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巧用等價無窮小量求極限

2019-08-07 01:05賈松芳陳彥恒
數(shù)學學習與研究 2019年12期
關(guān)鍵詞:極限

賈松芳 陳彥恒

【摘要】本文給出了無窮小量和差極限中等價無窮小替換定理,并舉例說明它們的應用,對今后學生學習極限是有益的.

【關(guān)鍵詞】極限;等價無窮小量;等價替換

【基金項目】該文由重慶市教委科研資助項目(KJ1710254),重慶三峽學院重點項目(14ZD16),重慶三峽學院數(shù)學與統(tǒng)計學院教改項目資助.

無窮小量并不是一個很小的數(shù),它是在某個變化過程中極限值為零的函數(shù),能作為無窮小量的數(shù)只能是數(shù)字0.兩個函數(shù)在某一變化過程中為等價無窮小量,是說這兩個函數(shù)在此變化過程中為無窮小量,且此變化過程中兩個函數(shù)之比的極限值為1;從函數(shù)隨自變量的變化趨勢來說是兩個函數(shù)趨近于0的速度基本相同.

求極限的方法有多種,包括定義法、分子(母)有理化法、因式分解法以及利用重要極限、洛必達法則、泰勒公式等.這些方法雖然非常實用,可是仍存在不足.比如,洛必達法則,有些復雜函數(shù)經(jīng)過數(shù)次求導后,并不會達到簡化計算的目的.同樣,泰勒公式雖然可以解決一部分極限問題,可是在解題過程中對于大多數(shù)學生來說還是不容易掌握的,它對過程的要求過于嚴格,一環(huán)緊接著一環(huán),并且計算量往往比較大.然而利用等價無窮小量替換定理,見文獻[1,2],往往簡化某些極限運算的計算過程,給極限求解帶來方便.本文歸納總結(jié)等價無窮小量在函數(shù)和差極限中的應用,對今后極限的學習是有益的.該文所使用數(shù)學符號與文獻[3]保持一致.

一、無窮小量和差極限中的等價替換

由等價無窮小量的替換定理知,乘除法函數(shù)的極限中的無窮小可用相應的等價無窮小替換,無窮小和差極限是否可以同時用等價無窮小替換呢?我們得到下面結(jié)論:

【參考文獻】

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2008.

[2]劉玉蓮,傅沛仁,等.數(shù)學分析講義(上冊)(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2011.

[3]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(上冊)(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2014.

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