母小偉

[摘? ?要]在平時(shí)的備課中，教師預(yù)設(shè)了很多環(huán)節(jié)，但學(xué)生總會(huì)讓你“意外”驚喜.教師若能抓住機(jī)會(huì)，因勢利導(dǎo)，適時(shí)調(diào)整預(yù)案，運(yùn)用好生成的教學(xué)資源，就能讓課堂教學(xué)活起來.

[關(guān)鍵詞]借題發(fā)揮;數(shù)學(xué)課堂;教學(xué)資源

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）17-0013-03

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者.數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性思維;要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.在平時(shí)的備課中，教師會(huì)對(duì)課堂有不同的“預(yù)設(shè)”，在課堂中將“預(yù)設(shè)”轉(zhuǎn)化為實(shí)際的教學(xué)活動(dòng).在這個(gè)過程中，教師與學(xué)生的互動(dòng)往往會(huì)“生成”一些新的教學(xué)資源，而且這些“生成”的新的教學(xué)資源，有些是在意料之外的，這時(shí)候我們要及時(shí)抓住機(jī)會(huì)，因勢利導(dǎo)，適時(shí)調(diào)整預(yù)案，讓教學(xué)活動(dòng)收到更好的效果.

比如，在教學(xué)《等邊三角形》中“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”這一定理時(shí)，“預(yù)設(shè)”節(jié)外生枝，“生成”了以前教學(xué)中未曾出現(xiàn)的資源，于是我鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生共同探索，收到了意想不到的效果.現(xiàn)將當(dāng)時(shí)的教學(xué)過程整理成文，以期與同行交流.

一、教學(xué)過程

出示題目：如圖1，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°，求證：BC=[12]AB.

活動(dòng)一：學(xué)生獨(dú)立思考并完成證明過程，然后小組互相交流.

活動(dòng)二：學(xué)生分享思路，追問：①怎么想的？②為什么這樣想？

活動(dòng)三：①你是否還有別的證明方法呢？②你是如何想到的？③為什么這樣想？

活動(dòng)四：學(xué)生完善自己的證明過程，教師查看.

經(jīng)過前面的觀測、實(shí)驗(yàn)度量、猜測結(jié)論等，學(xué)生很容易得到如下解法：

解法1：如圖2，延長BC至點(diǎn)D，使得BC = CD，連接AD.因?yàn)椤螦CB= 90°，所以∠ACD =90°，因此∠ACB = ∠ACD，AC = AC，BC = CD，所以△ABC [≌]△ADC，AB = AD;因?yàn)椤螧 = 60°，所以△ABD是等邊三角形，則AB=BD=2BC，即BC = [12] AB.

思路分析：課本中的探究活動(dòng)“如圖3，將兩個(gè)含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？”根據(jù)這個(gè)探究活動(dòng)，學(xué)生很容易找到命題的證明方法，構(gòu)造等邊三角形ABD.

解法2：如圖4，截取CD=AD（或BD=BC或BD=CD），我們把這幾個(gè)歸為一類，詳細(xì)講解其中一種.因?yàn)锳D=CD，所以∠A=∠ACD=30°.根據(jù)“三角形的外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和”，有∠BDC=∠A+∠ACD=60°，所以△BCD是等邊三角形，則BD=BC=CD=AD，所以BC=[12]AB.

思路分析：學(xué)生說跟上一種解法一樣，這里是截長補(bǔ)短，截取CD=AD，要證明BC=[12]AB，只需要證明AD=BD或AD=BC即可.這也是我們平常教學(xué)作輔助線時(shí)較為常見的一種方法.由于在證明命題之前，學(xué)生就已經(jīng)有相類似的操作以及平時(shí)強(qiáng)調(diào)很多次的輔助線的作法，因此學(xué)生很容易就想到這種證明方法.

追問1：①是否還有別的證明方法呢？②你是如何想到的？③為什么這樣想？鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，很快學(xué)生就得出了下面的解法.

解法3：如圖5，作AC的垂直平分線交AB邊于點(diǎn)E，交AC邊于點(diǎn)D，連接EC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)容易得知AE=EC，所以∠A=∠ACE=30°.

根據(jù)“三角形的外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和”，有∠BEC =∠A+∠ ACE= 60°，故△BEC是等邊三角形，有BE = CE = BC = AE，所以BC = [12] AB.

解法4：如圖6，作AB邊的垂直平分線DE交AB、AC于點(diǎn)E、D，連接BD.

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AE= BE，AD = BD，所以∠A=∠ABD =30°，所以∠DBC =30°， BD=BD， ∠EBD=∠DBC=30°，∠DEB =∠C = 90°。故△BDE ≌△BDC， BC = BE， AE = BE =BC， BC = [12] AB.

解法5：如圖7，作BC邊的垂直平分線DE，交AB、BC于點(diǎn)E、D，所以BE=CE，△BEC為等邊三角形， BC=BE=CE，∠B=∠BEC=60°.

根據(jù)“三角形的外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和”，所以∠BEC=∠A+∠ACE=60°，∠A=∠ACE=30°，AE=CE， AE=CE=BE=BC， BC=[12]AB.

思路分析：利用軸對(duì)稱知識(shí)，作AC（AB、BC）邊的垂直平分線，這樣就構(gòu)造了一個(gè)等腰三角形和等邊三角形，這種解法與解法2有點(diǎn)類似.雖然在課中，學(xué)生沒能一下子想到這三種解法，當(dāng)?shù)贸銎渲幸环N解法后，學(xué)生通過類比就很容易得出其他兩種解法.這三種解法也是在意料之中，因?yàn)樽罱际窃趯W(xué)“軸對(duì)稱”知識(shí)，所以學(xué)生也比較容易想到.

追問2：①是否還有別的證明方法呢？②你是如何想到的？③為什么這樣想？

學(xué)生一時(shí)半會(huì)也沒有想出什么解法，而且我備課時(shí)也就預(yù)設(shè)了上述五種解法.我還是想看看學(xué)生能不能再有其他解法，于是說：“你們的師哥師姐可以提出七八種解法，你們才提出五種，我覺得你們比他們聰明，肯定還可以提更多的解法的.”這么一激勵(lì)，學(xué)生就開始互相討論，參與度很高，新提出的解法雖有與前面相重復(fù)的，但也有在我的“意料”之外的解法.現(xiàn)總結(jié)如下：

解法6：如圖8，過點(diǎn)A作AD∥BC，且AD=BC，因?yàn)锳D∥BC，所以∠DAC+∠ACB=180°，∠DAC=∠ACB=90°，AD=BC，AC=AC，所以△ABC≌△CDA，∠D=∠B=60°，∠ACD=∠BAC=30°.易得△ADE和△BEC為等邊三角形，根據(jù)AD=BC可得AD=AE=DE=BE=BC=CE，所以BC=[12]AB.

解法7：如圖9，作BD∥AC，且BD=AC，連接CD，因?yàn)锽D∥AC，所以∠DBC+∠ACB=180°，∠DBC=∠ACB=90°，BD=AC，BC=BC，所以△ABC ≌△DCB，∠DCB=∠ABC=60°，△EBC為等邊三角形，∠BEC=60°.

根據(jù)“三角形的外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和”可知∠BEC=∠A+∠ACE=60°，所以∠A=∠ACE=30°，AE=CE，所以AE=CE=BE=BC，故BC=[12]AB.

解法8：如圖10，過點(diǎn)A作AE∥BC，AE=AB，連接BE，過點(diǎn)E作ED⊥AB，交AB于D點(diǎn)，所以∠EAB = 60°，AB=AE，∠EDA=∠C=90°，∠EAB=∠ABC=60°，所以△ABC≌△EAD，AD=BC，△ABE是等邊三角形，所以AE=BE，ED⊥AB，AD=BD， AB=2AD，即BC=[12]AB.

思路分析：以上解法都是構(gòu)造一個(gè)三角形與△ABC全等，這樣題目中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)等邊三角形和一個(gè)等腰三角形，再通過等量轉(zhuǎn)化進(jìn)而求得結(jié)論.學(xué)生是通過類比的思想得到解法.解法一（截長補(bǔ)短法）是構(gòu)造一個(gè)全等三角形，所以改變解法一中的三角形的位置，進(jìn)而小心求證，這種類比的做法確實(shí)超出我的“意料”.

解法9：如圖11，延長CB至點(diǎn)D，使得CB=BD，連接AD，作CE∥AB，且CE=AB，連接BE、DE，因?yàn)镃E∥AB，所以∠ABC =∠ECB = 60°，BC = BC，所以△ABC ≌△ECB，∠ACB =∠EBC=90°，BE垂直平分CD， DE=EC，所以△DEC為等邊三角形， EC=CD=2BC，故BC=[12]AB.

思路分析：要證明BC=[12]AB，沒有什么模型適用于這道題，AB與CD在題目中沒有關(guān)系，所以我們要將AB與CD聯(lián)系上.

不改變線段AB的大小，而可以改變AB的位置，只有用平移、軸對(duì)稱等方法.這里選擇使用平移，因?yàn)閯偤每梢詷?gòu)成一個(gè)△DCE，而且△DCE正好是等邊三角形.

接下來就與解法1一樣了，實(shí)在是超出我的想象，不得不佩服學(xué)生的奇思妙想.

受到解法9的影響，學(xué)生又類比解法4、解法7，在圖形右側(cè)作了一個(gè)一模一樣的全等三角形.

解法10：如圖12，延長BC，在BC的延長線上作一個(gè)全等三角形△DCE，連接BD交AC于點(diǎn)E，根據(jù)這個(gè)圖形，學(xué)生無法證明結(jié)論.

追問學(xué)生：為什么這樣的圖形無法證明呢？學(xué)生回答：破壞了60°的角，無法構(gòu)造出一個(gè)等邊三角形或等腰三角形.

二、總結(jié)

通過對(duì)命題“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”的證明，產(chǎn)生了多種解法.學(xué)生反映最容易想到的是解法2和解法1，其次才是其他的解法，難易程度基本上與我們解法出現(xiàn)的順序一樣，沒有一下子就出現(xiàn)解法9、解法10.在解題過程中，教師立足于學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和最近發(fā)展區(qū)，符合學(xué)生的常規(guī)思維和認(rèn)知規(guī)律.解法9與解法10更像是為了作輔助線而作輔助線，難度較大，不容易想到，不太適合我們平時(shí)的解題訓(xùn)練.如果為了增加思維的深度與廣度，可以進(jìn)行這樣的研究探討.

在解題的過程中，教師更注重“為什么這么想”“如何想到”“失敗的原因是什么”等.在這個(gè)命題中，利用60°的角，作輔助線構(gòu)造等邊三角形和等腰三角形，這就充分利用“軸對(duì)稱、等腰三角形、等邊三角形”等知識(shí).解法10無法進(jìn)行的原因是破壞了60°角，無法構(gòu)造等邊三角形和等腰三角形.這里給我們啟示：在解題的過程中，遇到無法解答的題目，恰好題目中有60°或30°，可以構(gòu)造等邊三角形和等腰三角形來思考，同時(shí)輔助線的作用是努力促使已知與未知進(jìn)行轉(zhuǎn)化與溝通，通過構(gòu)造新的幾何圖形，再應(yīng)用新圖形的相關(guān)性質(zhì)解題.常用方法有構(gòu)造出線段和角，新的三角形，直角三角形，等腰三角形，等等.

三、反思

1.提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和課堂參與度

通過各種活動(dòng)和手段，提高學(xué)生的興趣，將枯燥的內(nèi)容變得豐富多彩，這樣學(xué)生的注意力就會(huì)集中在課堂上.只有注意力在課堂上，學(xué)生才能吸收數(shù)學(xué)知識(shí)，才能領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美.這樣學(xué)習(xí)才更有興趣和動(dòng)力.

2.將培養(yǎng)學(xué)生的推理能力融入平時(shí)教學(xué)中

初中數(shù)學(xué)的很多知識(shí)都是先合情推理然后再演繹推理.在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論.仔細(xì)審題，注重分析，善于轉(zhuǎn)化，總能找到解題的思路.許多數(shù)學(xué)問題表面上看難以求解，但如果我們創(chuàng)造性地應(yīng)用已知條件，有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)造出一種輔助問題及其數(shù)學(xué)形式，就能使問題在新的形式下獲得簡解，這就是解題中的“構(gòu)造”策略.構(gòu)造圖形、構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造反比例是常用的構(gòu)造方法.為了能成功地應(yīng)用構(gòu)造法，解題者必須成為一個(gè)“建筑師”，一方面應(yīng)當(dāng)記住手中的“建筑材料”，即已知條件提供的信息;另一方面，也不要忘記我們要建造的“建筑”，即符合命題要求的事物.

3.“放”是為了更好的“收”

在遇到一題多解或者開放性的題目時(shí)，我們可以適當(dāng)放開，讓學(xué)生盡情地沉浸在各種解法之中，這樣有助于提高學(xué)生的思維寬度和廣度.當(dāng)情況討論得差不多時(shí)，或者無法進(jìn)行下去時(shí)，我們就要收了，及時(shí)總結(jié)、反思，讓學(xué)生思考為什么要這樣想，我要怎樣才能想到.

4.合理利用生成性資源

在平時(shí)的備課中，我們預(yù)設(shè)了很多環(huán)節(jié)，但學(xué)生總會(huì)讓你“意外”驚喜.對(duì)于課堂的生成性資源，更是一個(gè)絕佳的機(jī)會(huì)，可先讓學(xué)生思考為什么這么想，你是怎么想到的，然后再告訴學(xué)生對(duì)錯(cuò)，并告訴學(xué)生“為什么對(duì)或?yàn)槭裁村e(cuò)”.對(duì)了，我們要如何才能想到;錯(cuò)了，我們要如何避免再犯錯(cuò).不僅要教會(huì)學(xué)生如何審題和尋找解題思路，還要教學(xué)生“怎樣想”，進(jìn)而讓學(xué)生學(xué)會(huì)“追根溯源”.

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，? 2012.

[2]? 劉華為.從教“怎樣做”到教“怎樣想”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（17）：26-28.

（責(zé)任編輯? ?黃桂堅(jiān)）