高慧明

對(duì)于某個(gè)一般性的數(shù)學(xué)問題，如果一時(shí)難以解決，可以先解決它的特殊情況，即從研究對(duì)象的全體轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繉儆谶@個(gè)全體中的一個(gè)對(duì)象或部分對(duì)象，然后把解決特殊情況的方法或結(jié)論應(yīng)用或者推廣到一般問題上，從而獲得一般性問題的解答。這種解決問題的思想稱之為特殊化思想。特殊化通常是指一般性命題的特殊例子。在數(shù)學(xué)中，特殊化可以指用具體的數(shù)字去代入，也可以指就“極端”的情況進(jìn)行考慮，還包括做出具體圖形等。例如，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“商不變性質(zhì)”：“在除法里被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以或者同時(shí)除以同一個(gè)數(shù)（0除外），商不變?！蔽覀兛梢粤钜粋€(gè)除法式子為6÷3=2，則有（6÷1）÷（3÷1）=2，（6×1）÷（3×1）=2。

當(dāng)我們遇到某些特殊問題很難解決時(shí)，不妨適當(dāng)放寬條件，把待處理的特殊問題放在一個(gè)更為廣泛、更為一般的問題中加以研究，先解決一般情形，再把解決一般情形的方法或結(jié)果應(yīng)用到特殊問題上，最后解決特殊問題。這種解決問題的思想稱之為一般化思想。在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，對(duì)公式、定理、法則的學(xué)習(xí)往往都是從特殊開始，通過總結(jié)歸納得出來、證明后，又使用它們來解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的。在數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的歸納法、演繹法就是特殊與一般思想方法的集中體現(xiàn)。在教學(xué)中，我們可以有意設(shè)計(jì)一些能集中體現(xiàn)特殊與一般思想的問題。例如，可以設(shè)計(jì)利用一般歸納法進(jìn)行猜想的試題; 可以著重體現(xiàn)選擇題的特點(diǎn)，考查特殊與一般的思想方法，突出體現(xiàn)特殊化方法的意義與作用;還可以通過構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點(diǎn)，確定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解決一般問題、抽象問題、運(yùn)動(dòng)變化的問題、不確定的問題，等等。

一般化是指由一些特例抽象出共同的特性。波利亞對(duì)此給出了如下解釋：“一般化就是從考慮一個(gè)對(duì)象過渡到考慮包含該對(duì)象的一個(gè)集合，或者從考慮一個(gè)較小的集合過渡到考慮一個(gè)包括該較小集合的更大集合?！痹跀?shù)學(xué)中，我們經(jīng)常通過改變條件、用變量（字母）去替代常量等來獲得更為一般的結(jié)論。例如，由一些具體的例子，我們可以得到分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變;由乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c，我們可以推出更為一般的結(jié)論，如（a+b+…+m）×c=a×c+b×c+…+m×c及（a+b）÷c=a÷c+b÷c等。

梅森指出，相對(duì)于特殊化而言，一般化是困難的。然而，一般化又是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基本形式，因?yàn)閿?shù)學(xué)認(rèn)知的根本目的是要揭示更為普遍、更為深刻的事實(shí)或規(guī)律。

特殊化與一般化構(gòu)成了整個(gè)解題過程的基礎(chǔ)。盡管特殊化與一般化是在兩個(gè)方向上進(jìn)行的，但是兩者在實(shí)際的數(shù)學(xué)研究中又是密切相關(guān)、相互依賴的。特殊化只有上升到一般的高度，我們才能更為深刻地認(rèn)識(shí)和理解各個(gè)特殊的例子，才能更好地解決問題。

在中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何滲透特殊化與一般化數(shù)學(xué)思想？

首先，鼓勵(lì)學(xué)生由特殊化提供的素材得出一般化的結(jié)論。中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的很多結(jié)論，如概念、等量關(guān)系、運(yùn)算定律以及性質(zhì)等的形成過程，實(shí)際上是由特殊的例子抽象出本質(zhì)的共同特性的過程。這是由中小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基本方式?jīng)Q定的，所以在教學(xué)中要讓學(xué)生主動(dòng)參與一般化結(jié)論得出的過程，并引導(dǎo)他們用語言、符號(hào)概括或歸納，讓他們清楚為什么要得到這些一般化結(jié)論。

例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時(shí)，除了采用折紙的方法之外，可以再讓學(xué)生舉一些類似的例子，通過小組討論、分析，最后得出結(jié)論，取名為“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”。這時(shí)設(shè)問：為什么稱基本性質(zhì)？經(jīng)過一番自由發(fā)言后學(xué)生漸漸領(lǐng)悟了，再向?qū)W生講述：在數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)家經(jīng)常把具有共同特性的例子進(jìn)行分析，并得出結(jié)論，為的是利用結(jié)論去解決新的問題，或去創(chuàng)造新的東西。這樣的過程使學(xué)生潛移默化受到了數(shù)學(xué)思維方法的熏陶。

然后，用特殊化方法去猜測(cè)、檢驗(yàn)性質(zhì)（法則）等的真實(shí)性，進(jìn)一步理解性質(zhì)（法則）等，達(dá)到靈活運(yùn)用的目的。數(shù)學(xué)知識(shí)從特殊到一般的形成過程是復(fù)雜的概括、抽象過程，學(xué)生真正理解掌握知識(shí)是學(xué)生用自己的思考例證知識(shí)的過程。例如，學(xué)習(xí)了減法性質(zhì)“從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，可以從這個(gè)數(shù)里減去這兩個(gè)數(shù)的和”后，可以引導(dǎo)學(xué)生用自己想的數(shù)（特例）去理解它，如10-3-2與10-（3+2）是否相等。

再比如，在三角函數(shù)教學(xué)中提出下列問題：設(shè)函數(shù)[f（x）=sin3x+sin3x]，則[f（x）]為（??? ）。

其次，用特殊化方法去解決問題。由于小學(xué)數(shù)學(xué)很多命題中存在的極限、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想無法用語言表述，學(xué)生哪怕解決了問題，也無法真正理解。在這樣的情況下，通過特殊法解決一些數(shù)學(xué)問題是非常必要的，也是兒童理解數(shù)學(xué)的一種特定方式。例如，教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)，討論平行四邊形的面積與什么有關(guān)：學(xué)生A認(rèn)為與平行四邊形的鄰邊有關(guān)，學(xué)生B認(rèn)為與平行四邊形的底和高有關(guān)。在爭(zhēng)論的過程中，一名學(xué)生提出問題：平行四邊形有不穩(wěn)定性，如果我們把它壓扁一些，壓得越扁面積就會(huì)越小，“甚至可以說是沒有”，怎么與鄰邊有關(guān)呢？正是“甚至可以是沒有”的特殊化考慮，使學(xué)生對(duì)解決這一問題時(shí)的思維變得更為清晰。

再次，運(yùn)用一般化方法推出更一般化的結(jié)論。我們通常在得到數(shù)學(xué)的一些性質(zhì)后，通過拓展獲得新的知識(shí)。在這一過程中，一般化的方法起到積極的作用。例如，當(dāng)學(xué)生得到減法性質(zhì)a-b-c=a-（b+c）后，可以提問：通過這一性質(zhì)還可以得到什么結(jié)論？學(xué)生通過大膽猜測(cè)以及特殊的檢驗(yàn)后得到以下結(jié)論：（1）a-b-c-…-m=a-（b+c+…+m）;（2）a-b-b-…-b=0（即連續(xù)減去多少個(gè)b等于0，結(jié)論是a=b+b+…+b，即（a÷b）個(gè)b相加）;（3）a-（b-c）=a-b+c。因?yàn)檫@個(gè)一般性結(jié)論是由學(xué)生自己得到的，所以他們理解得更透徹。

最后，鼓勵(lì)學(xué)生用形象的特殊化和模糊的一般化創(chuàng)造性解決問題。小學(xué)生的抽象思維比較弱，所以通過特例，自己所得到的是模糊的一般化結(jié)論。在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生不斷地運(yùn)用猜想，運(yùn)用自己的結(jié)論去解決新的問題，學(xué)生在面臨問題時(shí)就不再束手無策。

例如，一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課教學(xué)中出現(xiàn)了這樣一道計(jì)算題：“1234567892-123456788×123456790=？”學(xué)生觀察題目后，就動(dòng)筆了。部分學(xué)生用一些特殊的例子找規(guī)律，如32-2×4，62-5×7等，最后得到答案是1。這樣的數(shù)學(xué)問題在一些復(fù)雜的分?jǐn)?shù)大小比較以及競(jìng)賽的計(jì)算題中尤為突出。

再如：“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)的邊越長(zhǎng)，面積就?????? （填‘大或‘小）。”當(dāng)問題提出后，學(xué)生出現(xiàn)以下幾種情況：（1）猜測(cè);（2）確定一個(gè)特殊的例子，如設(shè)周長(zhǎng)為14，則有1×7=7，2×5=10，3×4=12等情況;（3）“極端”的思考方法——若長(zhǎng)很長(zhǎng)，寬幾乎接近于0，那么面積也幾乎是0。這個(gè)例子中，學(xué)生先創(chuàng)造性地解決問題，然后通過這樣的結(jié)論解決了一個(gè)自然數(shù)列中每?jī)蓚€(gè)數(shù)（與首尾兩個(gè)數(shù)等距）的和相等（如1、2、3、4、5、6，1+6=2+5=3+4）時(shí)，積的最大與最小的問題。

長(zhǎng)期滲透特殊化與一般化方法，能培養(yǎng)學(xué)生自覺學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)式思考問題的習(xí)慣。英國教育家洛克認(rèn)為：“事實(shí)上，一切教育都?xì)w結(jié)為養(yǎng)成兒童的良好習(xí)慣，往往自己的幸福歸于自己的習(xí)慣?！庇捎谔厥馀c一般思想的運(yùn)用水平能反映學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和一般能力，所以在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和課后練習(xí)中，很有必要多設(shè)計(jì)一些此類問題。中小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，能夠集中體現(xiàn)特殊與一般的思想的常見問題類型主要有“歸納→猜想”型;“類比→猜想”型（例如：平面→立體）;“抽象函數(shù)”型;“定點(diǎn)、定值”型;“特殊化方法解選擇題”型。

【下期內(nèi)容預(yù)告：有限與無限的思想——數(shù)學(xué)思想方法系列講座（7）】

責(zé)任編輯? 姜楚華