龐海燕

[摘 ?要] 文章是作者參加金華市高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽所創(chuàng)作的《數(shù)學(xué)建?！w重與脈搏》教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在同時(shí)鋪開建模線和研究線的思路指導(dǎo)下，讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的全過程，落實(shí)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;體重;脈搏;研究

■教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)解析

本課選自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例28（P156-P159）.數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)的一條主線.教材在各個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容的開始，普遍從實(shí)際問題出發(fā)提出問題，引出知識(shí)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)源于實(shí)際;學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)的概念、定理和公式之后，從數(shù)學(xué)模型的角度加以理解并應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，讓學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型（比如必修1中《函數(shù)模型及其應(yīng)用》）. 《體重與脈搏》一課主要通過建立體重與脈搏的數(shù)學(xué)模型讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)全過程，感悟數(shù)學(xué)源于實(shí)際，學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模，學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題. 通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián);學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn);認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.

數(shù)學(xué)建模是一種獨(dú)立的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，卻又是一種綜合程度最高的素養(yǎng)，因?yàn)榻５倪^程離不開抽象概括、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.

■教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析

本節(jié)課旨在通過創(chuàng)設(shè)情境，從具體的、確定數(shù)據(jù)出發(fā)，通過實(shí)驗(yàn)研究、文獻(xiàn)研究、機(jī)理研究多角度、逐層把情境中的問題，通過擬合、假設(shè)、簡(jiǎn)化、發(fā)現(xiàn)、表達(dá)、提煉和抽象得出“比例模型”，得到一個(gè)合理的函數(shù)關(guān)系，利用找到的函數(shù)模型解決實(shí)際問題.在這一過程中讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模和研究方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，即閱讀理解能力、抽象概括能力、符號(hào)表示能力、模型選擇能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神以及團(tuán)結(jié)協(xié)作的品質(zhì).

根據(jù)上述分析，制定本節(jié)課的如下內(nèi)容.

教學(xué)重點(diǎn)：通過情境，讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程;

教學(xué)難點(diǎn)：分析模型，厘清問題，對(duì)模型進(jìn)行假設(shè)和簡(jiǎn)化;

教學(xué)關(guān)鍵：以經(jīng)歷“體重與脈搏”模型建立為明線，講應(yīng)用;以模型研究為暗線，立素養(yǎng).

■教學(xué)問題診斷分析

數(shù)學(xué)建模教學(xué)就是教師與學(xué)生一起經(jīng)歷將生活數(shù)學(xué)化，再數(shù)學(xué)生活化的過程. 平時(shí)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題都是經(jīng)過加工、提煉、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生習(xí)慣于思考和求解已經(jīng)“數(shù)學(xué)化了”的問題，不會(huì)將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、抽象化.

本節(jié)課的學(xué)生面臨的難點(diǎn)并不是模型的建立和求解本身，而是問題是具有生物學(xué)背景，學(xué)生感覺比較陌生，涉及的量比較多，需要厘清量之間的關(guān)系，對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化和假設(shè). 學(xué)生往往抓不準(zhǔn)問題中的量，不會(huì)也不習(xí)慣“機(jī)理分析”，理不清思路，寫不出函數(shù)關(guān)系，不會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

■教學(xué)支持條件分析

在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型、冪函數(shù)模型、三角函數(shù)模型，對(duì)函數(shù)模型建立有初步認(rèn)識(shí)，理解有實(shí)際背景和意義的函數(shù)圖像，會(huì)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，但把實(shí)際背景數(shù)學(xué)化的過程中，通過什么樣的方式幫助學(xué)生厘清量之間的關(guān)系，做出簡(jiǎn)化假設(shè)是值得思考的.

模型的數(shù)據(jù)擬合需要借助MATLAB軟件，限于現(xiàn)階段技術(shù)和硬件支持，課堂上只呈現(xiàn)了結(jié)果，沒能讓學(xué)生親歷編程擬合.

根據(jù)上述分析，制定同時(shí)鋪開研究線、建模線，采取科技引路、問題驅(qū)動(dòng)、引導(dǎo)為輔、活動(dòng)為主、自主探究、合作交流的教學(xué)策略.

■教學(xué)過程

引趣——課前活動(dòng)

學(xué)生活動(dòng)：自測(cè)脈搏率.

一、激活——情境創(chuàng)設(shè)

情境創(chuàng)設(shè)：

師：用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的語言描述世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的模型把握世界. 很高興和我們武義一中的同學(xué)們一起共享今天的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng). 為了更好地了解世界，人們常常用數(shù)學(xué)（如函數(shù)或方程）來描述某種特定的現(xiàn)象，稱為數(shù)學(xué)模型.生活中處處可見數(shù)學(xué)模型.遠(yuǎn)到醫(yī)學(xué)CT層析儀，電視數(shù)字化、華為的突圍、訊飛翻譯機(jī)，近到我們的脈搏率，我們可以如何測(cè)量脈搏率呢？

生：中醫(yī)的望聞問“切”，西醫(yī)的儀器輔助.

師：老師今天不用切脈，不用儀器，我要通過一個(gè)數(shù)學(xué)模型，你只要告訴我體重，我就可以算出脈搏率，將這樣一個(gè)生活問題數(shù)學(xué)化，可以實(shí)現(xiàn)嗎？

生：面面相覷.

師：今天我們一起來研究體重和脈搏率的數(shù)學(xué)關(guān)系.我們可以如何開展我們的研究呢？

學(xué)生活動(dòng)討論.

師：經(jīng)過同學(xué)們的討論，一方面我們可以通過實(shí)驗(yàn)研究，收集動(dòng)物體重和脈搏率的數(shù)據(jù)，對(duì)其進(jìn)行分析研究;另一方面可以通過研究文獻(xiàn)，科學(xué)地認(rèn)識(shí)生物學(xué)背景知識(shí)，再通過數(shù)學(xué)機(jī)理研究，給出體重和脈搏的量化關(guān)系.

二、建?！Ｐ徒?/p>

（一）實(shí)驗(yàn)研究

下表給出了一些動(dòng)物體重與脈搏率對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).

生：從圖中可以看出，體重越輕的動(dòng)物脈搏率越高.

師：如果想要用體重預(yù)測(cè)脈搏率，可以如何操作？

學(xué)生活動(dòng)：討論得出可以建立體重和脈搏率的函數(shù)模型.

教師簡(jiǎn)要介紹數(shù)學(xué)軟件MATLAB的線性和非線性擬合功能.根據(jù)課堂情況決定是否比較模型選擇（見附件2）.

圖3

師：圖2是用MATLAB軟件擬合的函數(shù)模型f=1831.5W-0.302.

豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念. 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于對(duì)概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨(dú)立思考、自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式. 本節(jié)教學(xué)中，既有教師的講授和引導(dǎo)，更多的是學(xué)生的自主探索與合作交流，整節(jié)課教師都通過活動(dòng)創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生積極參與，給學(xué)生適當(dāng)?shù)耐卣埂⒀由斓目臻g和時(shí)間，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣，養(yǎng)成良好的研究、學(xué)習(xí)習(xí)慣.

附件1

體重與脈搏

問題的提出：生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動(dòng)物依然會(huì)消耗體內(nèi)能量，主要是為了保持體溫.研究表明，消耗的能量E與通過心臟的血流量Q成正比;并根據(jù)生物學(xué)常識(shí)知道，體溫主要通過身體表面散失，動(dòng)物的體重與體積成正比.

1. 請(qǐng)根據(jù)生物學(xué)常識(shí)，給出血流量與體重之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型;

2. 從表中可以看出，體重越輕的動(dòng)物脈搏率越高. 請(qǐng)根據(jù)上面所提供的數(shù)據(jù)尋求數(shù)量之間的比例關(guān)系，建立脈搏率與體重關(guān)系的數(shù)學(xué)模型;

3. 根據(jù)表格，作出動(dòng)物的體重和脈搏率的散點(diǎn)圖，驗(yàn)證建立的數(shù)學(xué)模型.

生物學(xué)背景閱讀材料

脈搏率f：指動(dòng)脈搏動(dòng)的頻率. 脈率的快慢受年齡、性別、運(yùn)動(dòng)和情緒等因素的影響. 成人每分鐘超過100次，稱為心動(dòng)過速，每分鐘低于60次，稱為心動(dòng)過緩.臨床上有許多疾病，特別是心臟病可使脈率發(fā)生變化.因此，測(cè)量脈率對(duì)病人來講是一個(gè)不可缺少的檢查項(xiàng)目. 中醫(yī)更將切脈作為診治疾病的主要方法.

脈率是每分鐘脈搏的次數(shù)，正常情況下與心率一致，與呼吸的比例約為4∶1～5∶1.

健康成人在安靜狀態(tài)下脈率為60～100次/min，女性稍快.

脈率受年齡和性別的影響，嬰兒每分鐘120-140次，幼兒每分鐘90-100次，學(xué)齡期兒童每分鐘80-90次，成年人每分鐘70-80次. 另外，運(yùn)動(dòng)和情緒激動(dòng)時(shí)可使脈率增快，而休息時(shí)則減慢. 發(fā)燒時(shí)，人體的脈率會(huì)有所增高，一般每增多20下，相應(yīng)體溫會(huì)增高1攝氏度左右.

成人每分鐘超過100次，稱為心動(dòng)過速，每分鐘低于60次，稱為心動(dòng)過緩.臨床上有許多疾病，例如發(fā)熱時(shí)心動(dòng)速度也會(huì)加快，特別是心臟病可使脈率發(fā)生變化.因此，測(cè)量脈率對(duì)病人來講是一個(gè)不可缺少的檢查項(xiàng)目. 中醫(yī)更將切脈作為診治疾病的主要方法.

心輸出量Q：心臟的功能就是輸出血液，推動(dòng)血液流向各組織器官，以保證新陳代謝的正常進(jìn)行，心輸出量是衡量心臟工作能力的重要指標(biāo). 正常情況下，每個(gè)心室收縮一次所射出的血量，稱為每搏出血量，每搏出血量q與心臟大小成正比，心臟大小與動(dòng)物的體積V成正比.每分鐘射出的血量稱為每分出血量，即每搏輸出量與每分鐘心率的乘積. 通常所說的心輸出量是指每分輸出量.？搖 動(dòng)物體安靜時(shí)的心輸出量Q和基礎(chǔ)代謝一樣，與體表面積S成正比.

散熱能量E：早在十九世紀(jì)末年，生理學(xué)家Voit氏等發(fā)現(xiàn)雖然不同種類的動(dòng)物每千克體重單位時(shí)間內(nèi)的散熱量相差懸殊，但如都折算成每平方米體表面積的散熱量，則基本一致.

例如馬、豬、狗、大鼠和人的每體表面積每24小時(shí)的散熱量都在1000卡左右，散熱量與體表面積成正比.

附件2：原始數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)后擬合情況