]. 北京：商務印書館，2008.

[5]? 章建躍. 高中數(shù)學核心內容教學設計案例集（下）[M]. 北京：人民教育出版社，2014（5）：55-58.

[6]? 章建躍. 高中數(shù)學核心內容教學設計案例集（上）[M]. 北京：人民教育出版社，2014（5）：235-236.