黃慧群 張祖蘭

【摘 要】本文以例講解換元法的基本思想與具體用法，引導(dǎo)學(xué)生深入理解換元法，培養(yǎng)學(xué)生換元求解的數(shù)學(xué)思想方法，掌握化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和學(xué)科素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)值域 換元法 化歸與轉(zhuǎn)化

【中圖分類號】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）03B-0155-04

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》中指出，函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變化關(guān)系的數(shù)學(xué)語言與有效的數(shù)學(xué)工具。同時，函數(shù)內(nèi)容是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線。高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分主要研究基本初等函數(shù)的性質(zhì)與圖象，并且進(jìn)行基本的復(fù)合學(xué)習(xí)。學(xué)生在初中與高中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)完六大初等函數(shù)。而高考中所考查的函數(shù)都是由以上函數(shù)經(jīng)過混合運算或者復(fù)合關(guān)系而得到的。因此學(xué)生接觸的函數(shù)解析式復(fù)雜、綜合性強(qiáng)，學(xué)生面對這些問題時大多會感到無從下手。在函數(shù)的考查中，函數(shù)的三要素一直占據(jù)著重要地位。特別的是，復(fù)合函數(shù)的值域更是一個熱門的考點，但是學(xué)生卻不易找到解法。為了有效地突出重點—— 基本初等函數(shù)的性質(zhì)，突破難點—— 如何利用學(xué)習(xí)過的知識解決新的難題，就很有必要帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)換元法。

美國著名數(shù)學(xué)教育家 G.波利亞在《怎樣解題》中說過，“數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力”“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題”，而“數(shù)學(xué)解題就是命題的連續(xù)變換”。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，換元法是一種常見并且十分重要的數(shù)學(xué)思想方法、解題方法。換元法，亦稱輔助未知數(shù)法，又稱變元代換法。它是普遍應(yīng)用的一種方法，其一般意義是將由一個或幾個變元構(gòu)成的數(shù)學(xué)表達(dá)式中的一部分用新的變元表示，以利于問題的解決。

換元轉(zhuǎn)化就是通過對函數(shù)解析式的觀察抽象出模塊，并轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)知識的過程。當(dāng)研究結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜的函數(shù)值域問題，如果能夠觀察出該函數(shù)解析式的特點，將其他的部分當(dāng)成一個整體，并引入新的變量，那么就可以使問題簡單化，結(jié)構(gòu)清晰化，從而可以運用初等函數(shù)的有關(guān)知識解決問題。這種方法能比較好地啟發(fā)學(xué)生解題的思路，使學(xué)生找出解題的捷徑，強(qiáng)化學(xué)生求解值域問題的能力。賀雙桂等（2006）指出，在高中階段，學(xué)生接觸到的換元法主要有：（1）整體代換。它是指在一個代數(shù)式結(jié)構(gòu)中，有某個代數(shù)式作為一個單元重復(fù)多次出現(xiàn)時，可以選擇用一個字母即元來代替此單元，進(jìn)而簡化代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，觀察出代數(shù)式的規(guī)律特點，從而解決問題。（2）三角換元。此類代數(shù)式中常常含有根號，借助三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行與根號的轉(zhuǎn)化。此外，還有萬能換元法等，高中階段并不常見，在此不贅述。

本節(jié)課主要研究的是整體代換法，其方法和步驟如下：（1）分析函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。（2）設(shè)立新的變量，并且換元，建立以新元為變量的新函數(shù)。（3）求出新元的取值范圍。（4）根據(jù)新函數(shù)的性質(zhì)，求出值域，回答問題。教學(xué)過程如下：

一、熱身訓(xùn)練

1.函數(shù) y=x2+5x+4 的值域為

2.函數(shù) y=x2+5x+4，x∈[2，5）的值域為

3.函數(shù) ?在區(qū)間[2，5）上值域為

4.函數(shù) ?，（x>0）的值域為

【設(shè)計意圖】回顧二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及對構(gòu)型函數(shù)的值域求解知識，這是本節(jié)課的知識基礎(chǔ)，為求解復(fù)合型函數(shù)的值域問題做鋪墊。

二、問題探究

（一）二次型值域問題

（1）函數(shù) ?的值域是

〖解析〗（1）中的難點在于含有 ，故想到令 ，則把原函數(shù)代換成學(xué)生所熟悉的二次函數(shù)，把復(fù)雜的問題化歸成熟悉的二次函數(shù)在某一區(qū)間的最值問題。

令 ，則 x=1-t2，

y=1-t2+t

，

∴函數(shù) ?的值域為

（2）函數(shù) ? y=4x-3×2x+1+5 ?的值域是

〖解析〗經(jīng)過簡單的變形 4x=（2x）2 后，容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式中重復(fù)出現(xiàn)了 2x 這個單元，因此可以進(jìn)行換元。

令 t=2x ∈（0，+∞），則

y=（2x）2-3×2×2x+5

=t2-6t+5

=（t-3）2-4，t∈（0，+∞）

∴函數(shù) ?y=4x-3×2x+1+5 的值域為[4，+∞）

（3）函數(shù) ?的值域是

〖解析〗此道題有一定的難度。學(xué)生很容易觀察到 x2 是重復(fù)出現(xiàn)的，但若此時將 x2 進(jìn)行換元，則新的函數(shù)解析式會出現(xiàn)根號，不利于我們解決問題。因此我們可以利用分式的性質(zhì)先將原函數(shù)進(jìn)行恒等變形得到 。

令 ，可得到

∴函數(shù) ?的值域為

（4）函數(shù) y=cos2x+4sinx 的值域是

〖解析〗原函數(shù)是由兩個三角函數(shù)相加而成，其中，cos2x 含有二倍角，因此可以先運用二倍角公式 cos2x=1-2sin2x 進(jìn)行函數(shù)變形 y=1-2sin2x+4sinx，從而得到一個以 sinx 為基礎(chǔ)單元的二次函數(shù)。

令 t=sinx，則 t∈[-1，1]

y=1-2t2+4t=-2（t-1）2+3

∵ t∈[-1，1]

∴ y∈[-5，3]

函數(shù) y=cos2x+4sinx 的值域的[-5，3]。

（5）定義在 R 上的函數(shù) f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4） 的值域是

〖解析〗注意到函數(shù)式中各因式的常數(shù)部分的等差規(guī)律，通過因式重組相乘產(chǎn)生相同項，進(jìn)而找到換元的切入點。

因為 f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）

=（x+1）（x+4）（x+2）（x+3）

=（x2+5x+4）（x2+5x+6）

=（x2+5x+4）[（x2+5x+4）+2]

令 t=x2+5x+4，則 。

所以 f（x）=t（t+2）=t2+2t，值域為[-1，+∞）。

即函數(shù) f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值域是[-1，+∞）

【設(shè)計意圖】初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)過二次函數(shù)的基本性質(zhì)，也在實際應(yīng)用中接觸過二次函數(shù)的最大最小值問題，但是都是比較簡單與基礎(chǔ)的題?，F(xiàn)在高中階段再次學(xué)習(xí)二次函數(shù)，學(xué)習(xí)的廣度與深度都進(jìn)一步加大，此時不再需要直接求解二次函數(shù)的值域問題，而是需要學(xué)生有一種模型的思想，觀察函數(shù)解析式的特點，以二次函數(shù)為解決問題的橋梁從而求值域。

一般來說，能夠轉(zhuǎn)化成二次型函數(shù)問題有幾類：（1）含有二次根式的二次型，利用平方根與平方的互逆關(guān)系進(jìn)行換元，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)。（2）含有指數(shù)的二次型，根據(jù)指數(shù)的運算法則進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃沃?，可以選擇合適的新元，把原函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)。（3）含有對數(shù)的二次型，根據(jù)運算法則也可以轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)。（4）含有三角函數(shù)的二次型，根據(jù)三角函數(shù)的公式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題。

當(dāng)然，在解決具體問題的過程中，教師應(yīng)該注意強(qiáng)調(diào)，無論何種情況都要保證換元得到的新函數(shù)的自變量的取值范圍是正確的，以免出錯。

（二）對勾型值域問題

【例題】函數(shù) ，x∈（-1，+∞）的值域為

〖解析〗令 t=x+1，則 x=t-1，

∵ x∈（-1，+∞），則 t∈（0，+∞）

∴

∴，即 y∈（1，+∞）

【變式】函數(shù) ，x∈（-1，+∞）的值域為

〖解析〗我們可以觀察到變式中的函數(shù)是原題中函數(shù)的倒數(shù)，在解題的過程中要善于借助已有的知識與結(jié)論來解決問題，從而使得問題的解決簡單化、邏輯化、系統(tǒng)化。

令 t=x+1，，則

由例題可知，u∈[1，+∞），∴ ∈（0，1]

【設(shè)計意圖】對勾函數(shù)是形如 ?的函數(shù)，是由正比例函數(shù)與反比例函數(shù)復(fù)合而得到的函數(shù)。因其圖象的特點，也被稱作“耐克函數(shù)”或者“耐克曲線”。高中數(shù)學(xué)人教版教材必修 5 中均值不等式部分引用了對勾函數(shù)作為例題，但是教材中沒有對對勾函數(shù)進(jìn)行介紹。但是這類函數(shù)在求取函數(shù)的單調(diào)性與值域問題、不等式的證明問題，以及解方程上起著重要的作用。對勾函數(shù)在高中考查中難度大，需要一定的邏輯推理能力以及較好的運算水平，應(yīng)當(dāng)引起學(xué)生足夠的重視。在掌握對勾函數(shù)的性質(zhì)之后，學(xué)生還要學(xué)會靈活地運用它，將問題變形成對勾函數(shù)。比如，函數(shù) ?可以通過恒等變形轉(zhuǎn)化成 ;函數(shù) ?可以通過變換轉(zhuǎn)化為 ;函數(shù) ?可以通過變換轉(zhuǎn)化為 。通過適當(dāng)?shù)淖冃魏?，運用對勾函數(shù)的性質(zhì)求解這類函數(shù)的值域問題。

（三）反比例型值域問題

【例題 1】函數(shù) ?的值域為

〖解析〗令 t=x+1，則 x=t-1

【例題 2】函數(shù) ?的值域為

〖解析〗令 t=x2+1，則 x2=t-1

函數(shù)

又

∴ 函數(shù) 。

【變式】函數(shù) ?的值域為

〖解析〗分式函數(shù) ?的值域問題的解法很多，本節(jié)課主要介紹了換元法，但也可以運用分離參數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，然后運用判別式法來解決問題。在實際教學(xué)中，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生集思廣益，拓展思路，運用不同的方法解決問題，使學(xué)生在思考與計算的過程中，深刻體會換元法在解決這類問題時的簡潔性、有效性。

令 t=x2+x+1，則

。

【設(shè)計意圖】反比例型函數(shù)是形如 ?的函數(shù)，是由反比例函數(shù)平移變換而得到的一類函數(shù)。形如 ?的函數(shù)可以通過分離常數(shù)的變形變?yōu)?。一般來說，形如 （f（x）≠0，且 f（x），g（x）都是次數(shù)相同的整式代數(shù)式的函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為反比例型函數(shù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該注意歸納，總結(jié)做題經(jīng)驗。

三、自我檢測

1.達(dá)標(biāo)檢測題

（1）定義在 R 上的函數(shù) ?的值域為 ;

（2）函數(shù)，x∈（2，∞）的值域為;

（3）函數(shù) ?的值域為 ;

（4）函數(shù) ?的值域為 ;

（5）函數(shù) ?的值域為 。

【設(shè)計意圖】這五道題目分別考查了用換元法求解函數(shù)值域問題中的二次型值域問題、對構(gòu)型問題以及反比例型問題。難度中等，題型常規(guī)，主要是檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。目的是使學(xué)生掌握運用換元法求解函數(shù)值域的基本方法，及時鞏固所學(xué)的內(nèi)容;在練習(xí)中進(jìn)一步感悟轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)思想，積極主動地理解換元法的本質(zhì);有意識地去總結(jié)題型，注意這三類問題的解決方法，慢慢地培養(yǎng)適合自己的分析習(xí)慣，從而突破函數(shù)值域的求解問題。

2.能力提高題

（1）函數(shù) ?的值域為 ;

（2）已知 ，則函數(shù) ?的值域是 ;

（3）定義在 R 上的函數(shù) f（x）=（sinx-2）（sinx-3）（sinx-4）（sinx-5）的值域是 。

【設(shè)計意圖】這三個題目屬于能力提高題，需要學(xué)生認(rèn)真觀察，充分分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)，選擇恰當(dāng)?shù)摹霸边M(jìn)行變形。變形的步驟比較繁瑣，難度較大，對學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運算能力都提出了更高的要求。這三道題目要求學(xué)生在掌握解決這三類函數(shù)的值域問題的基本方法與基本技能后，深刻理解其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。雖然所考查的函數(shù)千變?nèi)f化，但是核心的考點還是對函數(shù)代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸成學(xué)生熟悉的問題進(jìn)行求解。在積極思考，合作交流解決問題的過程中，使學(xué)生更加深刻感悟此類問題的內(nèi)核與本質(zhì)，體會不同題目之間的聯(lián)系與區(qū)別;領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的思想，懂得解法萬變不離其宗，（下轉(zhuǎn)第166頁）（上接第157頁）從而概括抽象出數(shù)學(xué)思想方法，形成自己的思考。這樣才是真正發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，在課堂中落實核心素養(yǎng)培養(yǎng)。

四、歸納總結(jié)

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，換元法是一種常見并且十分重要的數(shù)學(xué)思想、解題方法。換元轉(zhuǎn)化是通過對函數(shù)解析式的觀察抽象出模塊，并轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)的過程。換元法是將未知轉(zhuǎn)化成已知，將局部聯(lián)系整體，運用特殊到一般的轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了化歸這一重要的數(shù)學(xué)思想。教師在教學(xué)中要時刻引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，既要幫助學(xué)生更快地解決數(shù)學(xué)問題，又要加深學(xué)生對化歸理想的理解。因此，筆者希望通過針對性的例題學(xué)習(xí)，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)換元的規(guī)律與題型，學(xué)會用換元法求函數(shù)的值域，具備化歸的思想。同時，在這一過程中，學(xué)生通過對函數(shù)解析式整體與局部特點的分析，逐步建立解題大局觀，培養(yǎng)迎難而上，勇于鉆研的精神，從而落實學(xué)生的素養(yǎng)教育措施，讓學(xué)生更加深刻地體會辯證唯物主義—— 萬事萬物在一定條件下是互相轉(zhuǎn)化的的思想。

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（責(zé)編 盧建龍）