蘇藝偉

(福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū) 363100)

一、試題

(2016年全國Ⅱ卷理科第21題)

二、試題評析

本題以函數(shù)為背景,融合了函數(shù),導(dǎo)數(shù),不等式,最值問題于一體,重點考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,零點,值域等問題,突出對學(xué)生的數(shù)學(xué)運算,數(shù)學(xué)抽象,邏輯推理等能力的考查.本題分為兩小題,在難度上逐次遞增,有梯度性;在解題思路上,第(1)問考查函數(shù)f(x)的單調(diào)性以及不等式的證明,借助導(dǎo)數(shù)工具可順利求解.第(2)問要求的是函數(shù)g(x)的最小值h(a)的值域,需借助函數(shù)求值域的方法求解,即將h(a)表示成某個變量(這個變量可能是a,也可能是隱零點x0)的一元函數(shù)模型.兩小題表面上看似無關(guān),其實第(1)問為第(2)問的求解做了鋪墊,第(2)問的求解需要借助第(1)問的相關(guān)結(jié)論,考生要將兩問聯(lián)系起來方能正確求解.

三、試題解析

四、試題變式

(1)求函數(shù)f(x)=xlnx+a(a<0)的零點個數(shù).

(2)證明:當(dāng)a∈[-4e,0)時,函數(shù)g(x)=2x2lnx-x2+ax有最小值.設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.

五、教學(xué)啟示

第一:加強導(dǎo)數(shù)運算,提高數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一,數(shù)學(xué)離不開運算.導(dǎo)數(shù)問題中,準(zhǔn)確求導(dǎo)是解決問題的基礎(chǔ),正確運算是解答問題的關(guān)鍵,所以在復(fù)習(xí)中一定要牢固掌握基礎(chǔ)知識,基本技能,基本方法.因此,在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)問題時,讓學(xué)生真正掌握導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)的運算法則,熟練運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,最值,單調(diào)性,零點,切線方程,對這些內(nèi)容要進行分塊講解,逐一復(fù)習(xí),牢固掌握基礎(chǔ)知識,才能保證數(shù)學(xué)運算的準(zhǔn)確性.

第二:講透通性通法,提升邏輯推理素養(yǎng).

高考對函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用,試題有一定的綜合性,并與數(shù)學(xué)思想方法緊密結(jié)合,對函數(shù)與方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論思想都進行深入考查,體現(xiàn)能力立意的命題原則.基于此,在復(fù)習(xí)中要以典型試題(如全國卷試題)為例,講透解決某一類題型的通性通法,進而讓學(xué)生在掌握通性通法的基礎(chǔ)上變式運用,從而提升學(xué)生的邏輯推理能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).