胡丹　楊小兵

摘要：本文從發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、合理外推、問題變式四個步驟對一個不等式問題開展探究性學(xué)習(xí)，得到了試題的十種解法、四個推廣、四個推論和編創(chuàng)了三道變式試題.

關(guān)鍵詞：探究性學(xué)習(xí);不等式;試題推廣;試題變式

探究性學(xué)習(xí)（也稱研究性學(xué)習(xí)）是指：以學(xué)生的自主性和探究性學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，在教師的指導(dǎo)下，從學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)或現(xiàn)實生活中選擇和確定研究專題，以個人或小組合作的方式，通過學(xué)生主動實踐、主動探索、主動思考的研究過程，從而培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識解決實際問題的能力，提高學(xué)生綜合素質(zhì)的一種教學(xué)模式[1].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下文簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）其中對探究性學(xué)習(xí)作出了明確規(guī)定，《標(biāo)準(zhǔn)》將必修課程分為四個板塊，分別是函數(shù)、代數(shù)與幾何、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?；顒雍蛿?shù)學(xué)探究活動[2].探究性學(xué)習(xí)是一種學(xué)生學(xué)習(xí)方式產(chǎn)生根本改變的教學(xué)模式，學(xué)生從聽教師講授學(xué)科概念、規(guī)律開始學(xué)習(xí)的方式，轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生通過各種事實來發(fā)現(xiàn)概念和規(guī)律的方式;也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好方式.意大利物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家伽利略提出探究問題的過程為：提出問題、猜想與假設(shè)、數(shù)學(xué)推理、實驗驗證、合理外推、得出結(jié)論，基于此，研究者認(rèn)為開展探究性學(xué)習(xí)應(yīng)遵循四個步驟：發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、合理外推、問題變式.文中以一道不等式問題為載體展開探究性學(xué)習(xí).

1 發(fā)現(xiàn)問題——探究的起點

問題是數(shù)學(xué)的心臟，更是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)研究的心臟.法國著名雕塑家羅丹說過：生活中從不缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛，數(shù)學(xué)也一樣，數(shù)學(xué)中從不缺少問題，而是缺少發(fā)現(xiàn)問題的眼睛.發(fā)現(xiàn)問題是探究的起點，選擇一個好的問題往往會事半功倍，那什么樣的問題才能被稱為好的數(shù)學(xué)問題呢？美國數(shù)學(xué)問題解決專家匈菲爾德給出五個原則：容易接受、有多種解題方法、蘊涵了重要的數(shù)學(xué)思想、不故意設(shè)陷阱、可進(jìn)一步開展和一般化.因此，可從教材、中高考、競賽、調(diào)研、自招等試題中去發(fā)現(xiàn)問題，這些試題經(jīng)過數(shù)學(xué)專家精心設(shè)計往往背景豐富、立意鮮明、解法多樣、便于推廣等.

評注 該題內(nèi)涵豐富、有深度、有廣度、有難度、可推廣、可一般化、形式優(yōu)美具有一定對稱性，且與2013年全國Ⅱ卷理科24題第（2）問有異曲同工之妙，因此是一個值得探究的好問題.

2 解決問題——探究的重點

《辭?！穼Α疤骄俊钡慕忉尀椋骸疤健庇袑で蟆⑼凭?、打聽之意，“究”有追問、推求、窮盡的意思，探究即尋求方法解決問題.解決問題是探究的重點，在教師的指導(dǎo)下，引導(dǎo)學(xué)生多角度開展思路分析與探索，鼓勵學(xué)生開展一題多思、一題多探、一題多解、一題多變等角度開展探究活動，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新精神.

評注 權(quán)方和不等式為均值不等式的推廣，文獻(xiàn)[3]對其進(jìn)行了詳細(xì)的說明.二元均值不等式、三元均值不等式、柯西不等式、構(gòu)造向量、隱函數(shù)法、條件極值、主元策略、排序不等式、琴生不等式等都是解決不等式問題的常用手法.

3 合理外推——探究的亮點

推廣是探究的難點.推廣是發(fā)現(xiàn)問題的基本途徑，是提出猜想的基本方式，是遷移數(shù)學(xué)知識的基本手段，是創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識的基本策略[4].張景中院士曾說過：創(chuàng)新并不是空穴來風(fēng)，而是在已有的基礎(chǔ)上推陳出新，推廣是研究數(shù)學(xué)的重要手段之一，數(shù)學(xué)的發(fā)展總是在已有的基礎(chǔ)上向未知的領(lǐng)域的進(jìn)行，從實際的概念和問題推廣出新的概念和問題[5].推廣的方式有很多，最常見的為：類比推廣（特殊到特殊）和歸納推廣（特殊到一般），下文將以歸納推廣為主對上述不等式進(jìn)行推廣.

4 問題變式——探究的難點

問題的變式是探究的難點.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)在于抓住知識的本質(zhì)和思想方法，變式不能亂變需要根據(jù)學(xué)生已有的知識水平，改變問題的形式、題目的條件、求證的結(jié)論、思維的角度等來揭露問題的本質(zhì)特征，而不受非本質(zhì)特征的影響，做到“變中求不變，求變以突出其中不變”.[6]

參考文獻(xiàn)：

[1]劉偉忠.研究性教學(xué)中的難點與實施重點[J].中國高等教育，2006（24）：36 -37 +42.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[3]趙思林.初等代數(shù)研究[M].北京：科學(xué)出版社，2017.

[4]李秀萍，趙思林，徐小琴.一個不等式的推廣與證明[Jl.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（10）：21+24.

[5]朱華偉，張景中.論推廣[J].數(shù)學(xué)通報，2005（ 04）：55- 57 +28.

[6]江志杰，基于數(shù)學(xué)解題變式的高三教學(xué)主張[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2013 （01）：54 -58.

（收稿日期：2019 - 02 - 06）