魏建華

[摘? 要] 在2018年的全國卷理科解析幾何大題的講解中，逐層地選取不同的主元進(jìn)行求解，同時(shí)對(duì)問題追根溯源，并簡單運(yùn)用共軛極點(diǎn)理論解決這類型問題.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;主元選取;背景挖掘;共軛極點(diǎn)

解析幾何問題的求解方法綜合，思維發(fā)散，聯(lián)系和應(yīng)用不同板塊的知識(shí)可得到不同的邏輯線索，從而選定不同主元（主要變量，其他變量為中間變量）進(jìn)行求解. 經(jīng)典解析幾何問題，往往蘊(yùn)含著深刻的背景，我們需要對(duì)其進(jìn)行深度剖析，以對(duì)圓錐曲線性質(zhì)有更深刻的認(rèn)識(shí). 下面就全國Ⅰ卷理科第19題聯(lián)系不同板塊知識(shí)給出四種主元選取角度及對(duì)命題背景做深度挖掘和簡單運(yùn)用.

作圖1，本題就兩個(gè)主要幾何關(guān)系，A，B在過點(diǎn)F的直線上和在橢圓上. 一個(gè)是線性關(guān)系，一個(gè)是非線性關(guān)系. 因?yàn)橹本€l與x軸重合或垂直時(shí)，結(jié)論顯然，下面不再贅述. 當(dāng)直線l與x軸不重合或垂直時(shí)，自然從線性關(guān)系入手，聯(lián)系直線方程相關(guān)知識(shí). 因?yàn)橹乐本€的橫截距，所以將直線的斜率作為主元.

方法1：選定直線斜率的倒數(shù)作為主元

當(dāng)直線AB與x軸不重合時(shí)，我們設(shè)直線AB的方程為x=my+1.

評(píng)析：此解法很自然，將本問題與解三角形有機(jī)結(jié)合，運(yùn)用知識(shí)，體現(xiàn)能力，也鍛煉學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和能力.當(dāng)然我們也可以先從非線性關(guān)系入手，利用點(diǎn)在橢圓上這個(gè)關(guān)系，自然想到橢圓的參數(shù)方程，此時(shí)我們將離心角作為主元進(jìn)行求解.

評(píng)析：本方法很自然但是運(yùn)算難度大，要求對(duì)三角形和差公式有深度了解且能靈活運(yùn)用，培養(yǎng)思維，鍛煉能力.我們能不能直接從目標(biāo)入手對(duì)結(jié)論再次進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化呢？顯然，還可轉(zhuǎn)化成射線MA，MB的傾斜角之間的關(guān)系，只需證明其傾斜角之和為2π即可. 所以我們以點(diǎn)M為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，利用極坐標(biāo)進(jìn)行求解，但是這種方法運(yùn)算過于復(fù)雜，故而略去.

小結(jié)：四種做法聯(lián)系不同板塊知識(shí)，產(chǎn)生不同的解題線索，因而得到不同的主元選取角度，關(guān)鍵是點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在橢圓上這兩個(gè)幾何條件應(yīng)用順序不同所致，但四種做法有機(jī)組成幾何代數(shù)兩種處理問題的模式.不同主元的選取由淺入深，既伴隨著學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的提升，又伴隨著轉(zhuǎn)化意識(shí)的加強(qiáng).

追根溯源

我們把這個(gè)結(jié)果當(dāng)成橢圓的性質(zhì)來思考，很明顯大家觀察到點(diǎn)F是橢圓焦點(diǎn)，點(diǎn)M是右準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，我們做出猜想：這個(gè)性質(zhì)是否對(duì)圓錐曲線都成立. 同時(shí)我們看到2018年全國Ⅰ卷文科高考題第20題就是把圓錐曲線換成了拋物線去證明這個(gè)結(jié)論. 我們再深層次地挖掘可聯(lián)想到《高等幾何》里的極點(diǎn)極線理論.

評(píng)析：如果這兩個(gè)問題不是先猜再證，而是利用恒成立解出定點(diǎn)坐標(biāo)運(yùn)算量會(huì)很大，不易操作，而且用方程恒成立處理也可用共軛極點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行結(jié)論檢驗(yàn).

教學(xué)啟示

在進(jìn)行解析幾何教學(xué)時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，聯(lián)系不同板塊知識(shí)確立不同的線索選定主元進(jìn)行求解，培養(yǎng)學(xué)生先幾何后代數(shù)的思維習(xí)慣，同時(shí)對(duì)不同做法做好比較，既提升運(yùn)算素養(yǎng)，又提升轉(zhuǎn)化意識(shí). 同時(shí)對(duì)典型問題的背景做深入挖掘，對(duì)類似共軛極點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行探究，既拓寬學(xué)生知識(shí)面，又培養(yǎng)學(xué)生探究問題本質(zhì)的意識(shí).