廣東汕頭華僑中學(515000) 張應楷

廣東省東莞市麻涌中學(523000) 駱妃景

廣東省汕頭市澄海華僑中學(515800) 潘敬貞

1 引言

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確提出六大數(shù)學核心素養(yǎng)，包括數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模等.因此，有關“如何落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)水平”便成為當前數(shù)學教學研究的一個熱點問題.概率與統(tǒng)計解答題是高考全國卷多年來重點考查的內容，是考查學生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)的最佳素材.近三年高考全國I 卷理科數(shù)學概率與統(tǒng)計解答題背景源自生活實際，體現(xiàn)數(shù)學應用，廣大考生對試題背景熟悉，體現(xiàn)試題的公平性，設問新穎，有一定的綜合性與創(chuàng)新性，試題的解答綜合考查學生通過審題有效提取信息的能力、數(shù)據(jù)處理能力、抽象概括能力、推理論證能力、數(shù)學建模能力以及運算求解能力等.2018年高考全國I 卷理科數(shù)學概率與統(tǒng)計解答題排在試卷第20 題的位置，成為次壓軸題，因此本題值得我們研究思考.本文著重從數(shù)學核心素養(yǎng)的視角對該題進行思考分析，希望能夠為廣大一線教師拋磚引玉.

2 試題分析

2.1 試題再現(xiàn)

試題(2018年全國高考I 卷理科數(shù)學第20 題)某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200 件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格產品，則變換為合格品，檢驗時，先從這箱產品中任取20 件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p(0＜p ＜1)，且各件產品是否為不合格品相互獨立.

(1) 記20 件產品中恰有2 件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0.

(2) 現(xiàn)對一箱產品檢驗了20 件，結果恰有2 件不合格品，以(1)中確定的p0作為p值，已知每件產品的檢驗費用2 元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25 元的賠償費用.

(i) 若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX;

(ii) 以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產品做檢驗?

2.2 基于核心素養(yǎng)的試題分析

2.2.1 考查思路分析

該試題以廣大考生熟悉的產品是否合格抽樣檢驗，統(tǒng)計決策問題為背景，著重考查概率與統(tǒng)計概念本質的理解，考查數(shù)學應用與創(chuàng)新意識.試題結合函數(shù)與導數(shù)知識，通過研究概率統(tǒng)計學在生產實踐中的應用，考查學生審題整理數(shù)據(jù)、提取有效信息、構建模型、邏輯推斷、獲取結論的數(shù)據(jù)分析過程與能力，從而達到考查學生的數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模等數(shù)學學科核心素養(yǎng).

該試題通過運用n次獨立重復試驗基本概念，n次獨立重復試驗恰有k次發(fā)生的概率計算公式，二項分布及其數(shù)學期望計算等基礎知識，對試題中的條件“如檢驗出不合格產品，則變換為合格品”，“設每件產品為不合格品的概率都為p(0＜p ＜1)，且各件產品是否為不合格品相互獨立”，“已知每件產品的檢驗費用2 元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25 元的賠償費用”進行數(shù)據(jù)分析、信息整合、邏輯推理，找到問題解決的突破點，體現(xiàn)了試題對學生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理核心素養(yǎng)的考查.通過“現(xiàn)對一箱產品檢驗了20 件，結果恰有2 件不合格品，以(1)中確定的p0作為p值”這一條件，抽象數(shù)學問題準確識別二項分布概率分布模型Y ～B(180,0.1)，運用數(shù)學期望的線性運算EX=E(40+25Y)求隨機變量X的期望值，體現(xiàn)了試題對數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的考查.通過構建超過三次的多項式函數(shù)模型f(p)=(1-p)18，運用導數(shù)知識求最大值點，體現(xiàn)了試題對學生數(shù)學建模、數(shù)學運算核心素養(yǎng)的考查.另外試題最后一問通過獲取的結論進行數(shù)據(jù)分析，邏輯推斷決策，體現(xiàn)了試題對學生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理核心素養(yǎng)，統(tǒng)計決策思維的考查.

2.2.2 解答思路分析

依據(jù)數(shù)據(jù)分析，信息整合，邏輯推理，第一問由“從這箱產品中任取20 件作檢驗，每件產品為不合格品的概率都為p”，結合n次獨立重復試驗恰有k次發(fā)生的概率計算公式即可求出20 件產品中恰有2 件不合格品的概率f(p)=(1-p)18，并對f(p)求導，運用導數(shù)知識求最大值點的方法，即可求出f(p)的最大值點p0，并注意p的取值范圍.

第二問由“現(xiàn)對一箱產品檢驗了20 件，結果恰有2 件不合格品，以(1)中確定的p0作為p值”獲取第一問結論，運用二項分布期望值求解公式求出檢驗費用與賠償費用和的期望值并進行決策判斷，設余下的180 件產品中不合格品的件數(shù)為Y，則Y服用二項分布Y ～B(180,0.1)，運用二項分布的期望計算公式求出EY，進而通過Y與X的線性關系X=25Y+4，數(shù)學期望的線性運算EX=E(40+25Y)求出EX.求出檢驗余下所有產品的總費用，再與EX比較，即可進行決策判斷，為生產提供理論依據(jù).

2.2.3 解答過程

解析(1) 20 件產品中恰有2 件不合格品的概率為f(p)=(1- p)18.因此f′(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=(1- p)17(1-10p).令f′(p)=0，得p=0.1.當p ∈(0,0.1)時，f′(p)＞0;當p ∈(0.1,1)時，f′(p)＜0.即f(p)在(0,0.1)上是增函數(shù)，在(0.1,1)上是減函數(shù).所以f(p)的最大值點為p0=0.1.

(2) 由(1)知，p=0.1.

(i) 令Y表示余下的180 件產品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y ～B(180,0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y.所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii) 如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400 元.由于EX＞400，故應該對余下的產品作做檢驗.

3 2019年高考概率統(tǒng)計備考啟示

3.1 把握高考向與命題命脈

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復習備考中要研究真題，把握高考考向與命題命脈.通過對近三年高考全國I 卷理科數(shù)學概率與統(tǒng)計解答題的試題背景、命題角度、問題解決的突破點對比分析，高考全國卷對概率與統(tǒng)計內容的考查經歷了由偏重概率，到概率與統(tǒng)計結合，到偏重統(tǒng)計，試題背景源于實際，背景公平，重點是產品檢驗，為生產提供理論依據(jù).從命題角度來看，試題側重考查統(tǒng)計規(guī)律，并通過隨機現(xiàn)象聯(lián)系概率，對樣本數(shù)據(jù)的頻率(概率)及其分布進行考查，不僅能很好地考查學生對概率與統(tǒng)計本質的理解，也能很好地突出學生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模等能力的考查.因此，概率教學要立足隨機試驗，突出隨機現(xiàn)象規(guī)律的把握，重點是隨機變量，概率模型是關鍵;統(tǒng)計教學要體現(xiàn)統(tǒng)計的過程，突出統(tǒng)計思想，重點是統(tǒng)計案例，統(tǒng)計模型是關鍵.

3.2 關注考綱考點的變化，注重概率統(tǒng)計與其他知識的綜合性練習

命題專家教育理念先進，博學多聞，專業(yè)知識深厚，往往能命制出契合課程改革精神，源于教材高于教材，生活實際背景下的概率與統(tǒng)計解答題.近三年高考全國I 卷理科數(shù)學概率與統(tǒng)計解答題考查的知識點比較不穩(wěn)定，每年都有變化，甚至會考查教材中邊角冷門的知識，弱化計數(shù)問題，以往考查的求隨機變量的分布列、方差與期望、頻率分布直方圖、樣本數(shù)字特征等套路題不再是熱門主角.近幾年試題基本上都是結合生產決策問題，側重數(shù)據(jù)分析處理，統(tǒng)計思想，突出應用、創(chuàng)新意識，還會在概率與統(tǒng)計內容與其他知識交匯處設置做文章.例如2018年的高考全國I 卷概率與統(tǒng)計解答題與函數(shù)導數(shù)內容綜合考查，2016年的試題與不等式交融考查.因此在復習備考中要注重概率與統(tǒng)計內容與其他知識，比如不等式、函數(shù)、導數(shù)等綜合性練習，強化知識之間的關聯(lián)與融合，舉一反三，提高學生靈活運用知識分析解決問題與解決問題的能力，培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).

3.3 關注問題情境，重視概念本質的理解

近三年高考全國I 卷概率統(tǒng)計解答題雖然試題千變萬化，字符數(shù)多，信息量大，難度較大，但還是緊扣教材，考查概率統(tǒng)計的基礎知識、基本方法和基本原理.因此在復習備考中要以教材為藍本，緊扣考綱，重視基本概念本質的教學，讓學生了解概念的念來龍去脈.對一些核心概念要貫穿高中數(shù)學教學始終，例如2016年高考全國I 卷理科數(shù)學解答題中的頻數(shù)、頻率、柱狀圖，2017年試題中的正態(tài)分布，2018年試題中的二項分布等概念都是高考中?？嫉暮诵母拍?，將核心概念置于合適的情境中，用合適的問題情境幫助學生逐步理解，引導學生經歷具體的問題情境抽象數(shù)學概念的全過程，充分挖掘概念的內涵及外延，然后使學生在初步的運用中逐步理解概念的本質.合適的問題情境不但能夠讓學生把數(shù)學與實際生活緊密聯(lián)系起來，增強應用意識，而且它是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的絕佳載體，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的提升.在學生理解數(shù)學基本概念后，要引導學生構建知識脈絡，概率統(tǒng)計中的有關概念可用三條主線串聯(lián)起來.

主線I：統(tǒng)計的基本研究過程：收集數(shù)據(jù)→整理數(shù)據(jù)→分析數(shù)據(jù)→統(tǒng)計推斷

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主線II：隨機事件的基本研究過程：隨機事件→事件概率→基本概型

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主線III：隨機變量的基本研究過程：隨機變量→概率分布→分布模型

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在幫助學生理解概念本質，構建知識脈絡的基礎上，教師還要通過教材中的典型例題、習題引導學生進行重點練習，讓學生充分經歷數(shù)據(jù)分析、處理的全過程，在此過程中學習數(shù)據(jù)分析、處理的方法，理解邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模的思路，運用所學的知識與方法解決生活實際問題，為生產決策提供理論依據(jù)，提高學生應對試題創(chuàng)新變化，看破迷霧，抓住本質的能力，培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算核心素養(yǎng).

3.4 重視思想方法教學，滲透模型化思想

概率與統(tǒng)計內容中蘊藏著豐富的數(shù)學思想方法，例如化歸轉化，數(shù)形結合，分類討論等，也有概率統(tǒng)計中特有的抽樣思想，隨機變量思想，大數(shù)定律思想等，因此在復習備考中要重視思想方法的教學，尤其是核心素養(yǎng)的培養(yǎng).隨著新一輪課程改革，對數(shù)學學科六大核心素養(yǎng)的界定，高考試題將以核心素養(yǎng)立意.近三年高考全國I 卷理科數(shù)學概率與統(tǒng)計解答題情境設置貼近生活實際，主要考查數(shù)學基本思想，發(fā)展學生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)為目標，體現(xiàn)了新一輪課程改革中加強數(shù)學的實踐性、應用性的特點.然而學生的得分情況都不理想，甚至連試題都看不懂，使得學生談起概率與統(tǒng)計解答題心中便產生恐懼心理，其主要原因是學生對概率統(tǒng)計的概念本質缺乏透徹的理解，對數(shù)學思想方法理解的不夠透徹，數(shù)據(jù)分析處理能力欠佳，數(shù)學抽象能力不足，數(shù)學建模意識不強，“恐于抽象推理，怕于建模應用”是當前學生面對高考全國卷概率統(tǒng)計解答題的普遍心理現(xiàn)象.在復習備考中教師要通過滲透模型化思想，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，發(fā)展數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模能力.例如高考?？嫉膬深愖罨镜碾x散型隨機變量服從分布的二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布，教師應該通過具體的實例，讓學生經歷問題解決的過程真切感悟超三者的異同點，倘若試題中給出一個隨機變量，則先考慮其是否服用二項分布、超幾何分布、或正態(tài)分布，或者其他的分布，倘若是兩個隨機變量，則要判斷該研究獨立性檢驗問題還是線性相關問題，進而培養(yǎng)學生抽象問題正確識別概率分布模型的能力，增強模型意識.比如2018年高考全國I卷理科數(shù)學解答題中學生得通過“現(xiàn)對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2 件不合格品，以(1)中確定的p0作為p值”這一條件快速準確識別出該箱余下的180 件產品中不合格品的件數(shù)服用二項分布.

3.5 注重語言表述的規(guī)范性

高考概率與統(tǒng)計解答題主要考查數(shù)學應用問題，往往需先將情境問題抽象為數(shù)學模型，再對數(shù)學模型進行數(shù)據(jù)分析、處理，邏輯推理得到數(shù)學結論，再運用數(shù)學結論回答實際問題.中間必然缺少不了數(shù)學語言與自然語言的互譯轉化.因此在復習備考中要重視重視解題格式的訓練，做到文字符號要準確，語言表述要規(guī)范，邏輯推理要嚴謹清晰.在平時的教學中教師要適當示范解題過程，并強調學生解題格式書寫的易錯易漏等不規(guī)范的地方.例如求離散型隨機變量的分布列時，先要寫出隨機變量的所有可能取值，再求出隨機變量的每個取值對應的概率，并且要列式寫出過程，最后列表寫出隨機變量的分布列，最后檢驗各列的概率之和是否等于1.這樣規(guī)范步驟作答，輔以相應的文字說明，將會有效提高概率統(tǒng)計題的得分率.又比如2018年試題解答中有部分考生直接寫出X的數(shù)學期望EX=40+180××25=490，沒有表述二項分布，這樣書寫不但不規(guī)范，而且依據(jù)不充分，邏輯不清晰，思維不嚴謹，導致失分.

3.6 加強數(shù)據(jù)處理能力與數(shù)學運算能力的培養(yǎng)

近三年全國I 卷理科數(shù)學概率與統(tǒng)計解答題字符數(shù)多，條件繁瑣復雜，有文字閱讀，也有數(shù)學統(tǒng)計圖表閱讀，突出閱讀與數(shù)據(jù)處理，信息整合能力考查.因此在復習備考時要結合典型實例，給學生充分閱讀，再讓學生表述，分析條件，發(fā)展學生數(shù)據(jù)處理核心素養(yǎng).概率統(tǒng)計解答題對學生運算綜合能力要求也比較高，其實不僅僅是概率統(tǒng)計內容，其他內容學生也有因計算錯誤失分的現(xiàn)象.這種因計算錯誤失分，看似偶然，其實不然，問題的根癥就在平時不重視數(shù)學運算能力的培養(yǎng).因此在復習備考中一方面要引導學生學會相應的運算方法，另一方面要讓學生經歷運算的全過程，培養(yǎng)數(shù)學運算核心素養(yǎng)，養(yǎng)成細致耐心的良好計算習慣.如2018年高考全國I 卷理科數(shù)學概率統(tǒng)計解答題中求導得式子比較長，一不小心就會出錯.

3.7 精選備考素材，落實核心素養(yǎng)

在復習備考過程中，概率與統(tǒng)計解答題的備考選材質量直接體現(xiàn)一個教師對高考的理解水平，直接影響著備考的質量.因此，備考選材就顯得非常關鍵，在選材時需要注意五個問題，第一是要真題引領，試題所研究的最好是統(tǒng)計問題，加強學生對統(tǒng)計的認識，內化統(tǒng)計思想，即局部(樣本)推斷整體(總體).第二是不要拘泥于只研究概率與統(tǒng)計內容中的某個具體的知識點或統(tǒng)計過程中的某個局部問題，否則會影響學生對收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、統(tǒng)計推斷等統(tǒng)計過程的理解.第三是不要因為概率與統(tǒng)計解答題的解答對運算求解能力有較高的要求而誤認為概率與統(tǒng)計解答題是“套公式”，忽視對統(tǒng)計過程的理解而過度機械計算的訓練(計算并非是統(tǒng)計的主要內容，只是獲取數(shù)據(jù)或得到模型而采取的一種手段而已)，如此的備考思想將會偏離概率與統(tǒng)計的核心，學生也不能很好的體會統(tǒng)計過程，更不能理解隨機思想和統(tǒng)計思想.第四是所選的素材一定源于實際生活，因為不真實的隨機案例會影響了隨機思想和統(tǒng)計思想的形成，不能立足思想層面.第五是重視典型案例的分析研究，建議選取產品檢驗或抽象背景的試題，要全過程透徹的研究，以及變式訓練等.只有這樣方可真正實現(xiàn)精準備考，提升學生數(shù)學綜合能力，發(fā)展學生核心素養(yǎng)水平.