周澤軍　侯霞

摘要：習題教學的“根”就是數學模型，習題教學的“魂”在于數學思想方法.本文以課本習題為例，抓住習題中蘊舍的數學思想與方法，旨在讓數學素養(yǎng)的培養(yǎng)“落地生根”.

關鍵詞：習題教學;數學模型;數學想想方法

“眾里尋它千百度，驀然回首，數學模型與數學思想方法卻在課本習題處.”如何將學生從窮于應付繁瑣的數學內容和過量的題目解脫出來？適當選擇某些有意義但又不太復雜的課本習題，幫助學生挖掘習題的各個方面，讓學生在解題過程中，提高才智與推理能力也許是一種有效的途徑。文章通過一道習題的多種解法與課本題源蘊含的數學模型與思想方法進行對比，意在闡述研習課本習題的潛在教學價值，旨在提高解題能力，提升思維品質.

1 課本題源再現

題源1（新人教版83頁第12題）如圖1，△ABD，△AEC都是等邊三角形，求證：BE= DC.

分析 本題的實質就是借助等腰三角形中的“手拉手”模型，通過證明△ADE≌△ABE來證明線段BE=DC.其實本題的證法還可以將△ABD，△AEC都是等邊三角形推廣為：“任意三角形△ABD，△AEC中，AB =AD、AE =AC，且∠DAB=∠EAC”.證法相同，結論仍成立.

題源2（新人教版69頁第14題）如圖2，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，求證：AE= EF.

分析 本題的證明若以△ABE為“基礎三角形”，借助“三垂直”模型，過點F作BC的垂線，構造一個直角三角形與△ABE全等來證明線段AE= EF，就會進入思維定勢的誤區(qū).而正確的方法是反其道而行之，突破思維定勢，以△CFE為“基礎三角形”在AB上截取線段AM，連接ME，構造△AME與△ABE全等來證明.其實本題的證法還可以將點E推廣為：“點E在直線BC上運動，∠AEF= 90°，且EB交正方形外角的平分線CF所在直線于點F”.證法相同，結論仍成立.

2 試題呈現

如圖3，已知△ABC，AB =AC，∠BAC= 90°，點D為CB延長線上一點，連AD，以AD為邊在△ABC的同側作正方形ADEF.

（1）求證：∠EBD =45°;

（2）求2DC-BC/EB的值; （3）若AF =2，AC=√2，連BF，則S△EBF=____.

3 解法賞析

這里只針對第（1）問進行解法解析

解法l如圖4，連接BF，過點E作EM⊥BF于點M，EN⊥ CD于點N.

因為正方形ADEF，∠BAC= 90°，∠FAB=∠FAD+ ∠DAB.∠DAC=∠CAB+∠DAB.所以∠FAB= ∠DAC.

在AFAB和ADAC中，

AF =AD，

∠FAB= ∠DAC，

AB =AC，

所以AFAB≌ADAC（ASA）.

所以∠ABF= ∠ACD =45°.

因為∠FBC= 90°，所以∠MEN =90°.

所以∠NED= ∠MEF.

在AEDN和AEFM中，

∠DNE= ∠FME，

∠NED= ∠MEF，

ED= EF，

所以AEDN≌AEFM（AAS）.

所以EN=EM.

所以∠NBE= ∠EBM= 45°.

即LEBD =45°.

解法2如圖5，連接BF，過點E作EN⊥CD于點N，EH⊥EB交BF的延長線于點H

因為正方形ADEF，∠BAC= 90°，∠FAB=∠FAD+ ∠DAB，∠DAC=∠CAB+∠DAB，所以∠FAB= ∠DAC.

在AFAB和ADAC中，

AF =AD.

∠FAB= ∠DAC.

AB=AC.

所以AFAB≌ADAC（ASA）.

所以∠ABF= ∠ACD =45°.

所以∠FBC= 90°

所以∠EDB+ ∠EFB= 180°.

所以∠EDB= ∠EFH.

因為∠FED= ∠HEB =90°，

所以∠HEF= ∠BED.

在AFEH和ADEB中，

∠HEF= ∠BED.

EF= ED.

∠EFH= ∠EDB.

所以AFEHU≌ADEB（ ASA）.

所以EH=EB.

所以∠EBH =45°.

所以∠EBD =45°.

解法3 如圖6，連接BF，過點F作FH⊥BF交BA的延長線于點H

因為正方形ADEF，∠BAC= 90°，∠FAB=∠FAD+ ∠DAB，∠DAC=∠CAB十∠DAB，所以∠FAB= ∠DAC.

在AFAB和ADAC中，

AF =AD，

∠FAB= ∠DAC，

AB =AC，

所以AFAB≌ADAC（ASA）.

所以∠ABF= ∠ACD =45°.

所以FB=FH.

因為∠EFA= ∠BFH= 90°，

所以∠EFB= ∠AFH。

在AEFB和AAFH中，

EF =AF.

∠EFB=∠AFH.

FB= FH.

所以AEFB≌AAFH（ SAS）.

所以∠EBF= ∠AHF =45°.