張開元， 汪中厚

(上海理工大學 機械工程學院， 上海 200093)

諧波齒輪是依靠柔輪的周期性彈性變形實現(xiàn)傳動的新型傳動機構(gòu)，諧波齒輪具有結(jié)構(gòu)緊湊、體積小、傳動精度高、傳動比大以及同時嚙合齒數(shù)多等特點，因而得到了廣泛應用和研究[1]。在機器人關節(jié)和伺服系統(tǒng)中，使用諧波齒輪減速器替換傳統(tǒng)齒輪減速器可以極大地提高定位精度和響應靈敏度[2-3]。

諧波齒輪傳動機構(gòu)主要由三個零件組成：波發(fā)生器、柔輪和剛輪。其中，波發(fā)生器根據(jù)工況的需要可以進行調(diào)整和互換，柔輪齒廓的求解是按照設計要求的齒形，分別計算齒廓參數(shù)得到的[4]。

目前，諧波齒輪剛輪的設計是通過設計公式進行計算，實際加工后再根據(jù)嚙合效果對參數(shù)進行調(diào)整來實現(xiàn)的[5]。剛輪與柔輪在設計過程中保持了相對的獨立，剛輪的齒廓往往和柔輪齒廓配合效果不佳，導致傳動機構(gòu)精度降低。

另一方面，諧波齒輪在進行有限元分析之前，需要對傳動機構(gòu)進行三維建?！，F(xiàn)有的建模手段構(gòu)建三維模型時過于繁瑣，為了解決上述問題，已經(jīng)有學者嘗試使用參數(shù)化建模的方法提高諧波齒輪設計效率[6-7]。然而，參數(shù)化建模只能縮短標準漸開線齒形的設計時間，當與柔輪配合的剛輪齒廓為非標準漸開線齒廓，或是使用了雙圓弧、擺線等特殊齒廓時，參數(shù)化建模方法在靈活性和通用性方面存在的問題就會暴露出來。

因此，本文以諧波齒輪共軛理論為依據(jù)，分析實際傳動中柔輪的運動軌跡，在MATLAB中通過編程實現(xiàn)柔輪運動仿真，在雙圓弧柔輪齒廓設計的基礎上，進行不同徑向變形系數(shù)的包絡仿真，分析徑向變形系數(shù)對共軛齒廓的設計影響。

1 諧波齒輪共軛理論

在進行剛輪共軛齒廓求解時，把柔輪的齒廓假想成刀具的輪廓，刀具在波發(fā)生器的激勵下，形成特定的運動軌跡[8]。在這一過程中，柔輪所占據(jù)的位置，都視為被假想刀具切削掉，所形成的包絡線簇即為所需的剛輪共軛齒廓。

柔輪設計坐標系以柔輪中性面作為橫坐標軸，以波發(fā)生器長軸作為縱坐標軸。剛輪設計坐標系以波發(fā)生器短軸作為橫坐標軸，以波發(fā)生器長軸作為縱坐標軸。剛輪和柔輪的設計坐標系并不相同，坐標系的位置關系如圖1所示。

圖1 齒廓設計坐標系位置關系

柔輪在裝入波發(fā)生器后，內(nèi)圈從圓形拉伸為橢圓形。距離柔輪內(nèi)圈長軸處t/2距離處的平面為柔輪的中性面，柔輪是在坐標系xRORyR中設計的，該坐標系以柔輪中性面為橫坐標軸xR，以齒廓對稱線作為縱坐標軸yR。在進行剛輪設計時，考慮到柔輪需要圍繞回轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)和徑向位移，因此需要將柔輪的坐標轉(zhuǎn)換到剛輪坐標系中。剛輪坐標系以波發(fā)生器的回轉(zhuǎn)中心OG作為原點，波發(fā)生器長軸作為橫坐標軸xG，波發(fā)生器短軸作為縱坐標軸yG。

諧波齒輪以固定剛輪、波發(fā)生器主動，柔輪從動的形式傳動時。柔輪的空間位置發(fā)生變化，對應在剛輪坐標系中坐標變換矩陣為

(1)

式中φ為柔輪位置變化后兩坐標系縱坐標軸之間的夾角，ρ為柔輪變形后的向徑，γ為波發(fā)生器和剛輪轉(zhuǎn)角差值。根據(jù)諧波齒輪第一定律，柔輪與剛輪之間可以視作是無滑動的純滾動運動，柔輪運動的弧長應等于剛輪運動的弧長，即

(2)

式中φ1為柔輪位移圓弧對應的角度，φ2為剛輪位移圓弧對應的角度，rG為剛輪特征曲線半徑。進而按照γ的定義，可以求出

(3)

計算出位移圓弧夾角γ后，可以得到

(4)

因此，共軛齒廓參數(shù)方程組可以表示為

(5)

2 仿真求解剛輪共軛齒廓

在MATLAB中進行包絡仿真可以快速求解出剛輪共軛齒廓，進行編程之前，首先要對柔輪的運動軌跡進行分析。柔輪在傳動過程中的運動屬于復合運動，可以拆解為徑向運動和切向運動。波發(fā)生器轉(zhuǎn)過角度α后，柔輪轉(zhuǎn)過角度β，柔輪的運動軌跡如圖2所示。

圖2 柔輪運動軌跡

圖3 包絡仿真程序框架

柔輪的運動過程可以分解為從A點沿著特征曲線運動到B點，再沿著橢圓向徑從B點運動到C點。

諧波齒輪的波發(fā)生器為橢圓形，當波發(fā)生器轉(zhuǎn)過90°時，波發(fā)生器長軸處的柔輪完成從嚙合到嚙出的過程。諧波齒輪的傳動比很大，這里用于包絡仿真的傳動機構(gòu)傳動比為100。在該傳動比下，波發(fā)生器轉(zhuǎn)過90°，對應柔輪從動轉(zhuǎn)過0.9°，轉(zhuǎn)過的角度很小。切向運動走過的圓弧可以近似視為一段以柔輪向徑ρ作為半徑的圓弧，切向運動的弧長Δx可以表示為

(6)

在徑向方向上，波發(fā)生器向徑的變化量即為柔輪齒廓沿徑向的位移，徑向運動量Δy可以表示為

(7)

式中a為波發(fā)生器長軸長，b為波發(fā)生器短軸長。

根據(jù)上述分析，在MATLAB中進行包絡仿真求解剛輪共軛齒廓的程序基本框架如圖3所示。

3剛輪齒廓求解結(jié)果

諧波齒輪第二定律認為：剛輪的共軛齒廓與柔輪齒廓的截形和波發(fā)生器的尺寸有關。在確定了柔輪齒廓后，剛輪齒廓的求解就僅受波發(fā)生器尺寸的影響。

波發(fā)生器的尺寸是通過影響柔輪的徑向變形系數(shù)ω*來改變嚙合過程的，ω*可以由下式確定：

(8)

其中m為柔輪模數(shù)，ω為柔輪最大徑向變形量。從圖1中可以看出，最大徑向變形量即為波發(fā)生器長軸a和柔輪未變形前的半徑r之間的差值，即：

ω=a-r。

(9)

選取ω*為1的標準傳動形式進行仿真，得到的包絡線簇如圖4所示。在設計時，增大柔輪的徑向變形系數(shù)，可以增加柔輪的嚙入深度，提高傳動機構(gòu)的承載能力[9]。調(diào)整徑向系數(shù)為1.2，得到的包絡線簇如圖5所示。

圖4 ω*為1的柔輪包絡線簇 圖5 ω*為1.2的柔輪包絡線簇

從圖5中可以看出，在這種傳動形式下，組成剛輪齒廓的線條數(shù)少于徑向變形系數(shù)為1時的線條數(shù)，即柔輪和剛輪的有效嚙合區(qū)間有所縮小。在嚙出的過程中，柔輪齒頂和剛輪包絡齒廓的齒頂之間距離明顯增大，存在跳齒的可能性。

減小徑向變形系數(shù)，會使得波發(fā)生器的形狀更貼近于圓形，可以增加傳動機構(gòu)的同時嚙合齒對數(shù)，補償傳動誤差。柔輪在波發(fā)生器的作用下，拉伸延展比較小，有利于提高柔輪的彎曲疲勞壽命，當徑向變形系數(shù)為0.8時的包絡線簇如圖6所示。

圖6 ω*為0.8的柔輪包絡線簇

仿真結(jié)果表明，柔輪的嚙入深度有所降低，有效嚙合區(qū)間明顯增大。在嚙出過程中，柔輪齒頂和剛輪包絡齒廓齒頂之間的距離過小，這就使得剛輪和柔輪之間的嚙合傳動過程容易發(fā)生干涉。

綜上所述，在設計剛輪共軛齒廓時，需要根據(jù)嚙入深度、重合度、有效嚙合區(qū)間和齒廓間隙等嚙合選擇合適的徑向變形系數(shù)。同時，為了避免跳齒和干涉現(xiàn)象，徑向變形系數(shù)的選擇范圍為0.8～1.2之間。

4 剛輪齒廓的擬合

在完成了包絡仿真后，需要對包絡所得的齒廓坐標進行曲線擬合，完成與柔輪配合的剛輪齒廓設計。首先要將所有的數(shù)據(jù)進行離散化，重新分割x軸，進行間隔取點。依次提取當前橫坐標位置的縱坐標最大值ymax，取這組坐標作為剛輪齒廓組成點，剛輪齒廓坐標點的提取結(jié)果如圖7所示。

提取全部齒廓坐標后，在MATLAB中進行數(shù)據(jù)處理，擬合出剛輪的齒廓。MATLAB中可以實現(xiàn)多項式擬合和加權(quán)擬合，多項式擬合是使用polyfit函數(shù)，通過最小二乘法實現(xiàn)曲線擬合的[10]。多項式擬合實現(xiàn)較為簡單，但是容易出現(xiàn)數(shù)據(jù)震蕩，因此選用加權(quán)擬合進行剛輪齒廓的曲線重構(gòu)。

加權(quán)擬合不要求通過每一個數(shù)據(jù)點，通過計算坐標點到擬合曲線的垂直距離方差，為每一個坐標點進行加權(quán)，得到最貼合數(shù)據(jù)整體走勢的平滑曲線。在MATLAB中進行加權(quán)擬合，得到的剛輪齒廓如圖8所示。

圖7 剛輪齒廓坐標點提取結(jié)果 圖8 剛輪齒廓擬合結(jié)果

剛輪齒廓擬合結(jié)果可以以樣條曲線的形式導入到Creo中，重構(gòu)出剛輪齒面。通過鏡像、陣列、實體化等處理后，能夠構(gòu)建出剛輪的三維模型，如圖9所示。

圖9 剛輪三維模型

在進行包絡仿真時使用的柔輪齒廓為雙圓弧齒廓，因此求得的剛輪共軛齒廓也屬于雙圓弧齒廓。與現(xiàn)有的參數(shù)化建模手段相比，包絡仿真求解共軛齒廓的方法不受柔輪齒廓形狀的限制，并且可以快速得到與給定柔輪配合的剛輪三維模型，在建立了CAD模型的基礎上，可以進行后續(xù)的CAE分析，研究傳動機構(gòu)嚙合的運動學和力學特性。

5 結(jié) 論

本文使用包絡法進行了諧波齒輪剛輪的設計，得到了以下結(jié)論：

(1)使用MATLAB進行編程和仿真，可以極大降低共軛齒廓求解的計算量，得到柔輪包絡線簇。設計方法不受齒廓形狀的限制，并且在設計階段考慮到了波發(fā)生器尺寸的影響，在求解與不同柔輪和波發(fā)生器配合的剛輪齒廓時具有靈活性。

(2)徑向變形系數(shù)對于剛輪的設計影響很大，徑向系數(shù)過小容易發(fā)生跳齒，反之容易出現(xiàn)嚙合齒面的干涉。為了避免跳齒和干涉現(xiàn)象的出現(xiàn)，在設計階段應保證徑向變形系數(shù)介于0.8～1.2之間。

(3)通過加權(quán)擬合，能夠生成平滑的剛輪齒廓曲線，進而重構(gòu)出剛輪齒面，可以用于后續(xù)研究。