邢靜忠，龐滿意，張 澤

（天津工業(yè)大學 天津市現(xiàn)代機電裝備技術(shù)重點實驗室，天津 300387）

諧波齒輪傳動具有結(jié)構(gòu)簡單、體積小、重量輕、傳動比大、同時參與嚙合的齒對數(shù)多，傳動平穩(wěn)、回差小、傳動精度高等優(yōu)點，廣泛應用于機器人、航空航天、精密機械和導航指向機構(gòu)等[1-3]。工業(yè)機器人對諧波齒輪傳動的傳動精度和負載能力提出了更高的要求。在諧波齒輪傳動中，柔輪始終承受波發(fā)生器引起的裝配交變應力，同時負載狀態(tài)下柔輪筒體還要承受更高的負載應力，易引發(fā)柔輪疲勞破壞，故柔輪應力分析是諧波齒輪設計中的基礎關(guān)鍵性問題。

針對波發(fā)生器作用下柔輪齒圈部位的應力和變形，求解方法主要有理論公式法[4]、實驗歸納法[5-6]和數(shù)值模擬仿真法[7-10]。伊萬諾夫[11]對諧波齒輪傳動進行了非常系統(tǒng)的理論研究，建立等效圓環(huán)理論計算裝配狀態(tài)下的柔輪變形和應力。通過實驗測量負載傳動的嚙合力，歸納出嚙合力分布的經(jīng)驗公式。沈允文等[12]在諧波傳動方面也開展了大量基礎性理論研究和實驗研究。因?qū)嶒炑芯亢臅r且成本高，數(shù)值仿真求解應力和變形被越來越多地應用。

劉文芝[13]將Pro/E生成的柔輪和剛輪讀入ANSYS模擬柔輪的嚙合過程，獲得柔輪應力的分布，修正輪齒影響系數(shù)。高海波等[9]基于APDL語言建立柔輪參數(shù)化接觸模型，并討論筒長、壁厚、齒寬以及倒角半徑等參數(shù)對柔輪最大等效應力的影響。Li[14]自主開發(fā)有限元程序，分別對齒嚙式筒形柔輪、變厚度杯底杯形和禮帽形柔輪進行研究，并與實驗結(jié)果對比。

饒振綱[15]以嚙合參數(shù)為設計變量，以體積為目標函數(shù)對結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化設計。Kayabasi[16]提出基于有限元平臺的齒廓參數(shù)優(yōu)化方法。Dong等[17]建立諧波齒輪接觸模型，并基于動態(tài)分析結(jié)果，對齒廓參數(shù)進行優(yōu)化；用APDL語言建立柔輪參數(shù)化接觸模型，以柔輪最小應力為目標，用ANSYS內(nèi)置的零階優(yōu)化方法優(yōu)化柔輪結(jié)構(gòu)參數(shù)[18]。機器人用諧波齒輪要求更小的長徑比，如何計算超短筒柔輪應力，并利用變厚度杯底方案的優(yōu)化設計，提高超短筒柔輪的承載能力成為迫切需要。文獻[19]僅從參數(shù)敏感性角度指出了對應力降低最敏感的參數(shù)，尚未開展最優(yōu)化設計研究。

本文利用有限元方法研究超短筒柔輪結(jié)構(gòu)參數(shù)對柔輪應力的敏感性，以尋找降低應力的結(jié)構(gòu)參數(shù)。建立變厚度杯底模型，優(yōu)化柔輪變厚度杯底，以進一步降低空載裝配應力和傳動負載應力。首先，建立杯形柔輪實體單元有限元參數(shù)化模型，依據(jù)標準橢圓波發(fā)生器的徑向變形規(guī)律，在齒圈中面施加徑向位移約束，求解空載裝配狀態(tài)的裝配應力。依據(jù)最大瞬時力矩，在柔輪中面施加嚙合力和相應的位移約束條件，獲得負載傳動狀態(tài)下的負載應力。分別討論柔輪長徑比、杯底倒圓半徑、膜板寬度對裝配狀態(tài)和負載工況下杯底最高應力的參數(shù)敏感性，找到應力最低的結(jié)構(gòu)參數(shù)。利用三次樣條函數(shù)構(gòu)建變厚度杯底，基于APDL語言開發(fā)復合形法優(yōu)化程序?qū)ψ畲笱b配應力和最高負載應力分別進行杯底厚度優(yōu)化。最后應用ANSYS內(nèi)置的零階和一階優(yōu)化程序?qū)ρb配應力的優(yōu)化結(jié)果進行驗證。

1 裝配狀態(tài)和負載應力求解

杯形柔輪是帶有輪齒的杯形薄壁殼。工作中往復變化的裝配應力和傳動應力無法解析求解。利用有限元方法求解柔輪變形和應力是常用的數(shù)值分析方法。

1.1 建立柔輪有限元參數(shù)化模型

一般將長徑比為0.5的柔輪稱為短筒柔輪，小于0.5的稱為超短筒柔輪。圖1為短筒杯形柔輪的結(jié)構(gòu)簡圖。

圖1 杯形柔輪剖面尺寸Fig.1 Profile dimensions of cup-shaped flexspline

圖1中，b1為齒圈寬度。參考HD公司的CSG型25系列，減速比100的杯形諧波齒輪。本文將輪齒抹去只研究杯底應力。根據(jù)等剛度要求，由文獻[8]求得當量齒圈厚度th=0.81 mm。其他尺寸如表1所示。

表1 杯形柔輪結(jié)構(gòu)參數(shù)尺寸Tab.1 Structural dimensions of flexsp line cup

按表1參數(shù)定義柔輪縱向截面上的關(guān)鍵點，依次連接生成四邊形面，映射生成四邊形平面網(wǎng)格。選用20結(jié)點的實體結(jié)構(gòu)單元SOLID95，將平面網(wǎng)格繞回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)90°，掃略生成用規(guī)則六面體單元的柔輪1/4模型。定義30GrMnSiA合金鋼柔輪的彈性模量E=207 GPa，泊松比 μ=0.3。

1.2 標準橢圓波發(fā)生器作用下的徑向位移約束

受波發(fā)生器作用，裝配狀態(tài)下柔輪變形可用中面曲線方程表達。中面曲線是指柔輪殼體中面和垂直于回轉(zhuǎn)軸的柔輪受載平面相交所形成的平面曲線。裝配狀態(tài)下，柔輪變形主要由波發(fā)生器的形狀決定。常用的波發(fā)生器有雙圓盤波發(fā)生器、四滾輪波發(fā)生器、雙滾輪波發(fā)生器、橢圓波發(fā)生器和余弦凸輪波發(fā)生器。選用國內(nèi)普遍應用的標準橢圓波發(fā)生器，如圖2所示。

圖2 橢圓波發(fā)生器示意圖Fig.2 Diagram of elliptical wave generator

圖2中：r0為變形前柔輪中面半徑；W0為最大徑向變形量；ρ為任意角度φ處柔輪變形后的徑向長度；W為φ處的徑向位移。

在標準橢圓波發(fā)生器作用下，柔輪的中面曲線

式中：a、b分別為橢圓的長半軸和短半軸，即a=r0+W0，

根據(jù)模型在2個縱向截面的對稱性，定義對稱邊界條件約束。按照標準橢圓波發(fā)生器的形狀，計算出齒圈中面的徑向位移，在該位置中面結(jié)點處施加徑向位移約束，即定義這些結(jié)點的徑向位移為ρ-r0。考慮到柔輪杯底的安裝條件，固定杯底凸緣上的所有結(jié)點。

1.3 傳動轉(zhuǎn)矩作用下柔輪的負載約束

依據(jù)伊萬諾夫的嚙合力分布的經(jīng)驗公式[11]，傳動載荷作用下嚙合力分布如圖3所示。

圖3中：α為齒形角；qθ為單位寬度齒圈上的周向分布力；qρ=qθtan（α）為徑向力；AA′為波發(fā)生器長軸，CC′是通過最大載荷值的軸線；φ1表示分布載荷峰值軸線CC′和波發(fā)生器長軸AA′的夾角；φ2和φ3確定嚙合區(qū)大小。角φ由軸線AA′開始按波發(fā)生器轉(zhuǎn)向一致為正。qθ沿φ的方向為正；qρ向外為正。

在角φ2和φ3對應的區(qū)域內(nèi)，

圖3 傳動載荷作用下柔輪的嚙合力分布示意圖Fig.3 Meshing force distribution on flexspline teeth

若φ2和φ3相等，那么φ2角區(qū)域內(nèi)，負載扭矩

式中：b1為齒圈寬度；dg為分度圓直徑，積分得

基于式（2），選擇柔輪齒圈中面上、齒圈中間截面的所有結(jié)點，設總數(shù)為N，則每個結(jié)點間夾角f0=360/N。取 φ1=-15°，φ2=-37.5°，φ3=7.5°，根據(jù)

反算Fmax的值。參考HD公司25系列的CSG柔輪，取式（4）等號右邊M為最大負載轉(zhuǎn)矩369 N·m。負載轉(zhuǎn)矩下的有限元模型如圖4所示。

圖4 負載轉(zhuǎn)矩作用下的有限元模型Fig.4 Finite element model in transm ission state

2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對應力的影響

由于柔輪杯底應力無法用理論方法求解，本文利用ANSYS軟件的APDL語言，建立變厚度杯底的柔輪參數(shù)化模型。通過最高應力的參數(shù)敏感性分析，對關(guān)鍵幾何參數(shù)分別尋優(yōu)。然后建立優(yōu)化杯底厚度的優(yōu)化模型，進一步降低杯底裝配應力和負載應力。

2.1 齒圈周向彎曲應力和杯底裝配應力

取長徑比l/d0（d0=2r0）從0.1到0.6變化，按國家規(guī)范[19]計算齒圈裝配應力，并用有限元方法計算杯底的裝配應力，如圖5所示。

圖5 齒圈應力和杯底裝配應力與長徑比的關(guān)系Fig.5 Relation between tooth ring stress and diaphragm stress w ith ratio of length to diameter

圖5中，實線和虛線分別為裝配狀態(tài)下杯底的最高等效應力和齒圈部位的周向彎曲應力。從圖5可知，波發(fā)生器作用下，柔輪杯底最高應力和柔輪齒圈最高應力柔輪隨長徑比的減小呈單調(diào)遞增規(guī)律。柔輪杯底應力的增幅最大，呈指數(shù)級增長，表明柔輪杯底最高應力對長徑比的減小更敏感；當長徑比小于0.44時，杯底應力超過齒圈應力。我國規(guī)范僅給出周向彎曲應力的計算方法，沒有給出杯底應力的設計方法。但是，對超短筒柔輪，杯底應力是結(jié)構(gòu)分析和設計的關(guān)鍵問題。

在超短筒條件約束下，筒長的減少會引起杯底裝配和負載應力的急劇升高。下面基于長徑比l/di=0.4，研究單一改變兩個倒圓半徑r1、r2和膜板寬度l1對杯底最高裝配應力和負載應力的影響。

2.2 筒壁倒圓半徑對柔輪杯底最高應力的影響

計算筒壁倒圓半徑從r1/ri=0.033～0.16時，杯底結(jié)構(gòu)分別在裝配狀態(tài)和負載工況下的最大等效應力如圖6所示。

從圖6中看出，隨筒壁倒圓半徑r1增大杯底最大等效應力線性單調(diào)遞增，應力從176.3 MPa增長到229.9 MPa，增加了30.4%。可以看出，柔輪筒壁倒圓半徑r1對杯底最大裝配應力影響較大。當筒壁倒圓半徑r1較小時，膜板寬度長，杯底吸收變形的能力好，因而最高應力??；而當筒壁倒圓半徑r1增大時，膜板寬度相對減少，杯底吸收變形能力減弱，造成最高應力增大。

最大裝配等效應力隨r1增大線性增長，應力值從623.3 MPa到638.5 MPa，變化不大。對比圖6裝配應力和負載應力發(fā)現(xiàn)：杯形柔輪的最高負載應力約為最高裝配應力的300%。

圖6 最高裝配應力和負載應力與筒壁倒圓半徑的關(guān)系Fig.6 Relation between the maximum assembly stress and transm ission stress w ith fillet radius near cup bottom

2.3 膜板倒圓半徑對柔輪杯底最高應力的影響

取柔輪最小裝配應力值對應的r1/r0=0.033，其他參數(shù)不變。計算膜板倒圓半徑從r2/r0=0.013～0.140時杯底最大裝配應力和最大負載應力，如圖7所示。

圖7 最高裝配應力和負載應力與膜板倒圓半徑的關(guān)系Fig.7 Relation between the maximum assembly stress and transm ission stress w ith fillet radius near diaphragm

從圖7中可以看出，杯底最大裝配應力隨膜板倒圓半徑r2增大呈單調(diào)遞增狀態(tài)，且斜率略有上升。當r2/ri=0.013～0.140時，杯底最大裝配應力從176.1 MPa增至278.8 MPa，增大了58.3%。當r2/ri越大，引起杯底膜板與凸緣倒角處的杯底厚度增大，使等效應力變大。負載應力的變化規(guī)律正好相反。當r2/ri=0.016～0.147時，曲線從623.3 MPa降至458.3 MPa，降低了26.5%。

無論裝配應力，還是負載應力，柔輪杯底最大應力對于膜板倒圓半徑r2較敏感，對杯底最高應力變化有很大影響。

2.4 杯底最高應力和膜板寬度的關(guān)系

基于柔輪應力與筒壁倒圓半徑r1、膜板倒圓半徑r2的關(guān)系。當杯底應力最小時對應的r1/ri=0.033、r2/ri=0.023，其他參數(shù)保持不變。計算膜板寬度與筒長的比值l1/l=0.140～0.385時，杯底的最高裝配應力和最高負載應力，如圖8所示。

圖8 杯底最高裝配應力和負載應力與膜板寬度的關(guān)系Fig.8 Relation between the maximum assembly stress and transm ission stress w ith the diaphragm w idth

圖8中，杯底最高裝配應力隨膜板寬度l1增大單調(diào)下降。膜板寬度和筒長比l1/l=0.121～0.385時，最高應力從888.4 MPa降至174.4 MPa。隨l1增大到l1/l=0.211時，杯底最大負載應力先急劇下降，后下降斜率變小。這是因為當l1/l很小時，膜板寬度小，導致筒壁倒圓部分吸收的變形增多，因而產(chǎn)生高應力。

3 變厚度杯底的柔輪優(yōu)化模型

3.1 變厚度杯底的柔輪結(jié)構(gòu)

圖9所示為變厚度杯底的控制參數(shù)示意圖。

圖9 變厚度杯底的控制參數(shù)示意圖Fig.9 Diagram of parameters of variable thickness bottom

圖9（b）中，A、C、E為變厚度杯底曲線的3個控制點。A點為樣條曲線和柔輪筒外壁交點，其坐標為（ri+t1，th1）；E點是樣條曲線和杯底凸緣外圓的交點，其坐標為（rb，th3），rb是杯底凸緣外半徑；C點y向坐標是A、E的中點，其坐標為（（rb+ri+t1）/2，th2）。A、C、E 3點由各自z向坐標th1、th2、th3控制，B點為樣條曲線和壁厚倒圓r1的切點，D點為樣條曲線和膜板倒圓r2的切點。

3.2 基于三次樣條曲線插值擬合杯底剖面

選用三次樣條曲線擬合柔輪變厚度杯底。當th1、th2、th3確定后需要給出參數(shù)樣條曲線的函數(shù)表達式，再通過二分法解得樣條曲線與杯底2個倒圓的切點，進而連接外筒壁、倒圓和樣條曲線，得到杯底曲線。設A、C、E點的坐標分別為（y1，z1）、（y2，z2）、（y3，z3），根據(jù)曲線插值定義，AC段方程

CE段方程

式中：a1、b1、c1、d1、a2、b2、c2、d2為待定的8個系數(shù)。將A、C、E點的坐標值代入相應式中，得

此外，根據(jù)三次樣條在公共點處二階導數(shù)連續(xù)光滑的條件

為滿足8個未知系數(shù)的求解，還需2個條件。一般來講，在曲線的兩端，即A、C點各加一個邊界條件。根據(jù)柔輪筒的特點，選擇兩端點的二階導數(shù)已知的自然邊界條件，得

湊齊包含8個未知系數(shù)的8個方程。這條曲線可由th1、th2、th33個變量控制。

3.3 確定樣條曲線杯底的優(yōu)化模型

以杯底最高等效應力EQV_BOTMAX作為優(yōu)化目標f（x*），根據(jù)樣條曲線表達的變厚度杯底的柔輪模型可知，f（x*）本質(zhì)上是由th1、th2、th3決定。因此優(yōu)化目標

式中：th1、th2、th3為優(yōu)化模型的優(yōu)化變量。

由于只有3個點控制樣條曲線的變化，當任意相鄰的2個點在z軸方向位置相似，而第3個點在z軸方向超過這2個點很多時，杯底曲線和杯底內(nèi)壁會發(fā)生干涉，導致模型錯誤。有必要約束th1，th2，th3的取值區(qū)間。取如下約束

4 優(yōu)化結(jié)果及驗證

令th1=th2=th3=0.48 mm，即等厚度杯底，其余參數(shù)按表1取值生成模型，計算出杯底最高裝配應力180.6 MPa。和前述l/di=0.4方案的結(jié)果對比，數(shù)值完全吻合，表明樣條曲線變厚度杯底可替代等厚度杯底模型。前節(jié)分析幾個結(jié)構(gòu)參數(shù)對杯底最高裝配應力和最高負載應力的影響，已找到最高應力最低的結(jié)構(gòu)方案。本節(jié)將依據(jù)曲線變厚度杯底繼續(xù)優(yōu)化最高裝配應力和負載應力。

通常使用的優(yōu)化設計求解方法有：解析方法和數(shù)值方法。因本文設計變量少，僅有一個約束，故選擇復合形法求解。根據(jù)復合形法思想，設計變厚度杯底裝配應力和負載應力的APDL優(yōu)化程序。在每次判斷生成新的復合形頂點且需要調(diào)用宏程序計算杯底應力之前，先用PARSAV命令保存參數(shù)，在宏程序初始位置再用PARRES讀入保存的參數(shù)。

4.1 裝配狀態(tài)的優(yōu)化結(jié)果

經(jīng)歷262次迭代計算后，杯底最高裝配應力收斂至151.8 MPa，如圖10所示。

圖10 杯底最高裝配應力優(yōu)化過程Fig.10 Optim ization process of the maximum assembly stress

和初始方案相比，應力降低15.9%。圖10中左側(cè)坐標軸是最高裝配應力，而右側(cè)坐標軸為3個變量th1、th2、th3變化范圍。優(yōu)化后th1=1.212 97 mm，th2=0.480 00 mm，th3=0.773 79 mm。

4.2 負載工況的優(yōu)化結(jié)果

歷經(jīng)88次迭代計算，得到最大瞬時轉(zhuǎn)矩作用下的杯底最高負載應力的最優(yōu)解349.9 MPa，如圖11所示。

與初始方案相比，下降43.9%。最優(yōu)解th1=2.70859 mm，th2=0.806 46 mm，th3=1.535 18 mm。

4.3 優(yōu)化方案的應力分布云圖

圖12為裝配應力優(yōu)化后柔輪的裝配應力分布。

由圖12可知：優(yōu)化后的杯底靠近筒壁倒圓處很厚，凸緣附近厚度超過膜板中間。杯底最高裝配應力出現(xiàn)在杯底長軸方向的膜板中間。

圖11 杯底最高負載應力的優(yōu)化結(jié)果圖Fig.11 Optim ization process of the maximum transm ission stress

圖12 最優(yōu)方案的柔輪裝配應力云圖Fig.12 Assembly stress distribution in optim ized flexspline

圖13為負載應力優(yōu)化后柔輪的負載應力分布。

圖13 最優(yōu)方案的柔輪負載應力Fig.13 Transm ission stress distribution in optim ized flexsp line

由圖13可見：優(yōu)化后的杯底靠近筒倒圓處非常厚，凸緣附近的比較厚，膜板中間的厚度超過裝配狀態(tài)的厚度。杯底最高負載應力發(fā)生在筒內(nèi)壁和膜板的倒圓部分。

4.4 基于內(nèi)置的零階和一階優(yōu)化方法驗證

零階優(yōu)化方法又稱為子問題逼近方法，僅需要因變量的數(shù)值而不需要其導數(shù)。因變量（即目標函數(shù)和狀態(tài)函數(shù)）先通過最小二乘擬合值近似，進而將有約束極小化問題用罰函數(shù)轉(zhuǎn)化為無約束問題，在近似的罰函數(shù)上連續(xù)迭代極小化的過程。

一階優(yōu)化方法導數(shù)信息進行優(yōu)化。通過罰函數(shù)將有約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成無約束問題，接著對目標函數(shù)及狀態(tài)變量的罰函數(shù)進行導數(shù)計算，形成搜索方向。在每個迭代步進行最速下降以及對偶方向搜索直到結(jié)果收斂。每次的迭代由多個子迭代組成，其中包括搜索方向以及梯度計算。因此和子問題逼近方法相比，一階優(yōu)化方法雖然更精確，同時也需要更多的計算量。

4.5 裝配狀態(tài)的優(yōu)化結(jié)果對比驗證

由于零階和一階優(yōu)化是ANSYS的內(nèi)置優(yōu)化模塊，因此用APDL編譯優(yōu)化格式較為固定，簡單易行。先創(chuàng)建宏，在宏當中賦予3個變量任意初值。隨后進入ANSYS優(yōu)化模塊，指定結(jié)構(gòu)分析的宏程序名。設置目標函數(shù)和約束條件，優(yōu)化變量范圍。

再選擇零階優(yōu)化和一階優(yōu)化方法。優(yōu)化模塊運行結(jié)束后，輸出數(shù)據(jù)。針對裝配狀態(tài)下的變厚度柔輪模型，用零階優(yōu)化方法和一階優(yōu)化方法對最高裝配應力進行優(yōu)化設計，得到表2。

表2 杯形柔輪的最高裝配應力最優(yōu)解Tab.2 Optim ized solution of the maximum assembly stress in the cup-shaped flexspline

對比3種優(yōu)化方法得到杯形柔輪筒底裝配應力的最優(yōu)解。復合形法和一階優(yōu)化所得的結(jié)果很接近。

5 結(jié)論

研究隨長徑比、筒壁倒圓半徑、膜板倒圓半徑、膜板寬度變化時，杯形柔輪最高裝配應力和負載應力的變化規(guī)律。研究得出如下結(jié)論：

（1）短筒柔輪的杯底裝配應力和負載應力隨筒長縮短急劇升高，超過規(guī)范要求的齒圈應力，因此超短筒柔輪的最高設計應力在杯底。

（2）對超短筒柔輪，減小筒壁倒圓半徑，或增大膜板寬度，均可降低柔輪的最高裝配應力和最高負載應力。

（3）變厚度杯底優(yōu)化表明，增加筒底倒圓附近和凸臺附近的厚度，可以提高諧波齒輪的負載能力。