吳國(guó)慶

摘要：圓作為日常生活中常見(jiàn)圖形，是中考命題的一個(gè)熱點(diǎn).本文從生活出發(fā)，以數(shù)學(xué)的視角，例析現(xiàn)實(shí)生活中的圓（弧）在中考中出現(xiàn)的一類試題.

關(guān)鍵詞：生活;圓（?。?中考

生活中的圓（弧）圖形比比皆是，其在各地中考試題中也頻頻出現(xiàn)，現(xiàn)分類例析如下：

1 圖案與對(duì)稱

例1 （山東青島中考題）下列四個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形的是（）.

解析在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形;在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，故選A.

評(píng)析生活中有很多與圓（弧）相關(guān)的美麗圖案，利用軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義可以判斷其對(duì)稱性.

2 破鏡與圓弧

例2（江蘇常州中考題）如圖1，把直角三角板的直角頂點(diǎn)0放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點(diǎn)M、N，量得OM= 8cm，ON= 6cm，則該圓玻璃鏡的半徑是（）.

A. √10cm

B.5cm

C.6cm

D.lOcm

所以該圓玻璃鏡的半徑是1/2MN=5cm.故選B.評(píng)析利用90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑及勾股定理求直徑，從而求出半徑.

3 拱橋與圓弧

例3（貴州六盤水中考題）趙洲橋是我國(guó)建筑史上的一大創(chuàng)舉，它距今約1400年，歷經(jīng)無(wú)數(shù)次洪水沖擊和8次地震卻安然無(wú)恙.如圖2，若橋跨度AB約為40米，主拱高CD約10米，則橋弧AB所在圓的半徑R=

米.

解析 根據(jù)垂徑定理，得AD=1/2AB=20米.設(shè)圓的半徑是r，根據(jù)勾股定理，得R²=20²+（R -10）²，解得R=25（米）.故答案為25.

評(píng)析 利用圓中垂徑定理.構(gòu)造由半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算.

4 管道（門）與圓形

例4 （四川樂(lè)山中考題）如圖3是“明清影視城”的一扇圓弧形門，小紅到影視城游玩，他了解到這扇門的相關(guān)數(shù)據(jù)：這扇圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB= CD =0. 25米，BD =1.5米，且AB、CD與水平地面都是垂直的.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請(qǐng)你幫小紅計(jì)算出這扇圓弧形門的最高點(diǎn)離地面的距離是（）.

A.2米 B.2.5米 C.2.4米 D.2.1米

解析 取門的圓心為點(diǎn)O，門與地面切點(diǎn)為點(diǎn)M，連接MO并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)E，連接AC，交OM于點(diǎn)Ⅳ，連接OA，則這扇圓弧形門的最高點(diǎn)離地面的距離為EM.由條件MN=0.25米，AC=1.5米，設(shè)OA =r，在△OAN中，有r²=0.75²+（r -0.25）².

所以r =125米，EM =2.5米，故選B.

評(píng)析 將管道截面、圓弧形門中相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為半徑、半弦、弦心距三量關(guān)系，利用勾股定理建立方程即可解決.

5 彎道與圓弧

例5（湖北孝感中考題）如圖4，一條公路的轉(zhuǎn)

彎處是一段圓弧AB.

（1）用直尺和圓規(guī)作出AB所在圓的圓心0（要求保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）若AB的中點(diǎn)C到弦AB的距離為20m，AB=80m，求AB所在圓的半徑，

解析（1）如圖5，連結(jié)AC、BC，分別作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)為點(diǎn)0;

（2）連接OA，oc，OC交AB于D，如圖6，根據(jù)垂徑定理的推論，由C為AB的中點(diǎn)得到OC⊥AB，AD=BD= 1AB =40，則CD =20.

設(shè)00的半徑為r，在Rt△OAD中由勾股定理得r²=（ r -20）²+40².

解方程得r =50m.

所以AB所在圓的半徑為50m.

評(píng)析 問(wèn)題考查了尺規(guī)作圖，同時(shí)也考查了勾股定理和垂徑定理.

6 折疊與圓形

例6（山東聊城中考題）如圖7，點(diǎn)0是圓形紙片的圓心，將這個(gè)圓形紙片按下列順序折疊，使弧AB和弧BC都經(jīng)過(guò)圓心O，則陰影部分的面積是oo面積的（ ）.

A.1/2 B.1/3 c.2/3 D.3/5

解析 如圖8，作OD⊥AB于點(diǎn)D，由折疊知OD= 1/2AO.連接AO，BO，CO，則∠OAD =30°.

所以∠AOB =2 ∠AOD= 120°.

所以∠AOC= 120°，S陰影=S扇形AO，=1/3S○o.

故答案為B.

評(píng)析 本題主要考查了圓的折疊問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定∠AOC= 120°，計(jì)算面積時(shí)用到割補(bǔ)法.

7 雨刷與圓弧

例7 （山東青海中考題）如圖9，AC是汽車擋風(fēng)玻璃前的雨刷器，如果AO =45cm，CO =5cm，當(dāng)AC繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，則雨刷器AC掃過(guò)的面積為___cm2（結(jié)果保留π）.

解析 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OA= OA，OC= OC.AC=A'C，所以△AOC≌△A'OC，可得雨刷AC掃過(guò)的面積=S扇形AOA'- S扇形coc=500π，

評(píng)析問(wèn)題涉及到旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及不規(guī)則圖形面積計(jì)算（割補(bǔ)方式）.

8 工件與圓形

例8 （四川南充中考題）如圖10，是由兩個(gè)長(zhǎng)方形組成的工件平面圖（單位：mm），直線Z是它的對(duì)稱軸，能完全覆蓋這個(gè)平面圖形的圓面的最小半徑是____ mm.

解析 如圖11，設(shè)圓心為0，連接AO，CO.

又直線l是對(duì)稱軸，所以CM =30，AN =40.

又CM²+ OM²=AN²+ ON²，即30²+ OM²= 40²+（70 - OM）²，解得OM= 40，OC =50.即能完全覆蓋這個(gè)平面圖形的圓面的最小半徑是50mm.

評(píng)析 利用對(duì)稱及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，借助兩組半徑、半弦、弦心距建立方程.

9 扇形與圓錐

例9 （山東淄博中考題）現(xiàn)有一張圓心角為108°，半徑為40cm的扇形紙片，小紅剪去圓心角為θ的部分扇形紙片后，將剩下的紙片制作成一個(gè)底面半徑為10cm的圓錐形紙帽（接縫處不重疊），則剪去的扇形紙片的圓心角θ為______..

解析由扇形底面半徑是10cm，可知展開圖扇形的弧長(zhǎng)是20πcm.根據(jù)弧長(zhǎng)公式20π=nπ·40/180，解得n= 90°.剪去的扇形紙片的圓心角為108°- 90°=18°故答案為18°.

評(píng)析問(wèn)題中要抓住圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形半徑，圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)，依據(jù)這些關(guān)系進(jìn)行扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算.

10 圓環(huán)與投影

例10（湖南永州中考題）圓桌面（桌面中間有一個(gè)直徑為0.4m的圓洞）正上方的燈泡（看作一個(gè)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如圖13所示的圓環(huán)形陰影.已知桌面直徑為1.2m，桌面離地面1m，若燈泡離地面3m，則地面圓環(huán)形陰影的面積是（）.

評(píng)析 問(wèn)題考查中心投影，其實(shí)是利用“A”形相似圖構(gòu)造相似進(jìn)行計(jì)算.

11 健身與圓弧

例11 （甘肅省白銀市中考題）圖15是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖16是小明鍛煉時(shí)上半身由ON位置運(yùn)動(dòng)到與地面垂直的OM位置時(shí)的示意圖.已知AC=0.66米，BD=0.26米，a=

（1）求AB的長(zhǎng)（精確到0.01米）;

（2）若測(cè)得ON =0.8米，試計(jì)算小明頭頂由點(diǎn)Ⅳ運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M的路徑MN的長(zhǎng)度（結(jié)果保留π）.

解析（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，解直角三角形可以求出AB≈1.17米;

（2）可求∠MON= 110°，由弧長(zhǎng)公式求出路徑MN的長(zhǎng)度為22/45π（米）.

評(píng)析 問(wèn)題為解直角三角形的應(yīng)用，弧長(zhǎng)的計(jì)算，要求學(xué)生能夠從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題.12等寬曲線與圓形

例12（山東威海中考題）閱讀理解：如圖18，⊙0與直線a、b都相切，不論⊙0如何轉(zhuǎn)動(dòng)，直線a、b之間的距離始終保持不變（等于⊙0的直徑），我們把具有這一特性的圖形稱為“等寬曲線”.圖19是利用圓的這一特性的例子，將等直徑的圓棍放在物體下面，通過(guò)圓棍滾動(dòng)，用較小的力就可以推動(dòng)物體前進(jìn).據(jù)說(shuō)，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)?

拓展應(yīng)用：如圖20所示的弧三角形（也稱為萊洛三角形）也是“等寬曲線”.如圖21，夾在平行線c，d之間的萊洛三角形無(wú)論怎么滾動(dòng)，平行線間的距離始終不變，若直線c，d之間的距離等于2cm，則萊洛三角形的周長(zhǎng)為____ cm.

評(píng)析 問(wèn)題主要考查新定義下弧長(zhǎng)的計(jì)算，理解“等寬曲線”得出等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

13 三角板與圓形

例13 （江蘇鹽城中考題）如圖22，△ABC是一塊直角三角板，且∠C =90°，∠A =30°，現(xiàn)將圓心為點(diǎn)0的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部.

（1）如圖22，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時(shí)，試用直尺與圓規(guī)作出射線捌CO（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）;

（2）如圖23，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動(dòng)1周，回到起點(diǎn)位置時(shí)停止，若BC =9，圓形紙片的半徑為2，求圓心0運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).