遼寧省撫順市四方高級中學(113122) 孟慶杰

一、公式及其推導(dǎo)

公式1設(shè)函數(shù)f(x) = (ax + b)ex(a0)， 即則當a ＞0 時， 函數(shù)f(x) 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，為極小值點;當a ＜0 時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減為極大值點.

公式2設(shè)函數(shù)f(x) = (ax + b)e-x(a0)， 即則當a ＞0 時， 函數(shù)f(x) 在區(qū)間上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，為極大值點; 當a ＜0 時， 函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，為極小值點.

公式3設(shè)函數(shù)即f(x) = aex， 則(1) 當Δ =4a2+b2-4ac ≤0 時，若a ＞0，則函數(shù)f(x)在? 上單調(diào)遞增;若a ＜0，則函數(shù)f(x)在? 上單調(diào)遞減，此時函數(shù)f(x)無極值.(2)當Δ = 4a2+b2-4ac ＞0 時， 設(shè)x1= -1-和若a ＞0， 則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,x1)上單調(diào)遞增， 在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞增，x1為極大值點， x2為極小值點; 若a ＜0， 則函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-∞,x1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞減，x1為極小值點，x2為極大值點.

公式4設(shè)函數(shù)f(x) =(ax2+bx+c)e-x(a0)，即f(x) = a則(1) 當Δ =4a2+b2-4ac ≤0 時， 若a ＞0， 則函數(shù)f(x) 在? 上單調(diào)遞減; 若a ＜0，則函數(shù)f(x)在? 上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f(x) 無極值.(2) 當Δ = 4a2+b2-4ac ＞0 時， 設(shè)x1=若a ＞0， 則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,x1)上單調(diào)遞減， 在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞減，x1為極小值點， x2為極大值點; 若a ＜0， 則函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-∞,x1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞增，x1為極大值點，x2為極小值點.

公式5設(shè)函數(shù)且ax2+bx+c0)，即則(1)當Δ = 4a2+b2-4ac ≤0 時，若a ＞0，則函數(shù)f(x)在?上單調(diào)遞增;若a ＜0，則函數(shù)f(x)在? 上單調(diào)遞減，此時函數(shù)f(x)無極值.(2)當Δ = 4a2+b2-4ac ＞0 時，設(shè)x1=和若a ＞0， 則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,x1)上單調(diào)遞增， 在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞增，x1為極大值點， x2為極小值點; 若a ＜0， 則函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-∞,x1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞減，x1為極小值點，x2為極大值點.

證明公式1因為f(x) = (ax + b)ex(a0)， 則f′(x) = (ax+b+a)ex.令f′(x) = 0， 解得所以若a ＞ 0， 當時， f′(x) ＜ 0;當時， f′(x) ＞ 0.若a ＜ 0， 當時，f′(x)＞0;當時，f′(x)＜0，所以公式1 得證.

證明公式2因為f(x) = (ax + b)e-x(a0)， 則f′(x) = (a-b-ax)e-x.令f′(x) = 0， 解得所以若a ＞0， 當時， f′(x) ＞0; 當時， f′(x) ＜ 0.若a ＜ 0， 當x ∈時， f′(x) ＜0; 當時，f′(x)＞0，所以公式2 得證.

證明公式3因為f(x) =(ax2+bx+c)ex(a0)，則f′(x) =[ax2+(b+2a)x+b+c]ex.設(shè)判別式Δ =4a2+ b2- 4ac， (1) 當Δ = 4a2+ b2- 4ac ≤0 時， 若a ＞ 0， 則f′(x) ≥ 0; 若a ＜ 0， 則f′(x) ≤ 0.(2) 當Δ = 4a2+ b2- 4ac ＞0 時， 令f′(x) = 0， 解得x1=所以若a ＞0，當x ∈(-∞,x1)時，f′(x)＞0;當x ∈(x1,x2)時，f′(x) ＜0;當x ∈(x2,+∞)時，f′(x) ＞0.若a ＜0，當x ∈(-∞,x1)時，f′(x) ＜0;當x ∈(x1,x2)時，f′(x) ＞0;當x ∈(x2,+∞)時，f′(x)＜0，所以公式3 得證.

證明公式4因為f(x) =(ax2+bx+c)e-x(a0)，則f′(x) =[-ax2+(2a-b)x+b-c]e-x.設(shè)判別式Δ = 4a2+ b2- 4ac， (1) 當Δ = 4a2+ b2- 4ac ≤ 0時， 若a ＞ 0， 則f′(x) ≤ 0; 若a ＜ 0， 則f′(x) ≥ 0.(2) 當Δ = 4a2+ b2- 4ac ＞0 時， 令f′(x) = 0， 解得所以若a ＞0，當x ∈(-∞,x1)時，f′(x)＜0;當x ∈(x1,x2)時，f′(x) ＞0;當x ∈(x2,+∞)時，f′(x) ＜0.若a ＜0，當x ∈(-∞,x1)時，f′(x) ＞0;當x ∈(x1,x2)時，f′(x) ＜0;當x ∈(x2,+∞)時，f′(x)＞0，所以公式4 得證.

證明公式5因為且ax2+bx+c0)，則設(shè)Δ = 4a2+ b2- 4ac， (1) 當Δ = 4a2+ b2- 4ac ≤0時， 若a ＞ 0， 則f′(x) ≥ 0; 若a ＜ 0， 則f′(x) ≤ 0.(2) 當Δ = 4a2+ b2- 4ac ＞0 時， 令f′(x) = 0， 解得所以若a ＞0，當x ∈(-∞,x1)時，f′(x)＞0;當x ∈(x1,x2)時，f′(x) ＜0;當x ∈(x2,+∞)時，f′(x) ＞0.若a ＜0，當x ∈(-∞,x1)時，f′(x) ＜0;當x ∈(x1,x2)時，f′(x) ＞0;當x ∈(x2,+∞)時，f′(x)＜0，所以公式5 得證.

二、利用公式簡解高考題

1.利用公式1 簡解高考題

例1(2012年高考陜西卷理科)設(shè)函數(shù)f(x) = xex，則( )

A.x=1 為f(x)的極大值點

B.x=1 為f(x)的極小值點

C.x=-1 為f(x)的極大值點

D.x=-1 為f(x)的極小值點

解由公式1 易得，x=-1 為f(x)的極小值點，D 正確.

例2(2011年高考北京卷文科) 已知函數(shù)f(x) =(x-k)ex，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解由公式1 得，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,k-1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(k-1,+∞)上單調(diào)遞增.

2.利用公式2 簡解高考題

例3(2010年高考天津卷理科)已知函數(shù)f(x)=xe-x，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

解由公式2 得，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減;x=1 為極大值點，且極大值為

3.利用公式3 簡解高考題

例4(2017年高考課標卷II 文科) 設(shè)函數(shù)f(x) =(1-x2)ex，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解因為f(x)=(1-x2)ex=-(x2-1)ex，由公式3得，Δ = 8 ＞0，設(shè)和所以函數(shù)f(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞減，在(x1,x2)上單調(diào)遞增，在(x2+∞)上單調(diào)遞減.

例5(2009年高考遼寧卷文科) 設(shè)函數(shù)f(x) =(ax2+x+1)ex， 且曲線y = f(x) 在x = 1 處的切線與x 軸平行，求a 的值，并討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解由題意易求a=-1，所以

由公式3 得，Δ = 9 ＞0，設(shè)x1= -2 和x2= 1， 所以函數(shù)f(x) 在(-∞,-2) 上單調(diào)遞減， 在(-2,1) 上單調(diào)遞增， 在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

例6(2006年高考重慶卷理科) 已知函數(shù)f(x) =(x2+bx+c)ex， b,c ∈? 為常數(shù)， 若b2＞4(c - 1)， 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解因為b2＞4(c - 1)， f(x) =(x2+bx+c)ex=由公式3 得，Δ=b2-4(c-1)＞0， 設(shè)所以函數(shù)f(x) 在(-∞,x1) 上單調(diào)遞增，在(x1,x2)上單調(diào)遞減，在(x2,+∞)上單調(diào)遞增.

例7(2005年高考重慶卷理科)已知a ∈?，討論函數(shù)f(x)=(x2+ax+a+1)ex的極值點的個數(shù).

解因 為 f(x)=(x2+ax+a+1)ex=由公式3 得，Δ=a2-4a，當Δ ≤0 時，函數(shù)f(x)在? 單調(diào)遞增，無極值;當Δ ＞0 時，設(shè)和所以函數(shù)f(x)有兩個極值點即x1為極大值點，x2為極小值點.

例8(2018年高考北京卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex， 若函數(shù)f(x) 在x = 2 處取得極小值，求a 的取值范圍.

解因為在x = 2 處取得極小值，由公式3 得，Δ=(2a-1)2＞0，設(shè)和x2=2，當a ＞0 且即時，f(x)在x = 2 處取得極小值，所以所求a 的取值范圍為

例9(2017年高考課標卷II 理科) 若x = -2 是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點，則函數(shù)f(x)的極小值為( )

A.-1 B.-2e-3C.5e-3D.1

解因 為 f(x)=(x2+ax-1)ex-1=是函數(shù)f(x) 的極值點，由公式3 得，Δ ＞0，設(shè)和令x1= -2(或x2= -2)，解得a=-1，所以x1=-2 和x2=1，且x2為極小值點，所以所求極小值為f(1)=-1，A 正確.

例10(2009年高考天津卷理科) 已知函數(shù)f(x) =(x2+ax-2a2+3a)ex(x ∈?)，其中a ∈?，當時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

解因為由公式3 得，Δ=(3a-2)2＞0，設(shè)x1= -2a 和x2= a-2，所以當-2a ＞a-2 即時， 函數(shù)f(x)在(-∞,a-2)上單調(diào)遞增， 在(a-2,-2a)上單調(diào)遞減， 在(-2a,+∞) 上單調(diào)遞增， x = a - 2 為f(x) 的極大值點且極大值為f(a - 2) = (4 - 3a)ea-2，x=-2a 為f(x)的極小值點且極小值為f(-2a)=3ae-2a;當-2a ＜a - 2 即時， 函數(shù)f(x) 在(-∞,-2a)上單調(diào)遞增， 在(-2a,a-2) 上單調(diào)遞減， 在(a-2,+∞)上單調(diào)遞增， x = a - 2 為f(x) 的極小值點且極小值為f(a-2)=(4-3a)ea-2，x=-2a 為f(x)的極大值點且極大值為f(-2a)=3ae-2a.

例11(2005年高考全國卷II 理科) 已知a ≥0， 函數(shù)f(x) =(x2-2ax)ex，(1)當x 為何值時，f(x)取得最小值?證明你的結(jié)論;(2)設(shè)f(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù)，求a 的取值范圍.

解(1) 因 為 f(x)=(x2-2ax)ex=[(x-a)2-a2]ex， 由公式3 得， Δ = 4 + 4a2＞ 0， 設(shè)和所以函數(shù)f(x) 在(-∞,x1) 上單調(diào)遞增， 在(x1,x2) 上單調(diào)遞減， 在(x2+∞) 上單調(diào)遞增， x1為極大值點， x2為極小值點.又a ≥ 0， 所以x1＜ -1， x2≥ 0.當x ＜0 時， f(x) = x(x - 2a)ex＞0， 又f(0) = 0， 所以當時，f(x)取得最小值.(2)由(1)得，當x1≤-1 且x2≥1 時，f(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù)，解得為所求a 的取值范圍.

4.利用公式4 簡解高考題

例12(2013年高考課標卷II 文科) 已知函數(shù)f(x) =x2e-x，求函數(shù)f(x)的極小值和極大值.

解由公式4 得， Δ = 4 ＞0， 設(shè)x1= 0 和x2= 2， 所以x=0 為f(x)的極小值點且極小值為f(0)=0，x=2 為f(x)的極大值點且極大值為f(2)=4e-2.

例13(2008年高考重慶卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+ bx + c (a0)， 曲線y = f(x) 通過點(0,2a + 3)，且在點(-1,f(-1))處的切線垂直于y 軸，當bc 取得最小值時，求函數(shù)g(x)=-f(x)e-x的單調(diào)區(qū)間.

解由題意易求所以所以g(x) = -f(x)e-x=由公式4 得，Δ = 9 ＞0，設(shè)x1= -2和x2= 2， 所以函數(shù)g(x) 在(-∞,-2) 上單調(diào)遞減， 在(-2,2)上單調(diào)遞增，在(2,+∞)上單調(diào)遞減.

例14(2011年高考重慶卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =x3+ax2+bx+1 的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足f′(1)=2a，f′(2)=-b，其中常數(shù)a,b ∈?，設(shè)g(x)=f′(x)e-x，求函數(shù)g(x)的極值.

解由題意易求，所以f(x) =所以f′(x) = 3x2- 3x - 3， 所以g(x) = f′(x)e-x= 3由公式4 得，Δ = 81 ＞0，設(shè)x1= 0 和x2= 3，所以x = 0 為g(x)的極小值點且極小值為g(0) = -3，x = 3 為g(x)的極大值點且極大值為g(3)=15e-3.

例15(2006年高考湖北卷理科) 設(shè)x = 3 是函數(shù)f(x) =(x2+ax+b)e3-x(x ∈?)的一個極值點，求a 與b的關(guān)系(用a 表示b)，并求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解因為x = 3 是f(x) 的極值點， f(x) =由公式4 得，Δ ＞0，設(shè)和令x1= 3(或x2= 3)，解得b = -2a-3.將b 代入x1和x2得，x1= -1-a，x2= 3.當-1-a ＞3 即a ＜-4 時，函數(shù)f(x)在(-∞,3)上單調(diào)遞減，在(3,-1-a)上單調(diào)遞增，在(-1-a,+∞)上單調(diào)遞減; 當-1-a ＜3即a ＞-4 時， 函數(shù)f(x)在(-∞,-1-a)上單調(diào)遞減， 在(-1-a,3)上單調(diào)遞增，在(3,+∞)上單調(diào)遞減.

例16(2015年高考重慶卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =(3x2+ax)e-x(a ∈?)， 若f(x) 在[3,+∞) 上單調(diào)遞減，求a 的取值范圍.

解因為

由公式4 得，Δ=36+a2＞0，設(shè)

則函數(shù)f(x) 在(x2,+∞) 上單調(diào)遞減.又f(x) 在[3,+∞)上單調(diào)遞減，所以x2≤3，解得所以所求a 的取值范圍為

例17(2018年高考課標卷III 文科) 已知f(x) =(ax2+x-1)e-x，證明： 當a ≥1 時，f(x)+e ≥0.

證明因為a ≥1，由公式4 得，Δ = (2a+1)2＞0，設(shè)和x2= 2，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在(2,+∞)上單調(diào)遞減是f(x)的極小值點， 且極小值為又所以即又x ∈(2,+∞)時，f(x) ＞0，所以當a ≥1 時，f(x)+e ≥0.

5.利用公式5 簡解高考題

例18(2011年高考安徽卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =其中a 為正實數(shù)， (1) 當時， 求f(x) 的極值點;(2)若f(x)在? 上是單調(diào)函數(shù)，求a 的取值范圍.

解(1)因為所以

(2)因為f(x)在? 上是單調(diào)函數(shù)，由公式5 得，Δ ≤0 即4a2-4a ≤0，解得0 ≤a ≤1，又a 為正實數(shù)，所以所求a 的取值范圍為(0,1].

例19(2009年高考重慶卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+bx+k (k ＞0)在x = 0 處取極值，且曲線y = f(x)在點(1,f(1))處的切線垂直于直線x+2y+1 = 0，若函數(shù)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.

解由題意易求a=1，b=0，所以f(x)=x2+k，所以由公式5 得，Δ=4-4k，當Δ ≤0 即k ≥1時，函數(shù)g(x)在? 上單調(diào)遞增;當Δ ＞0 即0 ＜k ＜1 時，設(shè)和所以函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.