陳萬付，梅孔椿

1 引言

猶豫區(qū)間直覺語言型Z-number是在語言型Z-number基礎(chǔ)上拓展而來的，一個語言型Z-numberZ=(A,B)第一部分A是對事件的模糊限制，第二部分B是對第一部分的可靠性度量，當(dāng)A為區(qū)間直覺語言型變量，且B亦是一種語言型變量集合，則Z=(A,B)即為一個猶豫區(qū)間直覺語言型Z-number(HIILZN)，它亦是處理現(xiàn)實世界多屬性決策的重要工具。文獻[1]提出了語言型變量的概念以來，語言型模糊數(shù)已被廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計決策，系統(tǒng)工程，模式識別等領(lǐng)域。文獻[2]提出了不確定語言型變量，并基于語言型偏好關(guān)系提出了語言型變量的集結(jié)算子，這為語言型模糊數(shù)的決策提供了便利。文獻[3]提出了Z-number的概念，拓展了決策方法，這使得決策更加科學(xué)系統(tǒng)。文獻[4]提出了一些Z-number的算子，文獻[5]提出了語言型集合的語言評估尺度，將語言型集合轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值，為比較語言型模糊集之間的優(yōu)劣性提供了有力的工具。文獻[6]在傳統(tǒng)模糊集的基礎(chǔ)上進行了拓展，提出和介紹了直覺模糊集的概念，這使得利用模糊集在處理決策的模糊性和不確定性等方面更具靈活性和實用性。文獻[7]研究了屬性值為三角直覺模糊數(shù)的多屬性決策問題，提出了在直覺模糊信息下基于權(quán)重函數(shù)的決方法。文獻[8]針對屬性值為區(qū)間灰色不確定語言評價信息的多屬性群決策問題，定義了三種幾何加權(quán)集結(jié)算子，并將群決策方法進行了實際的應(yīng)用。 文獻[9]和文獻[10]在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了新的語言型尺度函數(shù)，并運用在猶豫不確定語言型Z-number中，為語言型模糊集在實際決策應(yīng)用做出了貢獻。文獻[11]將模糊集的熵、交叉熵等推廣到猶豫模糊環(huán)境下，并給出猶豫模糊集的熵和交叉熵測度，并討論了猶豫模糊集的熵、相似度以及交叉熵之間的關(guān)系。

2 知識準(zhǔn)備

2.1 語言型集合

假設(shè)S={si|i=0,1,2,…,2m}是一個包含奇數(shù)個離散有序語言型術(shù)語的集合，m是正整數(shù)，si(i=0,1,2,…,m)代表語言型變量的一個可能值。比如當(dāng)m=4，S可表示為S={s0=極度貧窮，s1=非常貧窮，s2=貧窮，s3=稍微貧窮，s4=一般，s5=稍微好，s6=好，s7=非常好，s8=極其好}，且對于兩個語言型變量si和sj滿足以下三個性質(zhì)[1]：

(1)當(dāng)si≤sj,當(dāng)且僅當(dāng)i≤j；

(2)當(dāng)i≤j時，min(si,sj)=si，max(si,sj)=sj；

(3)遵守互補運算：neg(si)=sj，當(dāng)i+j=2m時。

2.2 語言型Z-numbers

定義2.2.1一個Z-numberZ(A,B)，X表示的是一個隨機事件，第一部分A是對X的評價，B表示的是A可靠性的程度。當(dāng)A和B都是語言型術(shù)語時，Z-numberZ(A,B)便是一個語言型Z-number。比如{中國的高鐵系統(tǒng)，非常好，非常確定}就是一個語言型Z-number，其中X=中國的高鐵系統(tǒng)，A=非常好，B=非常確定。

2.3 猶豫區(qū)間直覺語言型Z-numbers

猶豫區(qū)間直覺語言型Z-number(HIILZN)是在語言型Z-number(LZN)的基礎(chǔ)上拓展而來的， Z-numberZ={(A(x),B(x))|x∈X}第一部分A(x)是以區(qū)間直覺語言變量的形式表現(xiàn)出來的，故對于任意的HIILZNZ可定義如下：

定義2.3.1假設(shè)S={s0,s1,…,s2l}，S′={s′0,s′1,…,s′2t}是兩個包含奇數(shù)個離散有序語言型術(shù)語的集合，當(dāng)i≤j，si≤sj，s′i≤s′j，一個HIILZNZ可定義如下：

Z={x,(A(x),B(x))|x∈X}

2.4 語言尺度函數(shù)

定義2.4.1[13]假設(shè)si∈S是一個語言型術(shù)語，且有S={si|i=0,1,2,…,2m}。假設(shè)有一個數(shù)值θi∈[0,1]，從si到θi(i=0,1,2,…,2m)的映射H*被定義如下：H*:si→θi(i=0,1,2,…,2m)。其中θi∈[0,1]，且對于任意的θi(i=0,1,2,…,2m)，θi是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，即有0≤θ0<θ1<…<θ2m≤1。我們用i代替si，兩種語言型尺度函數(shù)(LSF)被表示如下：

LSF1：θi=H*1(i)=

(2)

其中，α∈(0,1)，β∈(0,2)。

語言尺度函數(shù)H*ξ(i)(ξ=1,2)均滿足如下三個性質(zhì)：

2)尺度函數(shù)H*ξ(i)在i=0，1，2，…，2m上單調(diào)遞增。

3)對任意的H*ξ(i)和H*ξ(j)，當(dāng)i+j=2m時，H*ξ(i)+H*ξ(j)=1。

以上三個性質(zhì)很容易得證，這里不再作證明。

2.5 猶豫區(qū)間直覺語言型Z-numbers排序值公式

本節(jié)提出一種HIILZNs距離公式，并基于HIILZNs與正理想距離提出HIILZNs的排序值公式，越接近正理想，排序值越大，HIILZNs越優(yōu)。

假設(shè)有三個HIILZNsZi，Zj，Zk，其中

(1) 0≤dλ(Zi,Zj)≤1，dλ(Zi,Zj)=0當(dāng)且僅當(dāng)Zi=Zj；

(2)dλ(Zi,Zj)=dλ(Zj,Zi)。

(4)

定義2.5.2假設(shè)Zi是一個HIILZN，基于與正理想Z+距離的排序值公式可定義如下：

R(Zi)=2-2dλ(Zi,Z+)

(5)

HIILZNZi的排序值公式滿足如下兩個性質(zhì)：

命題1 對于任意一個HIILZNZi，R(Zi)∈[0,2]，R(Z+)=2，R(Z-)=0。

命題2 設(shè)X是一個論域，Zi和Zj是任意兩個HIILZNs，則兩者存在三種偏序關(guān)系：

(1)若R(Zi)

(2)若R(Zi)>R(Zj)，則Zi優(yōu)于Zj，用Zi?Zj表示；

(3)若R(Zi)=R(Zj)，則Zi與Zj等價，用Zi≈Zj表示。

3 猶豫區(qū)間直覺語言型Z-numbers熵

在本節(jié)中，提出一種新的HIILZNs熵公式去度量HIILZNs的不確定信息。

(1) 0≤E(Zi)≤1；

性質(zhì)(5)很容易證明，這里不再做證明。

4 構(gòu)造最優(yōu)模型求解專家和屬性權(quán)重

4.1 專家最優(yōu)權(quán)重求解模型

(7)

(8)

(9)

利用Lagrange函數(shù)法求解最優(yōu)專家權(quán)重為：

(10)

4.2 風(fēng)險偏好因子

風(fēng)險偏好是指個體承擔(dān)風(fēng)險的基本態(tài)度，是個人感知決策情景及制定風(fēng)險決策的重要前導(dǎo)因素。風(fēng)險具有不確定性，投資實體面對這種不確定性所表現(xiàn)出的態(tài)度、傾向便是其風(fēng)險偏好的具體體現(xiàn)。風(fēng)險偏好是決策者對風(fēng)險的一種偏好程度，它的不確定性是難以度量的。風(fēng)險偏好是一種不確定性，面對這種不確定性，決策者的態(tài)度和傾向是風(fēng)險偏好的具體體現(xiàn)。本文在HIILZNs環(huán)境中引入風(fēng)險偏好因子來探究決策者的不同風(fēng)險偏好態(tài)度對決策屬性權(quán)重和決策結(jié)果的影響。因不同決策者的風(fēng)險態(tài)度是存在差異的，一部分人可能喜歡大得大失的刺激，另一部分人則可能更愿意“求穩(wěn)”，根據(jù)決策者對風(fēng)險偏好的不同，可以將其分為風(fēng)險規(guī)避型、相對風(fēng)險規(guī)避型、風(fēng)險中性型、相對風(fēng)險追求型、和風(fēng)險追求型，所以根據(jù)決策者的風(fēng)險態(tài)度的不同，設(shè)置風(fēng)險偏好函數(shù)如下：

定義4.2.1設(shè)R是一個風(fēng)險偏好因子，則R可定義如下：

(11)

R的不同取值反映了決策者的風(fēng)險態(tài)度的不同。在以HIILZNs為信息環(huán)境下的決策，HIILZNs的熵即為它的不確定性風(fēng)險，因此，本文基于上述的觀點定義決策者風(fēng)險偏好函數(shù)如下：

(12)

該函數(shù)反映的是決策者在有風(fēng)險態(tài)度情況下的風(fēng)險得分。

4.3 構(gòu)造最優(yōu)決策模型求最優(yōu)屬性權(quán)重

本節(jié)基于本文提出的HIILZNs排序值公式和熵在決策者有風(fēng)險偏好情況下構(gòu)造最優(yōu)決策模型求最優(yōu)屬性權(quán)重。得到專家權(quán)重?=(?1,?2,…,?p)后，利用HIILZNs加權(quán)集結(jié)算子集結(jié)p個決策矩陣，得到綜合決策矩陣G=(gij)n×m，其中

gij=f?(D1,D2,…,Dp)

(13)

其中，?e表示的是第e(1≤e≤p)位決策者的權(quán)重。

基于當(dāng)屬性權(quán)重完全未知和部分已知時的兩種情況，基于排序值減風(fēng)險偏好函數(shù)的最優(yōu)屬性權(quán)重求解模型建立如下：

情況(Ⅰ)：屬性權(quán)重完全未知時：

(Ⅰ)

(14)

作Lagrange 函數(shù)求解權(quán)重并歸一化得最優(yōu)權(quán)重：

(15)

情況(Ⅱ)：屬性權(quán)重部分已知時：

(Ⅱ)

(16)

4.4 決策步驟

一種新的基于HIILZNs排序值，熵和決策者風(fēng)險偏好的多屬性群決策方法步驟如下：

步驟2基于公式(9)、(10)求解最優(yōu)專家權(quán)重?=(?1,?2,…,?p)，并基于專家權(quán)重和公式(13)集結(jié)p個決策矩陣，得到綜合決策矩陣G=(gij)n×m；

步驟3基于公式(4)、(5)、(6)計算綜合決策矩陣G=(gij)n×m的排序值矩陣R(gij)n×m，熵矩陣E(gij)n×m；

步驟4設(shè)置不同風(fēng)險偏好R，并基于公式(12)、(14)、(15)求解不同風(fēng)險偏好R下最優(yōu)屬性權(quán)重向量ω=(ω1,ω2,…,ωm)，并利用WAA算子集結(jié)各方案的屬性權(quán)重和屬性值得到每個方案的綜合屬性值后利用排序值公式得到每個方案的排序值Ri并排序，其中R(xi)=Rij·ωj，并探究在不同風(fēng)險偏好下屬性權(quán)重的變化以及對方案排序的影響。

5 實例分析

假定有3位專家T1，T2和T3組成一個決策群體對3套信息管理系統(tǒng)即方案xi(i=1,2,3)進行個性化推薦，且專家權(quán)重為未知。記方案集為X={x1,x2,x3}。經(jīng)過分析和論證，選擇下面4個因素作為個性化推薦指標(biāo)即屬性：信息準(zhǔn)確性(C1)、信息一致性(C2)、系統(tǒng)可用性(C3)和圖像完整性(C4)。利用問卷調(diào)查與統(tǒng)計方法，可以得到各個專家Te(e=1,2,3)對方案xi(i=1,2,3)關(guān)于屬性Ci(i=1,2,3,4)給出的評價，且所有評價都以HIILZNs的形式給出，所有決策矩陣如表1，表2和表3所示。

表1 專家T1個性化推薦矩陣

表2 專家T2個性化推薦矩陣

表3 專家T3個性化推薦矩陣

決策步驟如下：

步驟2基于公式(9)、(10)計算最優(yōu)專家權(quán)重為?={0.3344,0.3299,0.3357}，利用HIILZNs加權(quán)集

結(jié)算子集結(jié)以上三個個性化推薦決策矩陣，得到綜合決策矩陣G=(gij)3×4如表4所示，其中g(shù)ij均是HIILZNs：

表4 綜合決策矩陣

步驟3基于公式(4)、(5)、(6)計算綜合決策矩陣的排序值矩陣R(gij)3×4，熵矩陣E(gij)3×4：

R(gij)3×4=

E(gij)3×4=

步驟4在不同風(fēng)險偏好下求解模型得到最優(yōu)屬性權(quán)重向量，并用WAA算子集結(jié)各方案的決策信息，得到每個方案的綜合排序值并排序。兩種情況下不同風(fēng)險偏好下的屬性變化及排序如表5所示，兩種情況下屬性權(quán)重隨風(fēng)險偏好變化趨勢圖如圖6和圖7所示。

表5 兩種情況下不同風(fēng)險偏好下的屬性變化及排序

圖2 M(Ⅰ)下屬性權(quán)重隨風(fēng)險偏好變化趨勢圖

圖3 M(Ⅱ)下屬性權(quán)重隨風(fēng)險偏好變化趨勢圖

從圖2和圖3可以看出，在本文例子中，當(dāng)屬性權(quán)重完全未知時，隨著決策者風(fēng)險態(tài)度的從風(fēng)險規(guī)避到風(fēng)險偏愛，屬性ω1和ω2逐漸增大，ω3和ω4逐漸減??；當(dāng)屬性權(quán)重部分已知時，隨著決策者風(fēng)險態(tài)度的變化，ω2和ω4保持不變，ω1先不變，然后變大，最后趨于穩(wěn)定不變，ω3先不變，然后變小，最后趨于穩(wěn)定不變。從表5可以看出，不論屬性權(quán)重完全未知還是部分已知，隨著風(fēng)險態(tài)度的變化，方案的排序不變，都是x3?x2?x1，最優(yōu)方案均為方案三。這說明在本文例子中，根據(jù)上面的表格，我們可以發(fā)現(xiàn)方案整體排名結(jié)果不變，符合實際，這意味著該模型是穩(wěn)定的。同時，根據(jù)文中模型和得出的數(shù)據(jù)可以知道決策者風(fēng)險態(tài)度的不同對屬性權(quán)重也有相應(yīng)的影響，且隨著風(fēng)險態(tài)度的變化，屬性權(quán)重是有趨勢地變化的，這說明風(fēng)險偏好對屬性權(quán)重是有影響的。

6 結(jié)束語

本文在猶豫區(qū)間直覺語言型Z-Numbers(HIILZNs)的信息環(huán)境下，提出HIILZNs距離公式，排序值公式，熵公式以及風(fēng)險偏好因子，在決策者有風(fēng)險態(tài)度情況下建立排序值，熵和風(fēng)險偏好因子的最優(yōu)化決策模型，探究決策者不同風(fēng)險偏好下權(quán)重的變化以及對方案排序的影響，對于實際生活中的金融投資決策以及風(fēng)險投資等均有有效的應(yīng)用。