●郭源源

(金陵中學(xué)西善分校,江蘇 南京 210005)

在數(shù)學(xué)中，當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究時，就要根據(jù)對象本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將研究對象分為不同種類，然后逐一研究，匯總結(jié)論，這種解決問題的方法稱為分類討論[1]．分類討論思想的運用，往往能使復(fù)雜問題條理化、繁瑣問題簡單化，是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴謹性和縝密性的關(guān)鍵，同時也是提升學(xué)生問題探究能力的重要方式．在初中數(shù)學(xué)中，分類討論占有很高的地位，它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種常見的數(shù)學(xué)邏輯方法．

幾何中等腰三角形的分類，因其圖形的直觀性和其邊角特征的常用性，成為了經(jīng)典分類問題，也是歷屆中考的熱點問題之一．其中固定兩個頂點的等腰三角形分類問題通過以兩個頂點為圓心、線段長為半徑分別作圓，并連出垂直平分線，從而利用3個軌跡即可有條理地解決這種分類問題，即“兩圓一線法”.但固定一個頂點的等腰三角形分類問題，無法用這種方法解決，需要學(xué)生具有較強的分類意識和讀圖構(gòu)圖能力，筆者結(jié)合自己在教學(xué)中的實踐所得，以近些年的中考題和其變式為例，談?wù)勥@類問題的解法策略，與同仁交流、分享．

1 以“頂角頂點”和“腰的位置”分類

例1 在一張長為7、寬為5的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為4的等腰三角形(要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上)，則剪下的等腰三角形的面積為______．

(2015年內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市數(shù)學(xué)中考試題第16題)

分析 本題對于剪下的等腰三角形，不明確的點有兩處：其一是與矩形頂點重合的是等腰三角形的頂角頂點還是底角頂點，因此需要分類討論，分類標準可以按頂角頂點來分;其二是長為4的腰具體位置并不清楚，需要根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)分析可能的位置，因此也需要分類．故本題用二級分類可有條理、不重不漏地解決．

解 1)當重合頂點A為等腰三角形的頂角頂點時，等腰三角形的構(gòu)法如圖1所示，則

圖1 圖2 圖3

2)當重合頂點A為等腰三角形的底角頂點時，因為4小于矩形的兩條邊長，所以一條腰只能在矩形的邊上，可分為邊AD和邊AB兩類：

①長為4的腰在邊AD上，構(gòu)法如圖2所示，則

②長為4的腰在邊AB上，構(gòu)法如圖3所示，則

例2 在一張長為16、寬為8的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為9的等腰三角形(要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上)，則這樣不同形狀的等腰三角形有______種．

分析 本題基于例1的分類標準，將腰長改為9，因為腰長介于矩形的長和寬之間，所以矩形重合頂點的這條腰的位置可能在邊上也可能在矩形內(nèi)部，這樣畫出的等腰三角形就會更多.故更加合理的分類標準是有條不紊地畫出所有圖形．

圖4 圖5 圖6

解 1)當重合頂點A為等腰三角形的頂角頂點時，等腰三角形構(gòu)法如圖4所示，△AEF為所求.

2)當重合頂點A為等腰三角形的底角頂點時，因為9介于矩形的長和寬之間，所以AE這條腰可能在矩形的邊上，也可能矩形的內(nèi)部：①若腰AE在邊AD上，等腰三角形構(gòu)法如圖5所示，則△AEF,△AEF′,△AEF″為所求；②若腰AE在矩形內(nèi)部，等腰三角形構(gòu)法如圖6所示，則△AEF,△AEF′為所求．

綜上所述，畫出的等腰三角形有6種，形狀不同的有4種．

點評 等腰三角形的分類是老生常談的話題，但等腰的二級分類一直是學(xué)生解題中的難點.此類題型注重思想方法的掌握，突出考查學(xué)生的思維水平、想象和推理能力、數(shù)據(jù)分析能力．因涉及的結(jié)果較多，圖形的構(gòu)法較活，且基于不同經(jīng)驗下學(xué)生的分類標準可能不同，這就造成了此類題解法過程混亂、沒有條理，最終容易出現(xiàn)漏解或重解的情況．筆者認為解決此類題，切不可一上來就陷入一個個具體圖形中，不要急于關(guān)注結(jié)果有幾個，而應(yīng)從大局出發(fā)思考結(jié)果有幾類，明確分類標準，再分而治之．

2 以“頂角頂點”和“腰底大小”分類

例3 在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形(要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標注數(shù)字3).

(2015年江蘇省南京市數(shù)學(xué)中考試題第25題)

圖7

分析 本題的等腰三角形，不明確的點仍有兩處：其一，頂點A是等腰三角形的頂角頂點還是底角頂點？其二，長為3的邊是等腰三角形的腰還是底？基于這樣的條件分析，確定分類策略是以“頂角頂點”和“腰底大小”為標準的二級分類，如圖7所示．

解 1)當A為等腰三角形頂角的頂點時：

①若3為腰，小于正方形邊長4，故長為3的腰只能在正方形邊上，如圖8所示；

②若3為底，由正方形的對稱性，知3為底的圖有兩種，如圖9所示．

2)當A為等腰三角形底角的頂點時：

①若3為腰，小于正方形邊長4，故AE這條腰只能在正方形的邊上，如圖10所示；

②若3為底，由數(shù)據(jù)分析知AE這條底只能在正方形的邊上，如圖11所示．

綜上所述，畫出大小不同的等腰三角形有5種．

圖8 圖9 圖10 圖11

例4 在邊長為4的正方形ABCD中，以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為4.1的所有大小不同的等腰三角形有______種．

分析 本題在延續(xù)上述二級分類標準的前提下，將等腰三角形的邊長改為4.1，因其大于正方形的邊長，故長為4.1的邊不管為底還是為腰，都必須在正方形的內(nèi)部，這樣就會有更多的結(jié)果，分類構(gòu)圖如圖12～圖15所示，共畫出7種大小不同的等腰三角形．

圖12 圖13 圖14 圖15

點評 在明確分類標準、依序分而治之的策略下，解題過程呈現(xiàn)條理化和層次化，從而突顯出思維的結(jié)構(gòu)框架．這種方法的滲透，不僅僅是在教學(xué)生如何解題，更重要的是教會學(xué)生如何思考．此題在掌握了分類策略后還可以繼續(xù)往下研究，所給邊長在什么范圍內(nèi)等腰三角形有5種？什么范圍內(nèi)有6種？結(jié)果可能有8種嗎？等等．

3 以“腰底大小”和“腰底位置”分類

例5 在邊長為8的等邊△ABC中，以A為一個底角頂點，另外兩個頂點在等邊△ABC的邊上，且含邊長為7的所有大小不同的等腰三角形有______種．

圖16

解 1)當7為腰時：①若腰AE在邊上，則等腰三角形構(gòu)法如圖17所示，△AEF,△AEF′為所求；②若腰AE在形內(nèi)，如圖18所示，無法構(gòu)出符合要求的圖．

2)當7為底時：①若底AE在邊上，則等腰三角形的構(gòu)法如圖19所示，△AEF為所求；②若底AE在形內(nèi)，則等腰三角形構(gòu)法如圖20所示，△AEF,△AEF′為所求．

綜上所述，畫出的等腰三角形有5種，大小不同的有4種．

點評 本題將基本的載體圖形由正方形變成了等邊三角形，因圖形性質(zhì)的不同，就會造成所給數(shù)據(jù)邊的位置分析不同．當AE的長介于等邊三角形的高和邊長之間，會有兩種可能位置.針對這一現(xiàn)象，還可以將本題中的A為一個底角頂點改編為A為一個頂角頂點，那么結(jié)果就更多了.但不管怎么變，此類題的解題策略始終是先高位思考，明確分類的標準，再依序分而治之，化整為零，各個擊破，最后匯總歸納．這種化繁為簡的思維恰恰是數(shù)學(xué)的魅力所在．

綜上，固定一個端點的等腰三角形分類構(gòu)圖問題看似雖小，沒有繁瑣的計算和復(fù)雜的推理，但其實質(zhì)卻蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識和思想方法，整個過程涉及到分類策略的運用、數(shù)據(jù)條件的分析、圖形位置的推理、識圖構(gòu)圖的方法等，思維含量很高，對提升學(xué)生思維的嚴謹性和全面性有很大的幫助．

學(xué)生分類思想的形成，不僅來源于教師教學(xué)時的方法滲透，還來源于學(xué)生解題時的回顧反思.一種思想方法的掌握絕不是一朝一夕的事，而是平時教學(xué)和解題中不斷沉淀、逐步完善的一個漫長過程．根據(jù)幾輪教學(xué)的實踐，筆者認為對于初中學(xué)生分類思想的培養(yǎng)大致需經(jīng)歷以下4個層次：

1)培養(yǎng)學(xué)生的分類意識．很多分類討論的題目，學(xué)生的錯誤不是因為解錯，而是因為漏解，壓根就沒想到還有別的情形．故解題教學(xué)時要緊抓審題環(huán)節(jié)，并不是解完題再想有無別的可能，而是審題中對“模糊條件”和“分類信號詞”的捕捉，讓學(xué)生在審題環(huán)節(jié)就能意識到這是一道分類題.

2)引導(dǎo)學(xué)生制定分類的標準．意識到分類就不會漏解了嗎？如本文中的分類，若沒有清晰的分類標準，解全答案并非易事，因此一個合理的分類標準至關(guān)重要．教學(xué)時，最合理的分類標準不是教師直接告知的，而是學(xué)生由各種標準之間對比產(chǎn)生的.基于學(xué)生理解，思路最清晰，結(jié)構(gòu)最簡單，就是好標準.

3)指引學(xué)生破解各類情形．通過分類標準，將一道題分解成具有并列關(guān)系的幾個子問題，然后依序分而治之．這類子問題的解法，往往方法和思路如出一轍，只要學(xué)生解題有序，會解一個，就能通解一類.

4)帶領(lǐng)學(xué)生回顧分類的過程．波利亞解題四步驟中最后一個步驟是回顧反思，它是提煉方法和感悟思想最好的時機．沒有經(jīng)歷回顧反思的題只是一道題而已，有了回顧反思“一道”就能變成“一類”，解題就能從“無限”的題走向“有限”的思想方法[2]．

最后，分類討論作為一種重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，它的滲透和運用需要一定的意識習慣和經(jīng)驗積累，而意識和經(jīng)驗的積累都必須在解題實踐中獲得，只有在實踐中錘煉的思想方法才是學(xué)生真正能留得住、帶得走的數(shù)學(xué)財富．