●劉鑫鈞 高 嬌

(灌南高級中學(xué)，江蘇 灌南 222500)

道生一，一生二，二生三，三生萬物.學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于領(lǐng)悟“道”，而要領(lǐng)悟“道”就需先得“一”，這個“一”應(yīng)該是簡單的、也是最本質(zhì)的.然而在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，學(xué)生往往被厚厚的書本、沉甸甸的試卷壓得喘不過氣來，教師不斷重復(fù)、拉網(wǎng)式的講題，只見厚的教學(xué)，卻未見教學(xué)的薄，使得學(xué)生只見“萬物”而未得一.

如何得“一”呢？這就需要忘“形”.而這之前需要經(jīng)歷3個過程，即展“形”、變“形”與析“形”，通過這3個過程對相關(guān)聯(lián)的或類似的概念、問題、認識等作橫向、縱向溝通，并力求在“越界而讀”上下足功夫，即將所學(xué)知識讀厚，接下來需要的就是讀薄，忘卻“外在的形”(即非本質(zhì)的屬性)，只有這樣心中才一片空明，才能吐故納新、忘卻形式、抽象本質(zhì)，乃為得其“一”.本文基于筆者的教學(xué)經(jīng)驗，從3個方面來闡述在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中如何忘“形”得“一”，實現(xiàn)教學(xué)的“厚”向教學(xué)的“薄”轉(zhuǎn)化.

1 忘“形”得“一”，領(lǐng)悟概念之間的聯(lián)系性

概念復(fù)習(xí)教學(xué)的一個重點就是讓學(xué)生認識到概念之間具有一定的聯(lián)系，而不是割裂地認識問題.在概念復(fù)習(xí)教學(xué)中，如何提高概念知識的聯(lián)系性呢？

1.1 展“形”——呈現(xiàn)概念的形式化語言

案例1 “函數(shù)單調(diào)性”概念的復(fù)習(xí)教學(xué).

符號語言的抽象性使得學(xué)生對概念理解存在一定的困難，因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)時需要加強學(xué)生對概念形式化定義的進一步理解，以函數(shù)單調(diào)性概念為例，在高三復(fù)習(xí)時可以讓學(xué)生回顧、表述概念的形式化定義.

問題1 什么是單調(diào)遞增函數(shù)？它是如何定義的？

生：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A，區(qū)間I?A.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1,x2，當(dāng)x1

1.2 變“形”——基于問題串追問概念的形式化語言

教師可以向?qū)W生依次提出以下4個問題，通過不斷變化定義的形式，讓學(xué)生真正感悟概念形式化定義的本質(zhì).

問題2 把“f(x1)f(x2)”，其他不變，函數(shù)還能稱之為單調(diào)增函數(shù)嗎？為什么？

問題3 把“f(x1)0”，其他不變，函數(shù)還能稱之為單調(diào)增函數(shù)嗎？為什么？

1.3 析“形”——探究不同形式語言的區(qū)別與聯(lián)系

上面這些形式各有不同，如何把握它們的聯(lián)系與區(qū)別，將學(xué)生對概念的本質(zhì)認識不斷引向深處呢？可以向?qū)W生追問以下5個問題.

問題6 單調(diào)性實質(zhì)上就是考查f(x2)-f(x1)與x2-x1之間的什么關(guān)系？

問題7 (x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0；當(dāng)x1x2時，都有f(x1)>f(x2),這3種形式的區(qū)別與聯(lián)系是什么？

問題9 若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))為函數(shù)y=f(x)圖像上的兩個點，那么函數(shù)f(x)在[x1,x2]上的平均變化率是什么？與單調(diào)性有什么關(guān)系？

問題10 “函數(shù)在區(qū)間A上的單調(diào)性”與其導(dǎo)數(shù)f′(x)有何關(guān)系呢？

1.4 得“一”——概括形式語言的本質(zhì)與聯(lián)系

2 忘“形”得“一”，掌握一類問題的普適性解法

高三解題教學(xué)貴在跳出題海，掌握基本的解題經(jīng)驗，使學(xué)生獲得一類試題的通法通性，不被試題“外在之形”所迷惑，于四面題海之中獲“試題之本意”，從紛繁復(fù)雜之中跳出來，游刃而有余.那么，在解題教學(xué)中如何忘“形”得“一”，才能讓學(xué)生掌握一類試題的普適性解法呢？

2.1 展“形”——表征圖形中元素位置形態(tài)

案例2 直線與圓的一類比例問題的解題教學(xué).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》強調(diào)：對學(xué)生“直觀想象”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，培養(yǎng)理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).因此，在解題教學(xué)中要鼓勵學(xué)生把試題中元素的位置、形態(tài)用圖形語言表示出來.從哪入手呢？波利亞指出：從最簡單的開始.

例1 過點P(-4,0)的直線l與⊙C:(x-1)2+y2=5相交于點A,B，若點A恰好是線段PB的中點，則直線l的方程為______.

圖1

該題的圖形表征大致如圖1所示.在表征的過程中認識到：只有當(dāng)直線l處于一個特定位置時，點A才可能恰好是線段PB的中點.在畫圖的過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫圖的順序有所不同，有的學(xué)生是先畫直線，后標注點A,B，即先產(chǎn)生直線，因此可以先假設(shè)直線斜率k，然后求點；有的學(xué)生先畫點，再聯(lián)結(jié)兩點所在直線，最后出現(xiàn)另一點，這樣就可以設(shè)點來做.利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，在圖形表征過程中實現(xiàn)了動態(tài)地理解問題.

2.2 變“形”——變換圖形中元素及位置關(guān)系

解題教學(xué)不僅要一題多解，更要善于多題一解，因此要善于對問題進行變式.顧泠沅等學(xué)者把變式教學(xué)分為概念性變式教學(xué)和過程性變式教學(xué)兩類.概念性變式教學(xué)突出對概念內(nèi)涵的理解，過程性變式教學(xué)突出對概念外延的應(yīng)用，注重知識之間的聯(lián)系和拓展，通過過程性變式教學(xué)，使數(shù)學(xué)教學(xué)有層次地遞進[1].利用過程性變式可以對一個初始問題進行變式，從而深化對這類問題的認識.

2.2.1 改變元素

變式1 (定點變動點)過點E(2,t)作直線l與⊙C:x2+y2=1交于點M,N，若點M恰好是線段NE的中點，則實數(shù)t的取值范圍是______.

變式2 (豎線變斜線)已知⊙C:(x-2)2+y2=1，點P在直線l:x+y+1=0上，若過點P存在直線m與⊙C交于點A,B，且點A為PB的中點，則點P橫坐標x0的取值范圍是______.

變式3 (定圓變動圓)已知△ABC的3個頂點A(-1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圓為⊙H．

1)略.

2)對于線段BH上的任意一點P，若在以C為圓心的圓上都存在兩個不同的點M,N，使得點M是線段PN的中點，求⊙C的半徑r的取值范圍.

圖2

2.2.2 變更條件

變式4 (中點變向量)如圖2，在平面直角坐標系xOy中，已知⊙M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2，4).

1)，2)略.

變式5 (直線變動圓，中點變比例)在平面直角坐標系xOy中，⊙C1：(x+1)2+(y-6)2=25，⊙C2：(x-17)2+(y-30)2=r2．若⊙C2上存在一點P，使得過點P可作一條射線與⊙C1依次交于點A,B，滿足PA=2AB，則半徑r的取值范圍是______.

2.3 析“形”——整合相關(guān)圖形

圖3

例1及5個變式的圖形表征如圖3所示，下面需要整合這6個圖形，即把一些零散的東西通過某種方式而彼此銜接，其主要的精髓在于將零散的要素組合在一起,并最終形成有價值、有效率的整體.

首先，可以看出從例1到變式1是定點變動點，變式2中的直線可以是橫線(x軸)、豎線或斜線，其中線段比例關(guān)系為1∶1，圓始終是定圓.因此，這3個圖形可以整合為下列一個基本的模型.

模型1 過直線l上一點P作一條直線，交定圓于點A,B，其中PA∶AB=1∶1.

2.4 得“一”——對模型本質(zhì)的概括與普適性解法的提煉

在高三的解題教學(xué)之中，如果就題講題，那么教師、學(xué)生都將陷于題海之中而不能自拔，如何得其“一”，而忘其形呢？關(guān)鍵的一步就是要對題型、解法歸一.

2.4.1 題型的概括抽象

2.4.2 解法的提煉與統(tǒng)一

通過以上分析發(fā)現(xiàn)這6道題本質(zhì)上是一類題型，因此，在教學(xué)的過程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握這一類題型普適性的解法，而不是一題一題進行講解.為便于具體說明，這里以曲線C是直線或圓、C1是⊙H:(x-a)2+(y-b)2=r2為例.

利用點B在⊙H上，得方程

整理變形,得

(1)

然后利用點A在⊙H上，獲得方程

(x1-a)2+(y1-b)2=r2.

(2)

3 忘“形”得“一”，促進對問題的深刻性理解

數(shù)學(xué)教學(xué)重在培養(yǎng)學(xué)生的思維，而思維的水平又有高低之分.在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,要善于引導(dǎo)學(xué)生對問題進行深刻理解.深刻性指思維活動的抽象性和邏輯推理水平，表現(xiàn)為能深刻分析、理解問題，善于抓住事物的本質(zhì)和規(guī)律.具體表現(xiàn)在3個維度：寬度、深度和完整度.那么，在解題教學(xué)中如何忘“形”得“一”，才能讓學(xué)生對問題有深刻性的理解呢？

3.1 展“形”——了解運用的寬度

案例3 運用韋達定理求直線與橢圓交點坐標.

直線與橢圓的位置關(guān)系有3類：相離、相切、相交.當(dāng)直線與橢圓相交時，如何求直線與橢圓的交點坐標呢？理論上直接聯(lián)立直線方程與橢圓方程,得方程組

消去x(或y)得到關(guān)于y(或x)的方程，解這個方程即可.如果知道一個交點的坐標，利用韋達定理和或積的形式會更加簡便，因此，運用韋達定理求直線與橢圓的交點問題主要是針對直線與橢圓相交、且已知其中一點坐標這一類模型.用圖形表征如圖4所示.

圖4 圖5

3.2 變“形”——擴寬運用的深度

2)若x0=0，求橢圓的離心率；

(2015年江蘇省南通市第二次模擬試題第18題)

分析 由于點P(x0,y0)滿足PA⊥PF,從而

化簡,得

(3)

因為點P(x0,y0)在橢圓上，所以

(4)

聯(lián)立式(3)和式(4)，得

(5)

于是

因此

圖6 圖7

分析 例3中求點P的橫坐標與例2的解法是一致的，同樣可得到關(guān)于xP的一個一元二次方程，然后要看出a是方程的根.利用韋達定理求出xP，最后利用xP∈(-a,a)求出離心率的范圍.

通過對圖5和圖6分析發(fā)現(xiàn)，韋達定理適用于這樣一類模型，這一類模型具有更一般的特征:如果動點P與定點A(a,b)在橢圓上，Q(m,0)，其中m為常數(shù)，且PA⊥QA，如圖7所示.

圖8

1)求橢圓C的方程.

2)是否存在常數(shù)λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

2)判斷常數(shù)λ是否存在的關(guān)鍵是求出k1，k2，因此問題的關(guān)鍵在于如何求解k1(求解k2同理可得)，即點A1，B1的坐標如何求解，但點A1，B1都是動點，不屬于前兩類模型，怎么辦？受圖4的啟發(fā)，可以先設(shè)A(x0,y0)，暫時把x0看成常數(shù)，首先求出直線AM的方程

因為該方程有兩個根x0,xA1，所以

化簡得

則

同理可得

下略.

3.3 析“形”——建構(gòu)定理運用的完備性認識

對圖4～8進行分析可知：運用韋達定理求直線與橢圓交點具有廣泛性，其中圖7所代表的題型是對圖5與圖6所代表的題型的一般性概括.這些圖形大致可以分為3類：第一類如圖4所示，過橢圓上一定點作直線l交橢圓于另一點，求另一點坐標；第二類如圖7所示，已知橢圓上動點P與定點A(a,b)，定點Q(m,0)不在橢圓上，且PA⊥QA，求動點P坐標；第三類如圖8所示，已知橢圓上雙動點，求動點坐標.

3.4 得“一”——掌握定理運用的本質(zhì)

通過前面的展“形”、變“形”、析“形”，對運用韋達定理求直線交點這一問題有比較深入的認識.試題的形式千變?nèi)f化，因此需忘卻形式，獲得本質(zhì)的認識，才能靈活地運用韋達定理去解題.雖然形式上有3類題型，但是本質(zhì)上就一種，就是最后獲得關(guān)于坐標的一元二次方程

(6)

4 結(jié)束語

展“形”只是第一境界：見山是山，見招是招.變“形”是第二境界：見山不是山，見招不是招，學(xué)生經(jīng)過展“形”、變“形”，即不斷讀厚的過程，之后會發(fā)現(xiàn)，到處都是山到處都是招.下面就需要一個讀薄的過程，這就需要析“形”與忘“形”，忘就是為了記，忘卻形式，記住本質(zhì)，方能得“一”.最后進入學(xué)習(xí)的第三境界：見畫還是畫，見招還是招，道法自然，一切從心.