廣東省廣州市鐵一中學(xué)(510600) 韓曉雪

一、“模塊融合”教學(xué)實(shí)驗(yàn)背景介紹

“模塊融合”是筆者所在課題組進(jìn)行的一項(xiàng)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)驗(yàn).該實(shí)驗(yàn)嘗試將初中數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行“模塊”劃分，然后通過教材重組實(shí)現(xiàn)模塊間的融合.該教學(xué)實(shí)驗(yàn)突出表現(xiàn)在將函數(shù)作為初中代數(shù)部分的敲門磚，將函數(shù)和一次函數(shù)的內(nèi)容拆分成幾部分，分別放入七年級(jí)“代數(shù)式”“一元一次方程”“二元一次方程組”和“一元一次不等式”章節(jié)中，實(shí)現(xiàn)在七年級(jí)進(jìn)行函數(shù)模塊的知識(shí)螺旋上升，同時(shí)利用函數(shù)知識(shí)引入方程、不等式概念，并利用函數(shù)圖像的數(shù)形結(jié)合性解決方程、不等式的相關(guān)問題.類似的在八九年級(jí)實(shí)現(xiàn)分式方程和反比例函數(shù)、一元二次方程和二次函數(shù)的模塊融合.該教學(xué)實(shí)驗(yàn)旨在融合，通過教材重組的課堂教學(xué)實(shí)驗(yàn)更有效的實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”.

二、課本例題常規(guī)教學(xué)困難分析

筆者在進(jìn)行“一次函數(shù)與一元一次不等式”章節(jié)的講義編寫過程中，參考了新人教版七年級(jí)(下)第九章《一元一次不等式(組)》的教材內(nèi)容.在教材的重組過程中關(guān)注到課本的一道例題：甲、乙兩家商場以相同的價(jià)格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場累計(jì)購物超過100 元后，超出100 元的部分按90%收費(fèi);在乙商場累計(jì)購物超過50 元后，超出50 元的部分按95%收費(fèi)．顧客到哪家商場購物花費(fèi)少?

該例題出現(xiàn)在9.2.2 實(shí)際問題與一元一次不等式中，可以說是一道課堂教學(xué)中非常頭疼的題目，其主要困難表現(xiàn)在與學(xué)生的既有知識(shí)系統(tǒng)和解題能力不匹配.眾多教師反應(yīng)，該例題在中等程度班級(jí)教學(xué)中，往往要耗費(fèi)大量時(shí)間，最終教學(xué)效果僅停留于理解題目解答，而不能掌握方法更難以靈活運(yùn)用于它題.在教師引導(dǎo)學(xué)生思考的過程中，其思維障礙有以下幾點(diǎn)：1、題目條件過于繁瑣，題目中雖然只出現(xiàn)4 個(gè)數(shù)據(jù)，但隸屬兩個(gè)不同方案，而且每種方案都有一次分段，造成學(xué)生讀題困難.2、問題提問方式開放，一般題目都是問一個(gè)量的多少，而這道題問到哪家商場購物花費(fèi)少，不少學(xué)生根本不知道該將什么量進(jìn)行比較，從而無從下手.3、題目涉及雙重分類，第一重分類為什么要把消費(fèi)50 元和100 元作為分類的截點(diǎn)，第二重分類為什么要比較兩店花費(fèi)的三種情況，這兩個(gè)重要問題是這道例題的解題關(guān)鍵，但即使老師合理引導(dǎo)，也會(huì)有很大一部分學(xué)生無法自主探究得到.以上困難究其原因是教材設(shè)計(jì)的不合理，在一元一次不等式的解法剛剛結(jié)束，沒有任何鋪墊和引導(dǎo)，突然出現(xiàn)一道如此難度的實(shí)際問題，就好像在學(xué)生面前突然立起一道陡峭的山梁，而又沒有給予合理的攀爬路徑.

三、“模塊融合”教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及課堂呈現(xiàn)

(一) 教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

針對以上分析的課堂教學(xué)困難，筆者在進(jìn)行講義編寫時(shí)，結(jié)合“模塊融合”的理念，對本章教材作出以下調(diào)整：

調(diào)整1 類似于“一元一次方程”和“二元一次方程組”，用函數(shù)引入“一元一次不等式”概念.例如：引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)y=0.3x+6 得到不等式0.3x+6＜7.5.

調(diào)整2 在《實(shí)際問題與一元一次不等式》這一節(jié)課中，自行設(shè)計(jì)了兩道例題，一道為簡單不等式的應(yīng)用，一道為簡單的方案選擇問題.

調(diào)整3 在實(shí)際問題后設(shè)計(jì)融合課程《一次函數(shù)與一元一次不等式》.例如：某電信局收取網(wǎng)費(fèi)如下：A 網(wǎng)費(fèi)為每小時(shí)3 元;B 網(wǎng)費(fèi)為每小時(shí)2 元，但要收取每月基本費(fèi)15 元．設(shè)每月上網(wǎng)總費(fèi)用為y(單位：元)，上網(wǎng)時(shí)間為x(單位：時(shí))．分別求兩種上網(wǎng)方式中y與x的函數(shù)關(guān)系式.若選擇B 網(wǎng)費(fèi)模式，則上網(wǎng)時(shí)間x滿足什么條件才合算?A：y1=3x;B：y2=2x+15，顯然x≥0，這里涉及兩個(gè)一次函數(shù)，我們在同一坐標(biāo)系中做出圖像如圖1.在圖像上我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=15 時(shí)，y1=y2=45，兩圖像交于一點(diǎn).而要求B 網(wǎng)費(fèi)模式更合算，即y1＞y2，則對應(yīng)圖像右上段，y2=2x+15 的圖像位于y1=3x的圖像的下方，即交點(diǎn)(15,45)的右側(cè)圖像范圍，因此得到此時(shí)x＞15.

圖1

調(diào)整4 給出上文涉及的“甲乙商場選擇”問題，并且由教師指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)——提出——解決問題三步走.下文課堂呈現(xiàn)會(huì)具體論述.

(二)“甲乙商場選擇”問題課堂呈現(xiàn)

該實(shí)驗(yàn)課程由課題組中七年級(jí)教師在實(shí)驗(yàn)班操作完成，筆者作為聽課教師參與并記錄了該問題在課堂中的呈現(xiàn)情況.

環(huán)節(jié)1 分小組討論題目條件，自行提出與解題有關(guān)的問題.通過學(xué)生有序討論并發(fā)言，總結(jié)出以下關(guān)鍵問題：問題1：若要作比較，那在兩家商場的花費(fèi)與哪個(gè)量有關(guān)? 問題2：如果原購物款為x元，能得到兩家商場的花費(fèi)與x之間的函數(shù)嗎? 問題3：如何比較這兩個(gè)函數(shù)的大小?

環(huán)節(jié)2 學(xué)生獨(dú)立思考，逐一解決以上問題，并展示題目解答.部分學(xué)生基于《實(shí)際問題與一元一次不等式》中的已學(xué)過的簡單方案選擇問題，提出與上文教材解答方法一致的過程.在教師巡視課堂中也發(fā)現(xiàn)了不少學(xué)生采用函數(shù)方法解答，并邀請一位學(xué)生展示，其基本思路如下：

把富集培養(yǎng)液進(jìn)行梯度稀釋，并涂布于無機(jī)鹽培養(yǎng)基平板，挑取10株單菌落劃線純化，并接入無機(jī)鹽液體培養(yǎng)基中，30℃靜置培養(yǎng)15 d，0.2 μm濾膜過濾，取濾液進(jìn)行氣相色譜檢測[6]。

(1) 當(dāng)累計(jì)購物不超過50 元，兩商場一樣;

(2) 超過50 元而不超過100 元時(shí)，明顯選乙;

(3) 超過100 元時(shí)，設(shè)累計(jì)購物x元(x＞100).可得甲商場：y1=100+0.9(x-100)=0.9x+10，乙商場：y2=50+0.95(x-50)=0.95x+2.5.分別計(jì)算x=100和x=200 時(shí)的函數(shù)值，做出兩個(gè)一次函數(shù)圖像，如圖2是學(xué)生課堂所做草圖.

圖2

通過圖像發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＞100 時(shí)有交點(diǎn)，在交點(diǎn)兩側(cè)呈現(xiàn)不同的大小關(guān)系，因此利用0.9x+10=0.95x+2.5 求兩函數(shù)交點(diǎn)(150,145)，由圖像可得當(dāng)x=150 時(shí)，y1=y2=145，此時(shí)兩家商場一樣，當(dāng)x ＜150 時(shí)，y1＞y2，此時(shí)乙商場更便宜，當(dāng)x＞150 時(shí)，y1＜y2，此時(shí)甲商場更便宜.

該方法利用函數(shù)圖像清晰明快的解決了為什么在消費(fèi)超過100 元時(shí)要分類得出三種選擇.利用函數(shù)的數(shù)形結(jié)合性直觀展示了代數(shù)實(shí)際問題的思維難點(diǎn)，提示了分類的必要性.

環(huán)節(jié)3 思維拔高，學(xué)生提出新解答.在老師肯定了環(huán)節(jié)2 中學(xué)生的方法后，有學(xué)生提出另一種全新的思考方法，他說既然我們用函數(shù)圖像清晰的顯示了超過100 元后兩商場消費(fèi)的情況，那能否把前兩種情況也都直觀的表示出來呢? 于是在教師的帶領(lǐng)下，學(xué)生們思考上述問題，并做出以下解答：設(shè)累計(jì)購物x元.可得甲商場：當(dāng)x≤ 100 時(shí)，y1=x; 當(dāng)x＞100 時(shí)，y1=100+0.9(x-100)=0.9x+10;乙商場：當(dāng)x≤50 時(shí)，y2=x;當(dāng)x＞50 時(shí)，y2=50+0.95(x-50)=0.95x+2.5.在同一坐標(biāo)系做出圖像，如圖3為課堂上學(xué)生所做草圖.

圖3

兩函數(shù)圖像有一段重疊，是當(dāng)0＜x≤50 時(shí)，此時(shí)甲乙兩商場一樣; 由上一環(huán)節(jié)的學(xué)生解法可知，兩函數(shù)圖像有另一交點(diǎn)，為(150,145)，由圖像可得：當(dāng)x=150 時(shí)，y1=y2=145，此時(shí)兩家商場一樣;當(dāng)x ＜150 時(shí)，y1＞y2，此時(shí)乙商場更便宜;當(dāng)x＞150 時(shí)，y1＜y2，此時(shí)甲商場更便宜.

對于學(xué)生有這樣的思維碰撞，產(chǎn)生這樣的解答，教師給予了表揚(yáng)，也同時(shí)關(guān)于該題做出總結(jié)：方案選擇實(shí)際上是兩個(gè)不同函數(shù)之間的大小比較，那么只要先弄清楚這兩個(gè)函數(shù)是什么，再比較就簡潔明了，而函數(shù)圖像是比較大小的直觀展現(xiàn)，也許我們未來遇到的問題會(huì)更復(fù)雜，但利用函數(shù)解決這類方案選擇問題都不失為一種好方法.

四、結(jié)合上例的“模塊融合”有效性探究

(一)“模塊融合”促進(jìn)學(xué)生自主“知識(shí)建構(gòu)”

從知識(shí)系統(tǒng)角度上，數(shù)學(xué)知識(shí)既是離散的，又是連續(xù)的.如何將離散的數(shù)學(xué)知識(shí)變成連續(xù)的知識(shí)鏈，是教材開發(fā)和教學(xué)實(shí)踐的重要目標(biāo).基于教學(xué)內(nèi)容和難度螺旋上升，也基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的獲得感，我們不能刻意的將同一知識(shí)鏈的內(nèi)容強(qiáng)行安排在一起.而“模塊融合”的教學(xué)實(shí)踐，著眼于知識(shí)鏈中的“鏈”，合理安排課程和教學(xué)，更有利于學(xué)生知識(shí)鏈的形成.

在上例中，筆者在進(jìn)行教材藍(lán)本運(yùn)用過程中，調(diào)整1 中函數(shù)引入設(shè)計(jì)，合理設(shè)計(jì)實(shí)踐問題，把函數(shù)和不等式有效整合，打破概念之間的隔閡，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的角度理解不等式，在學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)有機(jī)的建立起兩者之間的聯(lián)系;調(diào)整2中，先不討論上文涉及的“甲乙商場選擇”問題，而是自行設(shè)計(jì)了兩道例題，讓學(xué)生從易到難接觸一元一次不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，特別是用函數(shù)的角度理解不等式的應(yīng)用，從函數(shù)圖象角度觀察不等式的解集范圍，形成一定的解題能力基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)從認(rèn)識(shí)到理解應(yīng)用的能力升華.調(diào)整3 中，增加一個(gè)課時(shí)，為融合課程《一次函數(shù)與一元一次不等式》，在其中進(jìn)行例題設(shè)計(jì)，比如上文提及的網(wǎng)費(fèi)選擇問題，較之“甲乙商場選擇”問題函數(shù)更簡單，圖象更清晰，學(xué)生更易理解和運(yùn)用，幫助學(xué)生從函數(shù)圖像角度深化一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)代數(shù)知識(shí)的幾何內(nèi)化.基于以上設(shè)計(jì)，完成融合課程后，給出上文涉及的“甲乙商場選擇”問題.學(xué)生經(jīng)歷之前的融合建構(gòu)知識(shí)系統(tǒng)過程，在已有的知識(shí)和方法基礎(chǔ)上，解決這一問題就變得不是那么困難了.

“模塊融合”教學(xué)實(shí)踐在課程設(shè)置中，進(jìn)行了知識(shí)內(nèi)容的調(diào)整，同一模塊按知識(shí)建構(gòu)順序排列，形成一條知識(shí)鏈，有利于學(xué)生的縱向知識(shí)架構(gòu).同時(shí)不同章節(jié)采用類似的引入探究等設(shè)置，有利于學(xué)生在知識(shí)建構(gòu)過程，體會(huì)數(shù)學(xué)的共通性及關(guān)聯(lián)性.其原因除了來源于知識(shí)內(nèi)容的相似性，也是本著利于學(xué)生知識(shí)建模的方向完成.

數(shù)學(xué)是知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)性非常強(qiáng)的科目，知識(shí)之間既有橫向的平推，又有縱向的深入，因而數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程實(shí)際上是一個(gè)三維知識(shí)系統(tǒng)的建立.對于學(xué)生來說，三維知識(shí)系統(tǒng)的建立就如同建構(gòu)一座知識(shí)大廈，每層知識(shí)是什么內(nèi)容，上下知識(shí)如何聯(lián)結(jié)，這些都是決定了知識(shí)系統(tǒng)是否合理堅(jiān)固的重要因素.所以，“模塊融合”在有效建立知識(shí)鏈的同時(shí)，還有效挖掘知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，把鏈變成網(wǎng)，從而有利于學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)系統(tǒng).

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過“能把書從薄變厚，又能把書從厚變薄”，我們進(jìn)行模塊內(nèi)融合就是希望學(xué)生能學(xué)會(huì)多角度多層次看問題，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，將知識(shí)像樹木生長一樣，由主干延伸構(gòu)建合理完善的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，從而更有利于知識(shí)的抽取和綜合應(yīng)用.

(二)“模塊融合”促進(jìn)學(xué)生良好的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”

在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)被提到一個(gè)相當(dāng)?shù)母叨?，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不僅表現(xiàn)在能解題上，更體現(xiàn)在其數(shù)學(xué)理解和應(yīng)用能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力，注意學(xué)生的情感態(tài)度的發(fā)展.“模塊融合”緊扣新課程有標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)思想，從這一思路出發(fā)，尋求“模塊間融合”的課程設(shè)置，以培養(yǎng)學(xué)生良好的“數(shù)學(xué)能力”.

在上文的課堂呈現(xiàn)中，我們能清楚感受到“模塊融合”教學(xué)促進(jìn)了學(xué)生“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的形成.環(huán)節(jié)1 改變了以往課堂的問題解決方法，而是由學(xué)生提出問題，其可行性來源于前面幾節(jié)課的融合課程的鋪墊，學(xué)生對于用函數(shù)解決方案問題有了一定的認(rèn)識(shí)和體會(huì)，其感性認(rèn)識(shí)已提升到一定的高度.所以學(xué)生可以成功的提出問題，其“推理能力”已然展現(xiàn)，而教師需要做的只是將學(xué)生提出的各個(gè)問題進(jìn)行歸納和總結(jié)，變成三個(gè)有層次有遞近的關(guān)鍵問題.環(huán)節(jié)2 中，與傳統(tǒng)的班級(jí)教學(xué)比較，從函數(shù)的角度理解這一不等式的應(yīng)用問題，部分學(xué)生已能比較順利的得到實(shí)際花費(fèi)與購物原價(jià)之間的關(guān)系，能比較深刻的理解兩個(gè)變量之間的變化聯(lián)系.在構(gòu)造函數(shù)的過程中，發(fā)現(xiàn)變量的分段性質(zhì)，從而順利實(shí)現(xiàn)分類，突破了原教材中“分類思想”的思維起點(diǎn)和障礙.之后用函數(shù)的方式在每一分類中，進(jìn)行兩個(gè)函數(shù)的比較，特別是從圖象角度理解，充分展示了學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想的內(nèi)化.而環(huán)節(jié)3 可以說是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)亮點(diǎn)體現(xiàn)，不同于之前學(xué)生的先分類再構(gòu)造函數(shù)的方法順序.學(xué)生根據(jù)“實(shí)際花費(fèi)隨著購物原價(jià)的變化而變化”這一特征，分析得到這兩變量之間存在一定的關(guān)系，即函數(shù).從而直接得到“分段函數(shù)”，再利用兩分段函數(shù)的圖象進(jìn)行非常形象的比較.學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、分析能力、推理能力都在這一過程中得以體現(xiàn).當(dāng)然雖然只是少數(shù)學(xué)生的思維能力激發(fā)，但也從一定程度上反映了“模塊融合”教學(xué)促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.

“模塊融合”從“利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力形成”這一思路入手，進(jìn)行模塊間融合，將不同模塊的內(nèi)容串通起來，實(shí)現(xiàn)其數(shù)學(xué)本質(zhì)的聯(lián)結(jié).同時(shí)打破現(xiàn)有的模塊劃分，將不同模塊內(nèi)容放在一起，雖然需要學(xué)生更高的學(xué)習(xí)能力，但可以達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果，從而同時(shí)培養(yǎng)了更多核心概念，進(jìn)而提升了學(xué)生的綜合運(yùn)用水平.使得數(shù)學(xué)模塊之間不再是割裂的個(gè)體，而融合成為統(tǒng)一的數(shù)學(xué)整體.正如上文所述，學(xué)生通過函數(shù)與不等式的融合學(xué)習(xí)，潛移默化中培養(yǎng)了數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和推理能力，所以才能在解決上述問題的過程中，不斷嘗試不斷探究，形成課堂上的發(fā)散與創(chuàng)新.當(dāng)然以上嘗試對于學(xué)生理解和接受能力提出了更高的要求，學(xué)生一旦接受并領(lǐng)悟之后，將非常有利于其數(shù)學(xué)能力的形成，也將使學(xué)生在未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中終身受益.