●何偉軍

(渭源縣第一中學(xué),甘肅 渭源 748200)

教材變化已經(jīng)有幾次了，但每次變化都保留了一些經(jīng)典例題，這些例題體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、典型性和可接受性，充分利用這些例題及一系列變式，不僅能幫助學(xué)生鞏固知識(shí)、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且還能培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，助推了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

圖1

例1 如圖1，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓上任意一點(diǎn)，求證:△PAC所確定的平面垂直于△PBC所在的平面.

(人教A版《數(shù)學(xué)(必修2)》第69頁(yè)例3)

證明詳見(jiàn)課本解答，此處略.

1 解密線(xiàn)面關(guān)系，固本溯源

例1只需證明BC⊥AC和BC⊥PA即可，要求學(xué)生掌握?qǐng)A內(nèi)接三角形的知識(shí)、面面垂直的判定定理以及證明面面垂直只需證明線(xiàn)面垂直的技能.以此為契機(jī)，以線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定為知識(shí)基礎(chǔ)，編擬一系列關(guān)于線(xiàn)面、面面位置關(guān)系的問(wèn)題，對(duì)改變學(xué)生的認(rèn)知方式能起到“一葉知秋”的作用；分析掌握其解法，突出知識(shí)主線(xiàn)，凸顯線(xiàn)面關(guān)系垂直的內(nèi)在邏輯和思想方法，知一類(lèi)而達(dá)全貌，能起到春分化雨、潤(rùn)物無(wú)聲的作用.不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為考查的知識(shí)點(diǎn)較為單一，簡(jiǎn)單“不足以應(yīng)對(duì)高考”.去掉底面圓的幾何圖形，在《九章算術(shù)》中將4個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)之為鱉臑，可以將鱉臑原封不動(dòng)嵌套在圓柱、圓臺(tái)、球和其他多面體中.教材基礎(chǔ)題是學(xué)科核心素養(yǎng)的載體，對(duì)發(fā)展學(xué)生推理論證和空間想象能力、對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和終生發(fā)展有著重要的作用.

2 編制選擇題，用好教材

教材是知識(shí)的載體，是施教者和受教育者共同的資源，也是命題者尋找“創(chuàng)新題”的引子.回歸教材，回歸課堂，用好教材，引導(dǎo)學(xué)生正確地分析出圖形中的基本元素及其相互關(guān)系，是培養(yǎng)空間想象能力的重要舉措，也真正發(fā)揮了教材的示范引領(lǐng)作用與育人功能.

圖2

例2 如圖2，已知直線(xiàn)PA垂直于以AB為直徑的圓(即⊙O)所在的平面，C為⊙O上異于點(diǎn)A,B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系中不正確的是

( )

A.PA⊥BCB.BC⊥平面PAC

C.AC⊥PBD.PC⊥BC

分析 選C，過(guò)程略.

評(píng)注 不難看出，此題是教材變式題，證明BC垂直平面PAC內(nèi)兩條相交直線(xiàn)是關(guān)鍵.

3 編制填空題，做好“試驗(yàn)田”

圖3

數(shù)學(xué)填空題是一種只要求寫(xiě)出結(jié)果、不要求寫(xiě)出解答過(guò)程的客觀性試題，是數(shù)學(xué)高考中3種?？碱}型之一，一般可分為：完形填空、多選填空、條件與結(jié)論開(kāi)放的填空題.

例3 如圖3，PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的順序號(hào)是______.

分析 因?yàn)锳E?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA，所以BC⊥平面PAC，從而AE⊥BC，故①正確.

因?yàn)锳E⊥PC，AE⊥BC，PB?平面PBC，所以AE⊥平面PBC，從而AE⊥PB.因?yàn)锳F⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，又EF?平面AEF，于是EF⊥PB，故②正確.

因?yàn)锳F⊥PB，若AF⊥BC，則AF⊥平面PBC，所以AF∥AE，與已知矛盾，故③錯(cuò)誤.

由①正確可知④正確.

綜上可知，真命題的順序號(hào)是①②④.

評(píng)注 本題源于教材，高于教材.反復(fù)在線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面垂直的概念、判定和性質(zhì)定理中來(lái)回穿梭、轉(zhuǎn)化，以期實(shí)現(xiàn)思辨甄別和推理論證.

填空題是數(shù)學(xué)高考命題改革的試驗(yàn)田，此類(lèi)題能較為全面地考查學(xué)生的空間想象能力和對(duì)立體幾何知識(shí)掌握的程度，創(chuàng)新型的填空題將會(huì)源源不斷涌現(xiàn).求解填空題的基本策略是要在“準(zhǔn)”“巧”“快”上下功夫.在備考時(shí)，我們既要回歸教材，變通教材，又要通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置，展現(xiàn)思維探究的過(guò)程，“多一點(diǎn)想的，少一點(diǎn)算的”，體現(xiàn)新課程研究型學(xué)習(xí)的理念.

4 擴(kuò)展成綜合題，歷練思維品質(zhì)

例4 如圖4，PA⊥平面ABC，點(diǎn)C在以AB為直徑⊙O的上，∠CBA=30°，PA=AB=2，點(diǎn)E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，且OM∥AC.

1)求證：平面MOE∥平面PAC；

2)求證：平面PAC⊥平面PCB；

3)設(shè)二面角M-BP-C的大小為θ，求cosθ的值.

(2013年遼寧省數(shù)學(xué)高考試題第18題改編)

分析 1)已知OM∥AC，關(guān)鍵是證明OE∥PA.

2)關(guān)鍵是證明BC⊥AC，PA⊥BC.

圖4 圖5

3)如圖5，以C為原點(diǎn)、CA所在直線(xiàn)為x軸、CB所在的直線(xiàn)為y軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.因?yàn)椤螩BA=30°，PA=AB=2,所以

延長(zhǎng)MO交CB于點(diǎn)D，因?yàn)镺M∥AC，所以

評(píng)注 第1)小題考查了面面平行的性質(zhì)；第2)小題基于例1～例3積累的“數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)”可容易解決；第3)小題求二面角的余弦值，可用向量法獲解.證明突出幾何法的邏輯推理論證以及空間幾何量的計(jì)算，強(qiáng)調(diào)向量法的運(yùn)用.

解決這類(lèi)問(wèn)題的核心是掌握平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以幾何直觀圖為載體，融入線(xiàn)面關(guān)系，不斷利用這些定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最終證得問(wèn)題.幾何法重在推理論證，向量法側(cè)重“以算代證”，求證的過(guò)程中要“四能一會(huì)”，即能根據(jù)條件作出正確的圖形，能根據(jù)圖形想象出直觀形象，能正確地分析出圖形中的基本元素及其相互關(guān)系，能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合，會(huì)運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地揭示問(wèn)題的本質(zhì)[1].

《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明》提出：要突出試題的能力立意，堅(jiān)持素質(zhì)教育導(dǎo)向.其中，邏輯推理是得到結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，而空間想象能力和圖形的轉(zhuǎn)化能力是邏輯推理的必然產(chǎn)物.通過(guò)論證、計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，通過(guò)挖掘教材題源功能，還可追問(wèn)“4)求三棱錐B-PBC的體積；5)求二面角A-BC-P的大小”等，一題多問(wèn)，一邊學(xué)一邊問(wèn)，培養(yǎng)學(xué)生孜孜不倦的學(xué)習(xí)品質(zhì).

5 編制交匯題，提升空間想象能力

5.1 與圓的交匯

圖6

例5 如圖6，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上異于A,B的點(diǎn)，PO垂直于⊙O所在的平面，且PO=OB=1.

1)若D為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，求證：AC⊥平面PDO；

2)求三棱錐P-ABC體積的最大值；

分析 1)關(guān)鍵是證明AC⊥DO，PO⊥AC.

3)在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°,從而

同理可得

于是

PB=PC=BC.

圖7

在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC′P，使之與平面ABP共面，如圖7所示.當(dāng)點(diǎn)O,E,C′共線(xiàn)時(shí)，CE+OE取得最小值.又因?yàn)镺P=OB,C′P=C′B，所以O(shè)C′垂直平分PB，即E是PB的中點(diǎn)，從而

評(píng)注 本題層層設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，既有“位置關(guān)系”的探究，又有“度”的考量.第1)小題根據(jù)例1的幾何模型知AC⊥BC，只需證明OD∥BC即可；第2)小題求VP-ABC的最大值，只需S△ABC最大，即點(diǎn)C到AB的距離最大;第3)小題在求CE+OE的最小值時(shí)，利用“化折為直”的方法解決.如絲如扣、步步為營(yíng)的分析成為培養(yǎng)“邏輯推理”的絕佳素材.

立體幾何與圓的交匯問(wèn)題，經(jīng)常利用“圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角”這一性質(zhì)，在解題中充分體現(xiàn)了“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算”基本方法的考查，如折疊問(wèn)題展現(xiàn)了立體幾何中平展與翻折的方法，實(shí)現(xiàn)了空間問(wèn)題平面化.

5.2 三視圖的交匯

例6 一個(gè)幾何體的三視圖如圖8所示，則該幾何體的外接球的表面積為

( )

圖8 圖9

分析 根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是底面為等腰直角三角形、高為2的三棱錐，如圖9所示，該三棱錐的外接球是對(duì)應(yīng)直三棱柱的外接球.

設(shè)外接球的半徑為R，因?yàn)榈酌媸堑妊苯侨切?，所以外接圓的半徑為1，從而R2=1+1=2，于是外接球的表面積是4πR2=8π，故選B.

評(píng)注 柱體的外接球問(wèn)題，其解題關(guān)鍵是能根據(jù)題意畫(huà)出直觀圖，并能在圖形中找到球心在多面體中的位置，找到球半徑或直徑與多面體相關(guān)元素之間的關(guān)系，結(jié)合原有多面體的特性求出球的半徑，然后再利用球的表面積和體積公式進(jìn)行正確計(jì)算.

以三視圖為教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)條件對(duì)圖形進(jìn)行還原，想象出直觀圖形，這樣的空間想象能力的培養(yǎng)不可忽視，而且是要長(zhǎng)期堅(jiān)持的，如此才能促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.

5.3 與三角函數(shù)的交匯

圖10

例7 如圖10,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上異于A,B的點(diǎn),直線(xiàn)PC⊥平面ABC,E,F分別是PA,PC的中點(diǎn).

1)記平面BEF與平面ABC的交線(xiàn)為l,試判斷直線(xiàn)l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明.

(2013年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

分析 1)直線(xiàn)l∥平面PAC，過(guò)程略.

圖11

2)方法1 (綜合法)如圖11，聯(lián)結(jié)BD，由第1)小題可知交線(xiàn)l即為直線(xiàn)BD，且l∥AC.因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以AC⊥BC，于是l⊥BC.

已知PC⊥平面ABC，而l?平面ABC，于是PC⊥l.而PC∩BC=C，故l⊥平面PBC.

聯(lián)結(jié)PQ,DF，因?yàn)镕是CP的中點(diǎn)，CP=2PF，所以DQ=PF，從而四邊形DQPF是平行四邊形，PQ∥FD.

聯(lián)結(jié)CD，因?yàn)镻C⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC內(nèi)的射影，故∠CDF=θ就是直線(xiàn)PQ與平面ABC所成的角.

又BD⊥平面PBC，即BD⊥BF，知∠BDF為銳角,故∠BDF為異面直線(xiàn)PQ與EF所成的角，即∠BDF=α，于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中，分別可得

從而

即

sinθ=sinαsinβ.

圖12

于是

取平面ABC的一個(gè)法向量為m=(0,0,1)，得

取n=(0,c,b)，則

從而

即

sinθ=sinαsinβ.

評(píng)注 第2)小題用幾何方法，聯(lián)結(jié)DF,很快就可以求證.用空間向量法求異面直線(xiàn)所成角、線(xiàn)面角、二面角的平面角，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象成向量(法向量)的夾角，進(jìn)而求解.

以教材的例題為引子，設(shè)計(jì)線(xiàn)面關(guān)系的判定題并加以證明，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯性，又將空間角融合在同一道題目之中，擴(kuò)容了知識(shí)點(diǎn)，突出了高考命題的重點(diǎn).

6 教學(xué)反思

6.1 回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)，充分依托和挖掘教材內(nèi)容

回歸教材，尋找高考“母題”，以“母題”為載體知識(shí)、方法基礎(chǔ)并不過(guò)時(shí).從淺層次去挖掘，學(xué)會(huì)有效觀察、感覺(jué)、聯(lián)想、對(duì)接、遷移和轉(zhuǎn)化，學(xué)會(huì)細(xì)研基礎(chǔ)題，獲得基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能和基本經(jīng)驗(yàn)，這樣的教學(xué)形成的解題通法并不過(guò)時(shí)，況且接近教材、符合學(xué)情的教學(xué)是深得民心的，尤其是對(duì)于文科考生.

6.2 基于教材的改造、改編的考題凸顯能力的高低

基于教材的變式題，以至于高考真題，都是教材演繹的新問(wèn)題.通過(guò)探究高考題目的生長(zhǎng)點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，載體有時(shí)發(fā)生變化，但最基本、最簡(jiǎn)單的空間圖形沒(méi)有變，如題源三棱錐是一個(gè)極其重要的立體幾何模型，模型中位置關(guān)系、度量關(guān)系沒(méi)變，可以嵌套于球體中，也可以嵌套于柱體中，而且解決問(wèn)題的思想方法沒(méi)有變，直擊數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)培養(yǎng).千變?nèi)f變，不離其宗.

6.3 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)

通過(guò)對(duì)題源嵌套、遷移、組合、擴(kuò)展等方法，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移能力和創(chuàng)新意識(shí)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題探究的解答，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和科學(xué)探索的精神.立體幾何的解答題常常采用“先證后建系”的方式構(gòu)建試題，它在發(fā)展幾何直觀能力和考查空間想象能力上是其他內(nèi)容不可替代的，邏輯推理能力考查必然是空間線(xiàn)面位置關(guān)系的證明和空間角的計(jì)算(文科多為幾何體的體積)，積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，為有效解題提供保障.在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察幾何體，提倡獨(dú)立思考，探索交流，提供方法，感悟知識(shí)本質(zhì)，達(dá)成共識(shí)，找規(guī)律，促轉(zhuǎn)化，落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù).