周樂實

【中圖分類號】G421 ??????【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）15-0298-01

聯想是由一個事物想到與之相關聯的另一個事物的心理過程。偉大的數學家牛頓說過，沒有大膽的聯想，就做不出偉大的發(fā)現?？梢?，教師應注意學生聯想能力的培養(yǎng)。筆者就基于學生發(fā)展的數學聯想能力的培養(yǎng)談幾點看法：

一、類比聯想，發(fā)展學生的發(fā)散思維

所謂類比聯想，就是根據兩種事物在某些特征上的相似，聯想到它們在其他特征上也可能相似的結論。數學問題中不乏“換湯不換藥”的類似問題，教師應引導學生運用所學的知識和技能，對同一問題的不同知識背景之間，或者是新舊問題之間因形式相似或內容相關而產生聯想，得到解題思路，從而使學生具備舉一反三、觸類旁通的能力，使其發(fā)散思維得到進一步的發(fā)展。

例1 如圖1，直線上有A、B、C、D四個點，由這四個點為端點共組成的線段有_______條。

教師分析講解例1后，出示以下兩道練習題，讓學生觀察，并與例1比較，最后發(fā)現三個問題屬類似問題，于是運用同樣的方法可求解。

如圖2，圓上有A、B、C、D四個點，每過兩點作直線，共有_______條直線。

如圖3，以O為端點的四條射線，這些射線組成_個角。

例2 ?已知實數x、y、z，滿足x=6-y，z2=xy-9，求證：x=y

分析：此題一般解法，將z看作參數，解方程組證。其實由已知得x+y=6，xy=z2+9，于是聯想到根與系數的關系，將x、y視為a2-6a+z2+9=0的兩根，有△=36-4（z2+9）=-4z2≥0，因-4z2為非正數，所以△=0，從而有x=y。

二、換位聯想，發(fā)展學生的創(chuàng)新思維

數學中很多問題都可以通過換位聯想來解決，它是一種辨證思維方式，指導學生從換位聯想的辨證法的高度來認識某些數學思想方法，有利于思維靈活性和嚴謹性的發(fā)展，提高數學素質，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

1.參數與主元的換位聯想。

參數的角色較特殊，它一方面可視為常量，另一面又有變量的身份，將參數與主元換位，常?？梢院喕瘑栴}的解決。

例3 ?解方程x4-10x3-2（a-11）x2+2（5a-6）x+2a+a2=0

分析：這是關于x的4次方程，系數中含參數a，而a的最高次為2次，于是反客為主，將x視為參數，轉化為a的二次方程：a2-2（x2-5x-1）a+（x4-10x3+22x2-12x）=0，解得a=x2-6x或a=x2-4x-2，再解關于x的二次方程，得x1=3+〖KF（〗a+9〖KF）〗，x2=3-〖KF（〗a+9〖KF）〗，x3=2+〖KF（〗a+6〖KF）〗，x4=2-〖KF（〗a+6〖KF）〗。

2.動靜換位聯想。

從函數的角度看，相當于變量與常量的換位，動與靜是相對的，同一對象根據需要隨時靈活選擇和變換其角色。

例4 ?如圖4在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P為AD上的動點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，PE+PF的值為（ ??）。

解：視A點為動點P運動過程中的一個點，則PE=0，PF變?yōu)镽t△BAD斜邊上的高。（視動為靜）∵AB=3，AD=4∴BD=〖KF（〗32+42〖KF）〗∴斜邊上的高為3×4〖〗5=12〖〗5即為所求

〖XC77.JPG;%35%35〗

3.問題的正、反面換位聯想。

有些問題從正面思考較為困難，若聯想反面去分析研究，則往往可獲得簡捷解法。

例5 ?已知關于x的二次方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0中至少有一個不同實根，試求a、b、c應滿足的條件。

解：問題正面情況較復雜，但問題反面是“三個方程都沒有不同實根”，就比較簡單。

〖JB（{〗△1≤0△2≤0△3≤0〖JB）〗

可得〖JB（{〗b2-ac≤0（1）c2-ab≤0（2）a2-bc≤0（3） 〖JB）〗

（1）+（2）+（3），得a2+b2+c2-ab-bc-ac≤0

∴（ a-b）2+（b-c）2+（a-c）2≤0，由非負數性知（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2≥0∴a=b=c，又因三個方程均為關于x的二次方程，∴abc≠0，∴a、b、c為不都相等的非零實數，題設成立。

三、數形聯想，發(fā)展學生的形象思維

俗話說：“數離形時少直觀，形離數時難入微”。因此，在數學教學中要引導學生深入地觀察、聯想、由形思數、由數輔形。借助圖形特征的啟示誘發(fā)直覺，對培養(yǎng)學生形象思維的敏捷性、準確性大有裨益。而且許多代數問題，若根據題設條件和問題的結構特征，構造適當的幾何圖形，利用數與形之間的聯想，往往比純代數手段更直觀，更新穎，更簡捷。

例6 ?設m、n、p為正實數，且m2+n2-p2=0，求p〖〗m+n的最小值。

解：根據提設和勾股定理構造如圖5所示的直角梯形ABCD，由圖形易知，BC≤AD，即m+n≤2p，當m=n時，直角梯形變?yōu)榫匦?，即BC=AD成立，所以p〖〗m+n的最小值為〖KF（〗2〖KF）〗〖〗2。

例7 已知x、y、z均為正數，且x2+y2=z2，z=〖KF（〗x2-r2〖KF）〗=x2，求證：xy=rz

分析：此題中的題設x2+y2=z2與勾股定理結論相同，故可構造直角邊為x、y，斜邊為z的直角三角形。如圖6，作CD⊥AB于D，由題設及射影定理知cd=r，所以S△ABC=1〖〗2xy=1〖〗2rz，所以xy=rz。

四、關系聯想，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維

在數學知識體系中，各章節(jié)之間存在著緊密的內在聯系，當我們遇到棘手的問題時，不妨對問題所涉及的知識加以梳理，順著知識的內在聯系進行關系聯想，換一個角度去看問題，往往會有新的發(fā)現。這樣，在分析解決問題的過程中，學生的創(chuàng)造性思維得到充分地發(fā)展。

例8 如圖7，在等腰△ABC中，AB=AC，頂角∠A=20°，在AB邊上取一點D，使AD=BC，求∠BDC的度數。

分析：由條件可知三角形底角為800，200與800均不是特殊角，但它們差為60°，60°使我們聯想到等邊三角形，由此找到問題的突破口。

解：以BC為邊長在△ABC內作等邊三角形BCO，連接AO，由圖形的軸對稱可知△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO=10°，∠ABO=∠ACO=∠A=20°，∠AOB=∠AOC=150°，又∵OC=BC=AD∴△ACD≌△ACO，∴∠ADC=150°，∴∠BDC=30°

〖XC78.JPG;%35%35〗

例9 ?不超過（〖KF（〗7〖KF）〗+〖KF（〗5〖KF）〗）6的值的最大整數是________。

分析：直接展開，計算復雜，聯想到（〖KF（〗7〖KF）〗+〖KF（〗5〖KF）〗）與它的有理化因式（〖KF（〗7〖KF）〗-〖KF（〗5〖KF）〗）的和與積均為單項式，故構造一個與之對應的數式，然后一起參與運算，從而問題得以解決。

解：令a=〖KF（〗7〖KF）〗+〖KF（〗5〖KF）〗，b=〖KF（〗7〖KF）〗-〖KF（〗5〖KF）〗，則a+b=2〖KF（〗7〖KF）〗，a·b=2，∴a6+b6=（a3+b3）2-2（ab）3=〔（a+b）3-3ab（a+b）〕2-3（ab）3=13536，∵0

五、轉換聯想，發(fā)展學生的逆向思維

思維活動離不開轉換，數學解題過程實質上是一種轉換過程，一個從未知向已知的轉換過程。正如匈牙利數學家路莎·彼得所說：“數學家們解題往往不是對問題進行正面攻擊，而是將它不斷變形，把它變?yōu)槟軌虻玫浇鉀Q的問題。”因此解題時，引導學生展開豐富的聯想，恰到好處地引入轉換機制，不僅能順利解決數學問題，而且能培養(yǎng)學生的逆向思維能力。

例10 ?已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，且∠A=2∠C，求證：b2=c（a+c）。

聯想1：由b2=c（a+c），聯想到b/c=a+c/b，于是可把b、c、（a+c）變?yōu)橐詁為公共邊的兩個相似三角形的對應邊，從而利用“相似三角形對應邊成比例”得證。

聯想2：由b2=c（a+c）聯想到b·b=c·（a+c），于是將b、b、c、（a+c）視為圓內相交兩弦分成的四線段，可通過相交弦定理得證。

例11 ?Rt△BCF的斜邊BC為直徑作⊙O，A為BF上一點，且AB=AF，AD⊥BC，垂足為D，過A作AE∥BF交CB延長線于E，求證：（1）AE是⊙O的切線（2）BD〖〗CD =BE〖〗EC（3）若⊙O直徑為d，則1〖〗CD +1〖〗EC=2〖〗d。

解：（1）（2）易證，結論（3）可轉化為證1〖〗CD +1〖〗EC-2〖〗d =0，即（1〖〗CD-1〖〗d）-（1〖〗d 1〖〗EC-）=0，而（1〖〗CD -1〖〗d）-（1〖〗d-1〖〗EC））=d-CD〖〗d·CD-EC-d〖〗d·EC=BD〖〗d·CD -BE〖〗d·EC =BD·EC-BE·CD〖〗d·CD·EC。由（2）知BD· EC= BE·CD，所以得證。

總之，在數學教學過程中，教師應善于鼓勵和引導學生對數學問題所涉及的知識進行多角度的聯想，探尋新穎而獨特的解決問題的方法，不斷摸索，總結規(guī)律。在“山窮水盡疑無路”時，往往會“柳暗花明又一村”，從而達到培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神，促進學生發(fā)展的目的。

參考文獻

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