劉綠芹

[摘? 要] 不同層次的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平需要采用不同的提升策略，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要根據(jù)學(xué)生的素養(yǎng)水平，采用不同的教學(xué)策略. “前水平”著重采用“夯實(shí)地基”策略，“水平一”著重采用“特殊先行”策略，“水平二”著重采用“分割呈現(xiàn)”策略，“水平三”著重采用“探索聯(lián)想”策略.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;素養(yǎng)水平;提升策略？搖

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”）中指出，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)[1]. 作為新版《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的六大核心素養(yǎng)之一的“數(shù)學(xué)建?！保袆e于其他核心素養(yǎng)，其最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際緊密聯(lián)系的學(xué)科素養(yǎng). 江蘇省《高考說明》也明確提出，要注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)的考查，要求學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，構(gòu)造適合的數(shù)學(xué)模型，將一些簡單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并加以解決[2]. 因此，提升“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)水平成了數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)之一.

“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的內(nèi)容及水平劃分

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)[2]. 根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》，素養(yǎng)水平分為三個(gè)水平層次，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，逐級(jí)提高. “水平一”要求學(xué)生能夠結(jié)構(gòu)已學(xué)過的數(shù)學(xué)模型，了解數(shù)學(xué)建模的基本過程，并模仿解決基本問題. “水平二”要求學(xué)生能夠在熟悉或關(guān)聯(lián)的情境中，將發(fā)現(xiàn)的問題通過選擇合適的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問題. “水平三”要求學(xué)生能夠在綜合的情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系和問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的一般方法和相關(guān)知識(shí)，創(chuàng)造性地開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，并解決實(shí)際問題.

“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的形成與提升策略

（一）“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)的形成策略——強(qiáng)夯地基

學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)形成的前提是需要學(xué)生擁有基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握基本的數(shù)學(xué)技能，我們把擁有了基本知識(shí)、基本技能稱為學(xué)科素養(yǎng)“前水平”階段. 學(xué)生只有達(dá)到了“前水平”素養(yǎng)水平的要求，才有進(jìn)一步提升至“水平一”“水平二”“水平三”的可能. 因此，在開展提升學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)水平教學(xué)活動(dòng)前，教師可以采用“強(qiáng)夯地基”式的教學(xué)策略，為學(xué)生準(zhǔn)備必備知識(shí)和方法，讓學(xué)生達(dá)到“前水平”素養(yǎng)水平.

【教學(xué)片段】

師：兩軍艦同時(shí)從某軍港出發(fā)，一艘以30 km/h的速度向正北方向行駛，另一艘以20 km/h的速度向北偏東60°的方向行駛. 問：經(jīng)過4 h，兩軍艦相距多遠(yuǎn)？

師：請(qǐng)畫出軍艦行經(jīng)路線的示意圖.

生：示意圖如下：

師：這是什么圖形？

生：三角形.

師：很好，這就是我們要構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型. 在解三角形時(shí)，我們有哪些知識(shí)可以用？

生：有正弦定理、余弦定理、任意三角形的面積公式及三角函數(shù)的知識(shí)，等等.

師：本題用什么方法解決呢？

從教學(xué)片段來看，教師選取了較為簡單的“解三角形”實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生自我構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，并體驗(yàn)了解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題所需的基本知識(shí)——余弦定理. 實(shí)施“強(qiáng)夯地基”教學(xué)策略需要重點(diǎn)注重的三個(gè)方面：一是教學(xué)內(nèi)容應(yīng)選取學(xué)生常見或易于理解的問題背景，比如產(chǎn)銷問題、行程問題、面積問題等;二是解決問題運(yùn)用的基本知識(shí)或方法以一到兩個(gè)為宜，比如正余弦定理、基本不等式、函數(shù)最值等;三是盡量通過問題串的方式引導(dǎo)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)與構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程.

（二）“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的提升策略

在學(xué)生擁有了基本知識(shí)與基本技能后，即學(xué)生達(dá)到了學(xué)科素養(yǎng)“前水平”層次，接下來則面臨提升“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的問題. 不同學(xué)生對(duì)素養(yǎng)水平的要求不同，有的需要達(dá)到素養(yǎng)水平一，有的需要達(dá)到素養(yǎng)水平二，甚至需要達(dá)到素養(yǎng)水平三. 因此，在不同的階段，教師需要采用不同的教學(xué)策略，有針對(duì)性地開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).

1. “水平一”的達(dá)成策略——特殊先行

“水平一”是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平中的第一層次水平，要求學(xué)生能夠在熟悉的實(shí)際背景中，了解數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過程，了解其中數(shù)據(jù)的含義，并結(jié)合學(xué)過的數(shù)學(xué)模型，模仿建立新的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題. 這就需要教師在教學(xué)過程中，著重培養(yǎng)學(xué)生通過模仿，形成整體把握問題的思維. 因此，可以采用“特殊先行”式的教學(xué)策略，即從尋找特殊、推廣一般、建立模型、選擇知識(shí)（技能）、求解模型、解決問題等過程中，一步步引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).

【問題一】資料表明，2000年我國工業(yè)廢棄垃圾達(dá)7.4×108噸，每噸占地1 m2.環(huán)保部門每回收或處理1噸廢舊物資，相當(dāng)于消滅4噸工業(yè)廢棄垃圾.如果某環(huán)保部門2002年共回收處理了104噸廢舊物資，且以后每年的回收量遞增20%.

問：（1）2010年能回收多少噸廢舊物資？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

（2）從2002年到2010年底，可節(jié)約土地多少平方米？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

【教學(xué)片段】

師：如何理解每年的回收量遞增20%？

生：例如2003年在2002年基礎(chǔ)上，回收廢舊物資增加20%，為104×（1+20%）噸.

師：2004年呢，2005年呢，…，2010年呢？

生：每年回收的廢舊物資量如下，2002年：104噸;2003年：104×（1+20%）噸;2004年：104×（1+20%）2噸;2005年：104×（1+20%）3噸. 依次類推，可知，2010年：104×（1+20%）8噸.

師：104，104×（1+20%），104×（1+20%）2，…，104×（1+20%）8，這列數(shù)是什么數(shù)列？

生：等比數(shù)列.

師（追問）：如果我們把2002年當(dāng)作第1年，請(qǐng)問第n年回收的廢舊物資量是多少呢？

生：我們可以建立以104為首項(xiàng)，1+20%為公比的等比數(shù)列. 即a1=104，q=1+20%，則an=104×（1+20%）n-1.

師：第二問如何解決呢？

從教學(xué)片段來看，教師引導(dǎo)學(xué)生逐個(gè)列出2002年至2010年每年回收廢舊物資的量，并讓其結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)列，發(fā)現(xiàn)“等比”規(guī)律，進(jìn)而建立等比數(shù)列的模型. 在“水平一”階段，實(shí)施“特殊先行”的教學(xué)策略過程中，選取的教學(xué)內(nèi)容雖不能一眼看出模型類型，但學(xué)生能夠“感覺”可能用到的規(guī)律. 同時(shí)，通過“特殊先行”驗(yàn)證自己的猜想，從而較容易地設(shè)定相關(guān)參數(shù)，并找出其中的規(guī)律及結(jié)論.

2. “水平二”的達(dá)成策略——分割呈現(xiàn)

“水平二”是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平中的第二層次水平，要求學(xué)生能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，選擇合適的數(shù)學(xué)模型解決相關(guān)實(shí)際問題，這其中，要求學(xué)生能夠通過“確定相關(guān)參數(shù)、建立模型、完善模型、求解模型”來解決相關(guān)問題. 在現(xiàn)實(shí)問題中，往往會(huì)出現(xiàn)較為復(fù)雜的問題背景，這就需要學(xué)生能夠?qū)⑾嚓P(guān)實(shí)際問題進(jìn)行“分割呈現(xiàn)”，以達(dá)到各個(gè)擊破的目的. “分割呈現(xiàn)”的策略需要從“背景分割、呈現(xiàn)參數(shù)、建立微模型、求解微模型”四個(gè)方面著手，通過多個(gè)微模型的求解，進(jìn)而解決相關(guān)實(shí)際問題.

（1）求乙船每小時(shí)航行多少海里;

【教學(xué)片段】

師：請(qǐng)逐步理解題目中的每一句話，并請(qǐng)?jiān)趫D上標(biāo)出相應(yīng)的角度.

生：標(biāo)示如圖. （圖3）

師：根據(jù)圖形，你能求出哪些角？

生：∠ACD=60°.

師：你能求出AC嗎？

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：該三角形是等邊三角形，∠CAD=60°，AD=10海里，則可以求出∠DAB=105°-60°=45°.

師：很好，請(qǐng)將△ABD單獨(dú)畫出來，并標(biāo)上數(shù)據(jù).

生：如圖. （圖5）

師：由此圖，怎樣求BD及乙船的航速？

生：可以由余弦定理求解，BD2=AD2+AB2-2AB×ADcos45°=100，故BD=10海里，則乙船的航速v=10×3=30（海里/時(shí)）.

師：很好，這樣第（1）問即可解決.

該問題數(shù)據(jù)較多，背景看似復(fù)雜，教師要求學(xué)生逐個(gè)閱讀題目中的每一個(gè)條件，并讓其邊讀邊在示意圖上標(biāo)注參數(shù). 引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建了兩個(gè)小三角形△ACD和△ABD的模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角問題. 在看似“折來折去”的問題中，教師采用分割呈現(xiàn)的策略，讓學(xué)生看清了問題的本質(zhì)，進(jìn)而較為容易地建立了三角形微模型，并求解了微模型，解決了相關(guān)問題.

3. “水平三”的達(dá)成策略——探索聯(lián)想

“水平三”是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平中的最高層次水平，要求學(xué)生能夠在綜合的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，并運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的一般方法和知識(shí)創(chuàng)造性地建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決實(shí)際問題. 這要求學(xué)生能夠從實(shí)際問題中探索數(shù)學(xué)關(guān)系，并聯(lián)想已有的數(shù)學(xué)建模方法，不斷修正與嘗試，從而創(chuàng)造出適合該題的數(shù)學(xué)模型. “探索聯(lián)想”的策略需要從“提煉問題情境、探索關(guān)系本質(zhì)、聯(lián)想建模方法、建立新模型”等幾個(gè)方面著手，形成在已有的數(shù)學(xué)建模方法的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地解決實(shí)際問題的能力.

【教學(xué)片段】

師：問題二中，第（2）問所說“危險(xiǎn)區(qū)域”是什么圖形？

生：圓.

師：甲、乙兩船航行的軌跡是什么圖形？

生：直線.

師：那本題考查的是什么內(nèi)容呢？

生：直線與圓的位置關(guān)系.

師：處理“直線與圓的位置關(guān)系”問題，需要知道什么？

生：直線的方程和圓的方程.

師：那我們需要對(duì)該現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行怎樣的處理呢？

生：需要通過建立直角坐標(biāo)系，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. 因此，建立如下的直角坐標(biāo)系. （圖6）

在教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“危險(xiǎn)區(qū)域”進(jìn)行發(fā)現(xiàn)提煉，探索出該問題的本質(zhì)是直線與圓的位置關(guān)系. 并引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到解決“圓與直線的位置關(guān)系”常用“建立直角坐標(biāo)系”的方法，從而，較為容易地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，求解模型.

結(jié)束語

任何數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)水平的形成與發(fā)展，不可能一蹴而就，需要循序漸進(jìn)、反復(fù)滾進(jìn)，各種策略也要綜合運(yùn)用，“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)也同樣如此. 在教學(xué)過程中，教師需要對(duì)各種策略進(jìn)行綜合運(yùn)用，著重“夯實(shí)地基”，不斷“特殊先行”，多次“分割呈現(xiàn)”，經(jīng)常“探索聯(lián)想”. 只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平才能得到不斷發(fā)展、不斷提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中課程方案[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2]? 2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）說明[M]. 江蘇：江蘇鳳凰教育出版社，2017.