蔡磊

摘要：最短路徑問題是初中數(shù)學中的經(jīng)典問題，進行最短路徑問題分析需要綜合運用初中數(shù)學知識.常用的方法是借助軸對稱、平移等知識轉(zhuǎn)化，利用“兩點之間線段最短”求線段和的最小值，從而解決最短路徑問題.

關鍵詞：最短路徑;軸對稱;將軍飲馬

1 背景

經(jīng)過七年級一八年級上冊的數(shù)學學習，學生初步具備幾何變換以及建立數(shù)學模型的思想，初步獲得了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想這一解題技能，具備了自主探究、合作交流、分析歸納、猜想驗證的能力，但他們的邏輯思維能力和抽象能力還有待加強.最短路徑問題從本質(zhì)上說是極值問題，作為八年級的學生，在此之前很少接觸，也比較缺乏解決這方面問題的經(jīng)驗.特別是面對具有實際背景的最值問題，學生更會感到陌生、無從下手.

2 教學設計

2.1 內(nèi)容及內(nèi)容分析

本課是在學生學習了三角形、軸對稱之后，作為對全章的知識拓展提高的部分，是作為探究性學習的內(nèi)容，以課題學習的形式出現(xiàn).本課以“將軍飲馬”這一經(jīng)典數(shù)學問題為背景，進一步理解和掌握“兩點之間，線段最短”和軸對稱的性質(zhì).讓學生經(jīng)歷運用所學知識解決實際問題的過程，感悟數(shù)學的實際價值，初步了解數(shù)學轉(zhuǎn)化的思想，為以后學習更多的最短路徑問題，打下堅實的基礎.近年來最短路徑問題也是中考的熱點，而本課的教學是中考中這一類型題解決的基礎，因此有著相當重要的作用.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點是：能利用軸對稱解決簡單的“最短路徑”問題.

2.2 教學目標及目標分析

2.2.1 目標

（1）能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題;

（2）有機地把實際問題和數(shù)學模型統(tǒng)一使用，提高解決實際問題能力;

（3）能有效進行解決問題過程的反思，進一步獲得數(shù)學活動的經(jīng)驗，增強應用意識.

2.2.2 目標解析

目標（1）：在“兩點之間線段最短”這一數(shù)學事實的基礎上，鞏固所學過的軸對稱的性質(zhì)，從形象的實際問題中抽象出“最短路徑”問題的基本數(shù)學模型，體會軸對稱的“橋梁”作用;

目標（2）：經(jīng)歷對最短路徑問題的探究過程，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，加強綜合運用知識的能力;

目標（3）：在解決數(shù)學問題的過程中，能及時調(diào)整解題思路;在解決問題之后，能對這一類型題的使用背景、解題步驟、程序和方法進行總結(jié)歸納并會運用.

2.3 學情分析

對于直線同側(cè)的兩點和直線上的動點，怎樣確定動點的位置，使這一點到這兩點的距離之和最小.在本節(jié)課的探究過程中，學生可能會想到用求直線上一點到已知兩點的距離相等來切入，這是開始學習的一個誤區(qū).學生另一個較容易犯的錯誤是過一個點作關于直線的垂線段，再將垂足與另一個點連接，這是由于弄錯了“垂線段最短”這個定理的使用背景.應引導學生將這一數(shù)學問題與“做過的其他模型進行聯(lián)系和對比，引導學生把新知向1日知遷移.教師從“直線異側(cè)的兩點”過渡到“直線同側(cè)的兩點”是為學生搭建“腳手架”

在證明“最短”時，可以采用另選一個點作為“參照物”的方法，借助三角形三邊關系的定理進行證明，證明之后對這一類型題進行歸納：證明“最大”“最小”問題，可以構造一個“參照物”的點，將參照點的數(shù)量與所求的最值進行比較完成證明.需要注意的是，參照點選取應具有任意性和一般性，

由此，確定本節(jié)課的教學難點是：如何利用軸對稱的知識，將這一類問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”的問題

2.4 教學過程設計

2.4.1 創(chuàng)設情境，提出問題

師：多媒體出示圖1，提出問題：有一位將軍騎馬從軍營（點A）返回家中（點B，如圖1所示的三條路線，哪條最短？為什么？

生：學生回答，并說明理由，

教師總結(jié)：“兩點之間，線段最短”.也可以用“三角形兩邊之和大于第三邊”來解釋.

設計意圖 初步接觸實際背景的“最短路徑問題”，理解這一類型題用到的數(shù)學定理，為下一個問題做準備

2.4.2 實例分析，建立模型

多媒體出示問題1：如圖2，還是這位將軍，他騎馬從軍營（點A）出發(fā)，到一條筆直的河邊Z飲馬，然后回到家中（點B）.將軍在河的什么地方喂馬喝水，他走的路程最短？

生：動手操作，總結(jié)數(shù)學模型：當兩個點A、B分別位于直線l的兩側(cè)時，線段AB與直線Z的交點P就是所求的點.

設計意圖 讓學生進一步感悟“兩點之間，線段最短”這一基本事實在實際生活中的應用.

問題2：如圖3，還是這位將軍，如果他把家搬到了軍營同側(cè).將軍騎馬從軍營（點A）出發(fā)，到一條河邊Z喂馬喝水，然后回到家中（點B.將軍在什么地方喂馬喝水.他所走的路程之和最短？

生：自主探究、小組討論.

師：介紹將軍飲馬問題.將問題2與問題1進行比較：問題1是直線同側(cè)兩點;問題2是直線異側(cè)兩點，兩道題目所求的都是最短路徑——兩條折線之和.

設計意圖 小組交流協(xié)作，進一步培養(yǎng)學生解決問題的能力.

師生活動1：教師引導幾個不同的學生在黑板上畫出圖形，并說明各自的理由.學生討論得出解決思路：

（1）要想辦法把問題2轉(zhuǎn)化成問題1的圖形，解決問題.

（2）問題1是兩條折線在直線異側(cè).如何將同側(cè)折線轉(zhuǎn)化為異側(cè)折線，又不改變折線的長度？——把其中一條線段對稱到直線異側(cè)去，對稱并不會改變線段長度.

（3）在線段一個端點是定點（點B），另一個端點是動點（直線l上的動點）的前提下，如何將線段進行軸對稱至直線異側(cè)？——做定點關于動點所在直線的對稱點.

（4）完善作圖步驟：只要找到其中一個定點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個定點，與該直線的交點即為所求.

師生活動2：學生做出點C，教師引導學生歸納并寫出作法（如圖4）.

作法：①作點B關于直線l的對稱點B;

②連接AB，交直線Z于點C，則折線ACB就是最短的路線.

師生活動3：讓學生對剛才的方法通過邏輯推理的方法加以證明，引導學生不妨在直線上另外任取一點C'，連接AC、BC、B'C，證明AC +BC

證明如圖5，在直線l上，另外任取一點C，連接AC、BC、B'C，

由作圖可知，點B和點B關于直線Z對稱.

所以直線Z是線段BB的垂直平分線（軸對稱的性質(zhì)）.

因為點C與C在直線l上，

所以BC =BC，BC=BC（軸對稱的性質(zhì)）.

在△ABC中，AB

所以AC+BC

所以AC +BC

設計意圖從問題2中抽象出數(shù)學模型，理解和掌握知識的形成過程，鍛煉學生的邏輯思維.

2.4.3 應用模型，解決問題

練習1：如圖6，已知點P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點，你能在BC上確定一點R，使得△PQR的周長最短嗎？

師生活動：學生自主探究，小組討論得出做法：如圖7，由題意可知PQ的長度固定，所以要使得△PQR的周長最短，只需滿足PR+ QR最短即可.先做出點P關于BC的對稱點P，再連接P'Q，交BC于點R，點R即為所求.

師生活動：學生自主探究，小組討論得出做法：如圖9，先做出點D關于AC的對稱點：在正方形的背景下，點B與點D關于對角線AC對稱，點B即為對稱點，再連接BD，兩條對角線BD與AC的交點即為F點，此時PD+ PE= PB+ PE= BE= AB.已知正方形ABCD的面積為12，可求出邊長AB =2√3.所以PD+PE最小值為2√3，

設計意圖讓學生增強應用意識，進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法.

2.4.4 課堂小結(jié)，梳理歸納

（1）明確最短路徑問題的背景：直線同側(cè)有兩個定點，求直線上一個動點的位置，滿足動點到這兩個定點的距離之和最小.

（2）總結(jié)問題的解決方法：

（3）這種解決方法所用到的數(shù)學原理：軸對稱的性質(zhì)、兩點之間線段最短.

（4）歸納作圖方法：如圖10，①作點B關于直線l的對稱點B;②連接AB，交直線l于點C，則折線ACB就是最短路線.

設計意圖 提高學生反思過程的針對性，突出建立數(shù)學模型的思想方法.

2.4.5 思維拓展，課后思考

問題：如圖11，還是這位將軍，從軍營出發(fā)，先去草地邊（射線OA）喂馬吃草，再去河邊（直線Z）飲馬，最后回到軍營（點P）.問怎樣走路程最短？

設計意圖 應用本節(jié)課的知識解決問題，也為下一節(jié)課做好鋪墊.

2.4.6 布置作業(yè)

（1）基礎級;

（2）提高級;

（3）挑戰(zhàn)級，

設計意圖體現(xiàn)分層教學思想，符合“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的教學理念.

3 教學反思

（1）“最短路徑問題”共有12個模型，本節(jié)課只講了其中的2個模型及其運用.這節(jié)課對本學段的學生難度較大，但也是在為后續(xù)10個模型打基礎.所以本節(jié)課應從學生實際出發(fā)，以學生理解掌握為首要目的.寧可慢一點，不可貪快.

（2）如果兩點在一條直線異側(cè)時，過兩點的線段與原直線的交點處構成的線段的和最小.那如果是兩點在一條直線同側(cè)，求兩條線段之差的最大值呢？這些都可以用三角形三邊關系來推理說明，通常根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決.另外很多問題都可用此法解決，如臺球的運動軌跡、光線的反射路徑等.