●張 瑋

(學軍中學,浙江 杭州 310012)

2019年1月浙江省普通高中數(shù)學學業(yè)水平考試(下面簡稱學考)，其中有一些題目很有意思，選擇題的最后一題引起了筆者的興趣.

圖1

例1 如圖1，線段AB是圓的直徑，圓內(nèi)一條動弦CD與AB交于點M，且MB=2AM=2，現(xiàn)將平面ACB沿直徑AB翻折，則三棱錐C-ABD體積的最大值為

( )

(2019年1月浙江省普通高中數(shù)學學業(yè)水平考試第18題)

解 先固定CD，由于翻折后三棱錐的底面積是確定的，故只需求高h的最大值即可，即點C到平面ABD距離的最大值.設在翻折過程中MC和平面ABD所成的角為θ，由最小角定理可知

h=CMsinθ≤CMsin∠CMB，

即當面ACB⊥面ABD時，體積V最大,因此，

又

CM×DM=AM×BM=2，

從而

V≤sin2∠CMB≤1，

當CM⊥面ADB時，V=1.

評注 例1屬于立體幾何中的翻折問題.但是在求CM×DM的值時，需要用到平面幾何中的相交弦定理，因此例1是平面幾何和立體幾何的一個完美結(jié)合.該題考查了立體幾何線面角中的一個重要結(jié)論，有一定的思維量，難度適中，作為學考選擇題的最后一道是最合適的.

翻折問題是高考立體幾何中的?？停菍⑵矫鎺缀魏土Ⅲw幾何結(jié)合起來的翻折問題，為數(shù)不多.因此筆者對此題作了探究，并推廣到解析幾何.

1 變式

由于CD是動弦，因此沿CD對折，將更具變化性.由此得到了例2：

圖2

例2 如圖2，線段AB是⊙O的直徑，圓內(nèi)一條動弦CD與AB交于點M，且MB=2AM=2，現(xiàn)將平面BCD沿CD翻折，則三棱錐A-CBD體積V的最大值為______.

解 由例1的解答可知

過點O作ON⊥CD于點N，并設∠CMB=α，則

故

令f(x)=(9-x)x2,其中x∈(0,1]，則

f′(x)=-3x2+18x，

從而y=f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，于是

在例2的解答過程中，同樣考查了線面角的重要結(jié)論，同時還考查了導數(shù)的簡單應用，是一個不錯的訓練題.另外若將例1中的圓改成橢圓，則可以將結(jié)果推廣到圓錐曲線中，而立體幾何和解析幾何的結(jié)合，也使得題目(如下面的例3)變得更加亮眼.

圖3

2 推廣

解 設定點M(r,0)(其中-a

(b2m2+a2)y2+2b2mry+b2r2-b2a2=0.

設∠CMB=α，點C和點D的縱坐標分別為yC,yD，則由例1的解答知

經(jīng)過思考，可以得到例3的兩個變式如下：

仿照例2，得到如下兩個問題：

問題2 在問題1中，體積V取到最大值是AB⊥CD的充要條件嗎？

對于問題1和問題2，筆者作了探究，并得到如下結(jié)論：

證明 設∠CMB=α，橢圓的焦距為2c，點C和點D的縱坐標分別為yC,yD，則直線CD的方程為x=my+r.由例2的解答知

將x=my+r代入橢圓方程,得

(b2m2+a2)y2+2b2mry+b2r2-b2a2=0,

即

1)若q≥0，即r2≤c2，則f′(x)≤0,從而

此時

即AB與CD不垂直.

3 一點思考

2003年的全國數(shù)學高考試題堪稱“史上最難”，時至今日，筆者記憶猶新.理科第18題是一個立體幾何試題，是解答題的第2題，當年這道題做出來的考生鳳毛麟角.現(xiàn)在回過頭來看看，不覺得難，但是為什么當時會難，筆者認為原因很簡單，就是因為命題者將平面幾何和立體幾何結(jié)合在了一起.在計算過程中，必須要用到直角三角形中的射影定理，才能看到勝利的曙光，而很多考生都倒在了平面幾何上.其實單從結(jié)論來說，考生也許都知道，但是能想到兩者結(jié)合的，可能就不多了.

2015年的浙江省數(shù)學高考理科試題第18題是函數(shù)試題，是解答題第3題，當年的考生也反映不簡單.但是對于一些老教師來說，可能也不覺得新鮮，反而似曾相識，根據(jù)老教師反映，類似的試題已經(jīng)好多年沒有出現(xiàn).而2015年重出江湖的時候，卻考倒了一批考生.

由此，當筆者看到例1時，產(chǎn)生了一個疑問：若干年后，二、三個幾何知識點的結(jié)合體是否會再一次出現(xiàn)在高考卷中呢？就像學考試題那樣，用到的平面幾何知識并不難.對于圓來說，要聯(lián)想到平面幾何比較自然，那么在解析幾何當中，還會自然嗎？在解析幾何中，如果要利用立體幾何的結(jié)論，學生還會做嗎？如果是3個幾何知識點結(jié)合起來，考生還依然會處理嗎？

筆者認為例1是多個幾何知識點的結(jié)合，教師要靜下心來好好考慮一下：在教學過程中，如何讓學生能想到或想到得更加自然.兩個幾何知識點的結(jié)合非常考驗學生的能力，要求學生對相關(guān)知識非常熟悉，同時也強化了立體幾何的傳統(tǒng)證明.因此，在今后的教學中，教師可以考慮幾個幾何知識點結(jié)合的綜合試題，并原創(chuàng)出更多的好題.在類似的題目出現(xiàn)在高考卷上之前，做到有備無患.