劉 燕

(安徽師范大學(xué)皖江學(xué)院，安徽蕪湖 241000)

1 引 言

非線性奇攝動問題的研究受到國內(nèi)外學(xué)者的密切關(guān)注，多種近似方法不斷地得到優(yōu)化，包括合成展開法、邊界層函數(shù)法、伸展變量法等，使得非線性奇攝動在天體力學(xué)、彈體力學(xué)、生物學(xué)、聲學(xué)等領(lǐng)域有了廣泛應(yīng)用［1-4］.近年來，許多學(xué)者在非線性奇攝動相關(guān)領(lǐng)域做了大量工作，其中文獻(xiàn)［5-9］研究了分離型邊界條件的非線性微分方程的奇攝動問題，此時奇攝動問題的定解條件只限于分離型的邊界條件，還未涉及混合型的邊界條件;2014年，文獻(xiàn)［10］研究了一個四階微分方程的非線性混合邊界條件的奇攝動問題

解的存在性和漸近估計(jì);2015年，文獻(xiàn)［11］又研究了一個三階微分方程的非線性混合邊界條件的奇攝動問題

解的存在性和漸近估計(jì).非線性混合型邊界條件奇攝動問題比非線性分離型邊界條件奇攝動問題要復(fù)雜，因此，對于非線性混合邊界條件的奇攝動問題的研究相對較少.受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文運(yùn)用合成展開法和微分不等式理論考慮如下一類非線性混合邊界條件的奇攝動問題

其中:a，b，b0，b1均為常數(shù)，0 ≤ a ＜ b，ε 是正的小參數(shù).

現(xiàn)作如下假設(shè)

H1)問題(1)～(5)的退化問題

在［a，b］上存在充分光滑的解Y0=Y0(x)，且函數(shù)方程

有唯一的一對正解x=V0，y=W0;

H2) 函數(shù)f(x，y，y'，y″) 關(guān)于其變元在相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)充分光滑，且存在正常數(shù) l0，l1，l2，使得 － l2≤fy≤

H3)g(x，y，z，p，q，r) 關(guān)于其變元在相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)充分光滑，gx≤0，gy≤0，gz≥0，gp≥0，且存在正常數(shù) δ0使得

2 形式漸近解的構(gòu)造

設(shè)問題(1)～(5)的外部解的形式漸近式為

將式(9)代入式(1)，按ε的冪展開f，可得到

其中Fj－1(j≥1)是由Y0，Y1，…，Yj－1依次確定的函數(shù).這樣就得到外部解的遞推方程.由于外部解的遞推方程是一個二階方程，一般不滿足式(4)和(5)，所以需要在x=a處和x=b處構(gòu)造邊界層校正項(xiàng).

其中珘Fj－1(j≥1)是ξ的某個多項(xiàng)式與若干個νk(k≤j－1)及其各階導(dǎo)數(shù)的乘積之和.

為了確定關(guān)于Yj(x)，vj(ξ)，ωj(η)的定解條件，首先將式(15)代入式(2)和(3)得

代入式(4)和(5)得

其中Gj－1(j≥1)是確定的數(shù)值.由假設(shè)H1)，H2)及式(24) ～(25)可求出

其為問題(1)～(5)的退化問題(6)～(8)，由假設(shè)H1)可知其解存在為Y0=Y0(x).

根據(jù)上面求得的遞推方程(10)，(13)～(14)，(17)～(18)和定解條件式(19)～(27)以及

運(yùn)用交替迭代的方法可依次求出 Yj(x)，νj(ξ)，ωj(η).由式(13)，(17)和假設(shè) H2)知

引進(jìn)光滑函數(shù)ψ(x)∈C!，使得

這樣就得到問題(1)～(5)的m階形式漸近解.

3 引理和主要結(jié)果

定義 1［12］若函數(shù) α(x)，β(x) ∈ C4［a，b］滿足

則稱α(x)，β(x)分別為邊值問題

的上下解.

在上述定義下有

定義 2［12］若 f(x，y，y'，y″，y) ∈ C［D × R，R］滿足

引理1［12］若邊值問題(29)～(33)滿足如下條件:

(ⅰ)存在如定義1所述的上下解α(x)，β(x);

(ⅱ) 函數(shù) f(x，y，y'，y″，y) 在 D 上關(guān)于 α(x) 和 β(x) 滿足 Nagumo條件;

(ⅲ) 函數(shù) f(x，y，y'，y″，y) ∈ C［［a，b］× R4，R］關(guān)于 y'單調(diào)不減，關(guān)于 y 單調(diào)不增;

(ⅳ)h 為［α″(a)，β″(a)］→［α″(b)，β″(b)］的同態(tài)映射，且滿足

(ⅵ) 函數(shù) g(x，y，z，p，q，r，s，t) 在R8上連續(xù)，且關(guān)于變量z，p，t單調(diào)不減，關(guān)于變量x，y，s單調(diào)不增，同時滿足

則邊值問題(29) ～(33)存在解y(x)∈C4［a，b］滿足

定理1在假設(shè)H1)～H3)成立下，則存在ε0＞0使得對任意的0＜ε＜ε0，邊值問題(1)～(5)有解 y=y(x，ε) ∈ C4［a，b］滿足

其中ym(x，ε)由式(28)給出.

證明:構(gòu)造界定函數(shù)

其中r為待定的充分大的正常數(shù).顯然有

另外，由微分中值定理，存在正常數(shù)M1，使得

其中θi(i=0，1，2)介于與β(i)之間.

當(dāng)x∈［a，a+σ］時，由外部解和左邊界層的構(gòu)造知，存在正常數(shù)M2，M3使得

當(dāng)x∈［b－σ，b］時，由外部解和右邊界層的構(gòu)造知，存在正常數(shù)M4，使得

當(dāng) x∈［a+σ，b－σ］時，由vj(ξ)，ωj(η)的邊界層性態(tài)知，存在正常數(shù)M5和ε0，對任意的0 ＜ ε≤ε0有

則有 ε2β(4)－ f(x，β，β'，β″) ≤ 0，x ∈［a，b］.

類似地，對式(34) 給定的r有ε2α(4)－ f(x，α，α'，α″) ≥0，x∈［a，b］.由引理1可知，對式(34) 取定的r，當(dāng) 0 ＜ ε ≤ ε0時，邊值問題(1) ～ (5) 存在解 y(x，ε) ∈ C4［a，b］，滿足.

4 例 子

考慮如下混合邊值條件的四階微分方程的奇攝動問題

滿足假設(shè)條件H1) ～H3)，事實(shí)上，l0=4，l1=l2=1.

問題(35)～(39)的退化問題為