季茜

摘 ?要：“數(shù)的認識”是小學數(shù)學中值得持續(xù)研究的主題，其中有一些可以遵循的規(guī)律。教學中，教師要引導學生充分經(jīng)歷“數(shù)概念”的抽象過程、充分發(fā)揮“數(shù)表象”的過渡作用、充分辨析“數(shù)本質”的屬性思想。建立“數(shù)概念”，不僅要理解“數(shù)概念”的內涵與外延，還要引導學生用“數(shù)”進行表達、交流。

關鍵詞：小學數(shù)學;數(shù)的認識;知識解讀;操作要義

小學數(shù)學的基本內容有四大板塊：“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”以及“綜合與實踐”。雖然每一板塊的內容在不同版本的教材中有著不同的結構安排，但卻有著共通的知識結構及其操作要義。解讀相關模塊知識結構，明晰相關知識模塊的操作要義，能夠提升教師的教學效能。本文以“數(shù)與代數(shù)”板塊中的“數(shù)的認識”模塊教學為例，試探其知識結構及其操作要義。

■一、充分經(jīng)歷“數(shù)概念”的抽象過程

從“數(shù)”的產(chǎn)生的本源看，“數(shù)概念”是人類在長期生活中對自身實踐進行的抽象總結。最為基本的“自然數(shù)”源于“數(shù)”。有學者深刻地指出，“十進制計數(shù)法乃是源于人類生理上的一種湊巧”。明晰了這一點，在“數(shù)的認識”教學中，教師就要引導學生充分經(jīng)歷“數(shù)概念”的形成過程。

首先是整數(shù)概念的形成過程。教學中，教師引導學生像古人一樣，用石子計數(shù)、結繩計數(shù)，滲透“一一對應”的數(shù)學思想。學生經(jīng)歷了從“具體直觀”到“半抽象半直觀”再到“抽象”的過程，自然就能對“數(shù)”的抽象性質有所感悟。當一位學生在學習中認識到“1”既可以表示一只羊、一個書包、一本本子的時候，就會發(fā)出“數(shù)的本領可真大啊”的感嘆。這種感嘆正是凝聚著學生對“數(shù)”的具體事物表征與“數(shù)”自身的抽象映射的感悟。當學生產(chǎn)生需要表示更大的數(shù)的心理需求時，教師可以充分發(fā)揮學生建構的主動性。如此，學生就會將10個物體作為一組，或者用線捆起來、扎起來，這就是“滿十進一”。

其次是小數(shù)概念的建構過程。教學中，將小數(shù)概念嵌入情境，引導學生從現(xiàn)實背景入手，然后通過“去情境化”，形成抽象化概念。“量源于量”，在引導學生建構“一位小數(shù)”“兩位小數(shù)”“三位小數(shù)”概念時，可充分展開學生思維過程，在學生獲得豐富認知的基礎上，引導學生壓縮推理過程，形成“一位小數(shù)表示十分之幾”“兩位小數(shù)表示百分之幾”“三位小數(shù)表示千分之幾”的抽象認知，從而最終抽象概括出小數(shù)的意義，即“將整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份……表示這樣的十分之幾、百分之幾、千分之幾……的數(shù)”。

再次是分數(shù)意義的感悟過程。在不同版本的教材中，盡管“分數(shù)的認識”內容的具體安排不同，但卻都遵循著“循序漸進”的原則，從將“一個物體、一個計量單位、一個圖形”平均分，建構“幾分之一”的分數(shù)概念，到將“許多物體組成的整體”平均分，建構“幾分之幾”的分數(shù)概念，再到最后概括、抽象成“將單位‘1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)”的分數(shù)意義的揭示，這一整個過程都要始終引導學生進行“平均分”。分數(shù)就是“幾份之幾”（華應龍語）。通過這樣的一個過程建構，學生就能感悟到分數(shù)概念的關鍵是“平均分”“平均分的份數(shù)”以及“表示的份數(shù)”。

■二、充分發(fā)揮“數(shù)表象”的過渡作用

如上所述，“數(shù)概念”是抽象的，而小學生的思維以具體形象為主。在學生抽象、概括建立“數(shù)概念”的過程中，教師要充分發(fā)揮“數(shù)表象”的過渡作用。所謂“表象”，是指“客觀對象不在主體面前呈現(xiàn)時，主體在觀念中所保持的形象”。相比較于觀念，表象更為生動、形象、實在、強烈，它是架設學生主觀認知、思維與客觀的數(shù)學學習對象的橋梁。作為教師，要善于對學習素材進行加工，使之更“結構化”“意義化”。

在認識“自然數(shù)”時，可選用“小棒”“方塊”“算珠”等具有“齊性”特質的學具，因為這些學具沒有過多的附加屬性，從而能讓學生建立“數(shù)概念”表象，將學習目光聚焦到“齊性”素材的數(shù)學化特質上來。不僅在“數(shù)的認識”教學中如此，在“數(shù)的運算”中更是如此。再比如，從“一位數(shù)的認識”到“兩位數(shù)的認識”是學生數(shù)學學習的一個轉折點，作為教師，引導學生將10根小棒“捆”起來的過程，也能幫助學生建立“滿十進一”的計數(shù)原則。換言之，“數(shù)的認識”的表象不僅可以是靜態(tài)、直觀表象，而且可以是動態(tài)、動作表象。那么，從“整十數(shù)”如何過渡到“整百數(shù)”呢？教學中，教師可以借助小方塊來幫助學生建立表象，逐步讓學生建立“位值”思想。

在學習《認識小數(shù)》時，可借助正方形、正方體，將之平均分成10份、100份、1000份，從而幫助學生建立“一位小數(shù)”“兩位小數(shù)”“三位小數(shù)”的概念。在這里，學生對于正方形、正方體表象印象深刻的是：“一位小數(shù)就是平均分成10份，表示十分之幾”“兩位小數(shù)就是平均分成100份，表示百分之幾”等。在教學中，教師可以運用多種模型，在抽象的數(shù)與現(xiàn)實的量之間建立關系，助推學生理解“數(shù)的意義”，建立“數(shù)的概念”，如“數(shù)位桶”“方格圖”“計數(shù)器”“數(shù)軸”“數(shù)位順序表”等。

在《認識分數(shù)》過程中，教師可借助紙，引導學生進行直觀操作，借助操作性表象，深化學生對分數(shù)的本質認知。此外，從“自然數(shù)”到“小數(shù)”，從“小數(shù)”到“分數(shù)”，在數(shù)的發(fā)展過程（數(shù)系擴充）中，要突出數(shù)不能表達實際生活、實際運用的數(shù)的產(chǎn)生思想。再比如，“負數(shù)的誕生”，就是因為在實際的生產(chǎn)生活中，“正數(shù)”已經(jīng)遠遠不能適應，因而“負數(shù)”才應需而生。不僅如此，教師還要有意識地溝通“數(shù)”“數(shù)”關聯(lián)，如“小數(shù)是一種不帶分母的十進分數(shù)”“正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量”等。

■三、充分辨析“數(shù)本質”的屬性思想

“數(shù)與代數(shù)”是小學數(shù)學的主體部分，而其中“數(shù)的認識”板塊又是“數(shù)與代數(shù)”知識的基礎。在“數(shù)的認識”的教學中，教師要引導學生辨析“數(shù)本質”，也就是數(shù)的相關的屬性，尤其是本質屬性。學生掌握數(shù)概念，不應死記硬背，而應以理解為基礎。為此，教師可以運用“變式”的方法，變換“數(shù)”的非本質屬性，從而凸顯“數(shù)”的本質屬性，如引導學生進行“數(shù)”的比較，將“數(shù)”納入“數(shù)的認識”的整體知識結構之中等。

一是引導學生進行“數(shù)概念”比較。比如“整數(shù)”與“自然數(shù)”、“小數(shù)”與“分數(shù)”、“正數(shù)”與“負數(shù)”、“奇數(shù)”與“偶數(shù)”、“質數(shù)”與“合數(shù)”、“公因數(shù)”與“公倍數(shù)”，等。在比較中，學生不僅能認識數(shù)的本質，而且能明晰數(shù)與數(shù)之間的關系，是反對關系、交叉關系還是從屬關系等。

二是引導學生進行“數(shù)概念”辨析。對于“數(shù)概念”，教師要引導學生品味、咀嚼，比如“倒數(shù)”的概念，其中“乘積”是“1”的“兩個數(shù)”叫作“互為倒數(shù)”，就值得揣摩、品味。尤其是“兩個數(shù)互為倒數(shù)”揭示了“互為倒數(shù)”的兩個數(shù)之間的相輔相成、相互依存的辯證統(tǒng)一關系。“因數(shù)與倍數(shù)”的概念同樣如此。

三是運用“變式”策略。通過展示“變與不變”，在“變化”的非本質屬性中揭示“不變”的本質屬性。比如教學《分數(shù)的初步認識》，教師就可以提供形狀、大小、顏色等都不同的紙張，引導學生進行操作?！盀槭裁疵糠莸男螤?、大小不同，但卻能表示同一個分數(shù)呢？”“因為它們平均分的份數(shù)相同，表示的份數(shù)也相同?！?/p>

四是運用“結構化”策略。一個“數(shù)概念”只有在“數(shù)結構”之中才能獲得完全的理解。比如從“因數(shù)與倍數(shù)”出發(fā)，教師可以引導學生根據(jù)“是否是2的倍數(shù)”引導學生認識“奇數(shù)與偶數(shù)”，根據(jù)“因數(shù)的個數(shù)”引導學生認識“質數(shù)與合數(shù)”，根據(jù)“因數(shù)與倍數(shù)”，引導學生認識“公因數(shù)與公倍數(shù)”“最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)”等。這里，諸多“數(shù)概念”被集結成一個“知識結構”，每一個“數(shù)概念”在這個結構中都能獲得深刻理解。

“數(shù)的認識”是小學數(shù)學中值得持續(xù)研究的主題，其中有一些可以遵循的規(guī)律，但許多問題還需要持續(xù)探索。認識“數(shù)”的概念本質的過程，也是學生逐步建立“數(shù)感”的過程。建立“數(shù)概念”，不僅要理解“數(shù)概念”的內涵與外延，還要引導學生用“數(shù)”進行表達、交流。筆者希望更多的有識之士能投入小學數(shù)學教學領域的操作要義研究中，以期提升數(shù)學教學的實效，提升數(shù)學教學的品位。