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新鮮產(chǎn)品跨季銷售中的動(dòng)態(tài)庫(kù)存管理策略研究

2019-08-19 09:47龔媛媛肖勇波
中國(guó)管理科學(xué) 2019年7期
關(guān)鍵詞:分銷商新鮮度變質(zhì)

龔媛媛,肖勇波

(清華大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,北京 100084)

1 引言

現(xiàn)實(shí)生活中有很多新鮮產(chǎn)品(如蘋(píng)果、梨等),它們的采摘集中在較短的時(shí)間內(nèi),但是需求跨越多個(gè)季節(jié)。得益于經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活水平的提高,反季市場(chǎng)的消費(fèi)規(guī)模和市場(chǎng)潛力不斷增大,越來(lái)越多的新鮮產(chǎn)品分銷商采取跨季銷售的模式。2016年,我國(guó)第一大水果(蘋(píng)果)的貯藏量占到了總產(chǎn)量的37.7%,而山東煙臺(tái)、陜西延安和甘肅平?jīng)龅葍?yōu)生區(qū)采后的貯藏量更是超過(guò)了50%[1]。

相對(duì)于一般耐用品而言,新鮮產(chǎn)品在存儲(chǔ)和運(yùn)輸過(guò)程中難免會(huì)發(fā)生變質(zhì),這給相關(guān)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)管理帶來(lái)了更大的挑戰(zhàn)。為了減少新鮮產(chǎn)品在跨季銷售中變質(zhì)帶來(lái)的損失,分銷商往往采用先進(jìn)的冷藏保鮮技術(shù)(如氣調(diào)庫(kù))和冷鏈物流體系。以贛南臍橙為例,過(guò)去從秋季采摘到銷售完畢,最長(zhǎng)只有兩個(gè)月時(shí)間;但儲(chǔ)存在氣調(diào)庫(kù)中,銷售期可延長(zhǎng)至6個(gè)月以上。但即便采用了氣調(diào)庫(kù)等保鮮努力,新鮮產(chǎn)品的質(zhì)量(如外觀、質(zhì)地、口感等)隨著時(shí)間的推移也會(huì)逐漸下降。常被消費(fèi)者詬病的“黑心梨”就是在儲(chǔ)藏期間出現(xiàn)產(chǎn)品生理病害而導(dǎo)致的。質(zhì)量的不確定性進(jìn)一步加大了需求的不確定性,從而加劇了供需匹配的風(fēng)險(xiǎn)。在跨季銷售過(guò)程中庫(kù)存無(wú)法補(bǔ)給、產(chǎn)品質(zhì)量又不斷下降的現(xiàn)實(shí)下,如何有效管理庫(kù)存是新鮮產(chǎn)品分銷商面臨的一個(gè)重大難題。他需要在當(dāng)前確定的但可能較低的收益與未來(lái)不確定的但可能較高的收益之間進(jìn)行權(quán)衡,動(dòng)態(tài)決策采摘季節(jié)的初始庫(kù)存量以及每一銷售周期的庫(kù)存配給量,從而優(yōu)化利潤(rùn)。

易變質(zhì)產(chǎn)品庫(kù)存管理一直是管理科學(xué)與工程領(lǐng)域?qū)W者和業(yè)界關(guān)心的熱點(diǎn)話題。初期的文獻(xiàn)大多聚焦于變質(zhì)引起的數(shù)量損耗;對(duì)質(zhì)量變質(zhì)的關(guān)注始于Fujiwara和Perera[2],后續(xù)學(xué)者們結(jié)合不同的應(yīng)用情景,通過(guò)將質(zhì)量的瞬時(shí)變化率假設(shè)為服從某個(gè)特定分布[3]、直接給出質(zhì)量變化的具體函數(shù)[4]以及將其假設(shè)為隨時(shí)間遞減的一般函數(shù)形式[5],對(duì)新鮮產(chǎn)品受質(zhì)量變化影響的庫(kù)存管理問(wèn)題展開(kāi)了深入探討。例如但斌等[6]針對(duì)消費(fèi)者在不同時(shí)刻購(gòu)買(mǎi)新鮮產(chǎn)品的效用變化受新鮮度和價(jià)格影響的情形,建立EOQ模型并求解了不同保鮮條件下的最優(yōu)訂貨決策;馮穎等[7]針對(duì)由供應(yīng)商主導(dǎo)的物流服務(wù)水平影響產(chǎn)品新鮮度進(jìn)而對(duì)市場(chǎng)需求產(chǎn)生影響的情形,建立三級(jí)供應(yīng)鏈競(jìng)合博弈模型,求解了供應(yīng)商的最優(yōu)定價(jià)、TPL服務(wù)商的最優(yōu)服務(wù)水平以及零售商的最優(yōu)采購(gòu)量決策。

研究新鮮產(chǎn)品跨季銷售問(wèn)題的文獻(xiàn)偏少,較有代表性的是吳國(guó)正[8],但與該文側(cè)重于研究旺季、淡季的價(jià)格變化對(duì)庫(kù)存配置的影響不同,本文關(guān)注的是產(chǎn)品變質(zhì)因素的影響;此外,我們將淡季的銷售模型擴(kuò)展到了多個(gè)周期的情形,并且利用動(dòng)態(tài)庫(kù)存配給的思想加以求解。在已有的庫(kù)存配給文獻(xiàn)中,大多數(shù)學(xué)者假設(shè)系統(tǒng)可以多次補(bǔ)貨,對(duì)訂貨/產(chǎn)量決策和庫(kù)存配給決策同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化(可參見(jiàn)張揚(yáng)等[9]的綜述)。新鮮產(chǎn)品跨季銷售問(wèn)題則不然,由于產(chǎn)銷發(fā)生了時(shí)間上的分離,分銷商無(wú)法在采摘期后再次補(bǔ)貨,需要決策的是比較特殊的“一次采購(gòu)+多次配給”的聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題。該問(wèn)題也可以看作是考慮需求配給的報(bào)童問(wèn)題,代表性文獻(xiàn)包括Sen和Zhang[10]以及汪小京等[11]。類似于肖勇波和龔媛媛[12]針對(duì)分銷商采購(gòu)一批新鮮產(chǎn)品后依次運(yùn)輸至多個(gè)市場(chǎng)銷售的研究,我們同樣構(gòu)建了一個(gè)兩階段的庫(kù)存決策模型,但區(qū)別于前文關(guān)注的數(shù)量減少的情形,本文關(guān)注的是質(zhì)量降低。產(chǎn)品質(zhì)量的下降直接影響到產(chǎn)品的需求,這一點(diǎn)不同于數(shù)量損毀影響到產(chǎn)品的供給。通過(guò)建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型,我們逆向求解各銷售期的最優(yōu)配給量決策、以及最優(yōu)初始采購(gòu)量決策,具體考察了庫(kù)存量、新鮮度水平和價(jià)格等參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)配給決策的影響,最后通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)動(dòng)態(tài)決策的庫(kù)存合并效果進(jìn)行驗(yàn)證,試圖為新鮮產(chǎn)品分銷商的跨季庫(kù)存管理工作提供有益的管理啟示。

2 模型描述

考慮一個(gè)經(jīng)營(yíng)季節(jié)性新鮮產(chǎn)品的分銷商。在產(chǎn)品采摘期,分銷商決策產(chǎn)品的初始庫(kù)存量Q;記單位采購(gòu)成本為c。產(chǎn)品的銷售季可以劃分為n(n≥2)個(gè)周期(如圖1所示)。我們考慮一個(gè)完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng),每期的產(chǎn)品價(jià)格pi(i=1,2,…,n)為外生參數(shù),且為分銷商提前知曉。

圖1 跨季銷售模型示意圖

銷售季中產(chǎn)品的質(zhì)量隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化。我們引入“新鮮度”指標(biāo)來(lái)刻畫(huà)產(chǎn)品的質(zhì)量水平。借鑒肖勇波等[13]、Cai Xiaoqiang等[14]的做法,我們用[0,1]區(qū)間上的新鮮度指標(biāo)來(lái)刻畫(huà)質(zhì)量水平:新鮮度等于1意味著產(chǎn)品完全新鮮;新鮮度等于0意味著產(chǎn)品完全變質(zhì)。記產(chǎn)品在采摘季的新鮮度為q0=1;第i周期初的新鮮度水平為qi∈[0,1],服從下列規(guī)律:

qi=θi×qi-1,i=1,2,…,n

其中,庫(kù)存保鮮因子θi是[0,1]區(qū)間上的隨機(jī)變量,表示庫(kù)存產(chǎn)品在第i周期的新鮮度相比于上一周期的保持程度。θi的具體分布取決于產(chǎn)品自身的變質(zhì)特征;記其概率密度函數(shù)和累積概率分布函數(shù)分別為gi(x)和Gi(x)。

產(chǎn)品的新鮮度直接影響該期的市場(chǎng)需求。一般來(lái)說(shuō),產(chǎn)品新鮮度越低,市場(chǎng)需求越低。因此,我們假設(shè)第i期的市場(chǎng)需求Di滿足如下關(guān)系式:

Di=qidi+εi

其中常量di表示第i期對(duì)應(yīng)于產(chǎn)品完全新鮮情形下的平均市場(chǎng)規(guī)模;εi為需求的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng),記其概率密度函數(shù)和累積概率分布函數(shù)分別為fi(x)和Fi(x)。不失一般性,假設(shè)E[εi]=0。

銷售季中,隨著時(shí)間的推移,產(chǎn)品的庫(kù)存量也會(huì)發(fā)生變化(取決于前期的銷售情況)。記第i周期初的庫(kù)存量為yi。在第i周期初,在觀察到當(dāng)前的剩余庫(kù)存量yi和新鮮度qi的前提下,分銷商需要確定當(dāng)期從氣調(diào)庫(kù)中調(diào)配的產(chǎn)品數(shù)量(“配給量”),該決策等價(jià)于要確定保留到下一周期的庫(kù)存量zi(當(dāng)期的配給量為yi-zi)。產(chǎn)品配給量確定以后,當(dāng)期的市場(chǎng)需求Di實(shí)現(xiàn),部分或者全部需求得以滿足(取決于實(shí)際需求與當(dāng)期配給量的大小關(guān)系)。假設(shè)每增加一單位保留到下一周期的產(chǎn)品,分銷商需要支付hi的庫(kù)存持有成本。為簡(jiǎn)化分析,假設(shè)每周期已經(jīng)出庫(kù)、但是未銷售出去的產(chǎn)品殘值為零。分銷商希望通過(guò)合理決策各期的庫(kù)存配給量,實(shí)現(xiàn)自身期望利潤(rùn)的最大化(假設(shè)他是風(fēng)險(xiǎn)中性的)。

3 最優(yōu)決策及性質(zhì)分析

分銷商面臨著一個(gè)兩階段決策問(wèn)題:第一階段確定初始采購(gòu)量Q;第二階段在每個(gè)銷售周期初動(dòng)態(tài)確定預(yù)留給未來(lái)的庫(kù)存量(z1,z2,…,zn)。

3.1 最優(yōu)庫(kù)存配給決策

我們采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來(lái)解決分銷商的多周期庫(kù)存配給問(wèn)題。在第i(=1,2,…,n)期期初,系統(tǒng)狀態(tài)可用三維向量(i,q,y)表示,其中q(∈[0,1])為當(dāng)前的新鮮度水平,而y(∈[0,Q])為當(dāng)前的庫(kù)存水平。記函數(shù)Vi(q,y)為分銷商在對(duì)應(yīng)狀態(tài)下,通過(guò)最優(yōu)庫(kù)存配給策略能夠在當(dāng)前及后續(xù)銷售期內(nèi)獲得的最大期望利潤(rùn)。

對(duì)于最后一周期(即i=n),不管產(chǎn)品新鮮度如何,分銷商應(yīng)該將所有產(chǎn)品出庫(kù)進(jìn)行銷售,因此:

(1)

在中間周期,當(dāng)已知第i+1(i=1,2,…,n-1)周期不同狀態(tài)對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)函數(shù)的前提下,第i周期的庫(kù)存決策及其利潤(rùn)函數(shù)由如下遞推方程式確定:

(2)

其中,

(3)

期望利潤(rùn)函數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)如引理1所示。

引理1:對(duì)任意周期i(=1,2,…,n-1)和期初狀態(tài)(q,y),函數(shù)Vi(q,y)和Ri(z|q,y)具有如下性質(zhì):

(a)Ri(z|q,y)是關(guān)于(y,z)的聯(lián)合凹函數(shù);

(b)Vi(q,y)是關(guān)于y的凹函數(shù)。

證明:采用數(shù)學(xué)歸納法證明。首先在最后一周期,由利潤(rùn)函數(shù)Vn(q,y)不難可得

因此,Vn(q,y)關(guān)于y凹。

(a) 假設(shè)Vi+1(q,y)是關(guān)于y的凹函數(shù),可得

即函數(shù)Ri(z|q,y)的Hessian矩陣半負(fù)定。因此,Ri(z|q,y)關(guān)于(y,z)聯(lián)合凹。

(b) 返回公式(2),由(a)知其為目標(biāo)函數(shù)是聯(lián)合凹函數(shù)、同時(shí)可行域是凸集的優(yōu)化問(wèn)題。根據(jù)凸規(guī)劃理論[15],可知Vi(q,y)是關(guān)于y的凹函數(shù)。

于是,利用數(shù)學(xué)歸納法,我們可將函數(shù)Vi(q,y)和Ri(z|q,y)的凹性推廣到所有周期i(=n-1,n-2,…,1)的情形。

由引理1可知,分銷商在每個(gè)周期初決策預(yù)留的庫(kù)存量時(shí),面臨的是一個(gè)凹規(guī)劃問(wèn)題。特別是,決策問(wèn)題的可行域是凸集,因此周期i的最優(yōu)配給量/預(yù)留量是唯一確定的,可由KKT條件進(jìn)行求解,如定理1所示。

定理1第i(=1,2,…,n-1)周期初,給定分銷商的狀態(tài)(q,y),最優(yōu)庫(kù)存預(yù)留量z*由如下方程組唯一確定:

(4)

其中,Φi(z)為Ri(z|q,y)關(guān)于z的一階導(dǎo)數(shù),

(5)

λ1和λ2分別為對(duì)應(yīng)于邊界條件z≥0和y-z≥0的對(duì)偶變量,λ1,λ2≥0。

推論1:在任意周期i(=1,2,…,n-1),給定期初新鮮度水平q,最優(yōu)庫(kù)存保有量z*為期初可用庫(kù)存量y的單調(diào)非減函數(shù)。

證明:在對(duì)引理1的證明中,已證得Ri(z|q,y)函數(shù)關(guān)于(y,z)的交叉偏導(dǎo)是非負(fù)的,根據(jù)超模理論[16],當(dāng)q給定時(shí),可知Ri(z|q,y)在(y,z)上具有超模性(Supermodularity)。并且由于

可知z*關(guān)于y單調(diào)非減。

我們可以用收益管理的“邊際分析”方法對(duì)推論1進(jìn)行直觀解釋。令

表示在周期i時(shí)分配z單位庫(kù)存給未來(lái)銷售時(shí),每少分配1單位庫(kù)存(即多提供1單位庫(kù)存給當(dāng)期市場(chǎng)銷售)能在該周期增加的期望邊際利潤(rùn);令

表示在同樣的基礎(chǔ)上,每多分配1單位庫(kù)存能在未來(lái)i+1~n周期內(nèi)增加的期望邊際利潤(rùn)。由此,公式(5)可以表示為:Φi(z)=Φ2(z)-Φ1(z),即未來(lái)期望邊際利潤(rùn)與當(dāng)前期望邊際利潤(rùn)之差。分銷商通過(guò)比較這兩個(gè)期望邊際利潤(rùn)來(lái)確定最優(yōu)配給量:當(dāng)分配一件產(chǎn)品給當(dāng)前周期銷售的期望利潤(rùn)超過(guò)將其保留給未來(lái)周期銷售所獲得的期望利潤(rùn)時(shí),就應(yīng)該將產(chǎn)品供應(yīng)給當(dāng)前市場(chǎng);反之,則留存產(chǎn)品給未來(lái)市場(chǎng)。可以看出,未來(lái)期望邊際利潤(rùn)與當(dāng)前庫(kù)存量無(wú)關(guān),而當(dāng)前期望邊際利潤(rùn)是關(guān)于庫(kù)存量y的非增函數(shù),意味著在其他參數(shù)給定的情況下,隨著y的增加,Φi(z)會(huì)變大/保持不變,分銷商在未來(lái)周期會(huì)獲取更優(yōu)的期望邊際利潤(rùn),他應(yīng)該提高/維持分配給后續(xù)周期的庫(kù)存量。

需要指出的是,當(dāng)?shù)趇(=1,2,…,n-1)期初始庫(kù)存量y保持不變時(shí),新鮮度水平q對(duì)最優(yōu)配給量z*的影響并不具有類似的單調(diào)性。我們需要考察在y給定時(shí),Ri(z|q,y)函數(shù)關(guān)于(z,q)的交叉偏導(dǎo)(見(jiàn)下式(6)),引理2幫助我們判定其符號(hào)方向。

(6)

(1)當(dāng)z*=0時(shí),

其關(guān)于(q,y)的交叉偏導(dǎo):

(2)當(dāng)z*=y時(shí),

其關(guān)于(q,y)的交叉偏導(dǎo)為:

進(jìn)一步有:

后面兩種情況可根據(jù)最后一期交叉偏導(dǎo)的符號(hào)方向由數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)。由于

成立,因此綜上三種情況,可知第i期的最優(yōu)值函數(shù)關(guān)于y和q的交叉偏導(dǎo)總是非負(fù)的。

令q1、q2(y)分別為以下方程式的唯一解:

(7)

(8)

定義函數(shù)p1(q|y)、p2(q|y)分別為:

p1(q|y)

(9)

p2(q|y)

(10)

引理3:對(duì)于任意周期i(=1,2,…,n-1)及庫(kù)存量y(>0),總有q1≤q2(y)以及p1(q|y)≥p2(q|y)成立。

由公式(9)和(10)可知p1(q|y)≥p1(q|0)、p2(q|y)≤p2(q|0)。由于

p1(q|0)=p2(q|0)

因此p1(q|y)≥p2(q|y)成立。

直觀上,q1表示在不分配產(chǎn)品給后續(xù)周期的情況下,未來(lái)期望邊際利潤(rùn)為0時(shí)的新鮮度水平;q2(y)表示在分配y件產(chǎn)品到后續(xù)周期銷售的情況下,未來(lái)期望邊際利潤(rùn)為0時(shí)的新鮮度水平。p1(q|y)、p2(q|y)可理解為給定期初庫(kù)存量y,在對(duì)應(yīng)期初新鮮度水平q時(shí),使分銷商的期望利潤(rùn)分別在不給后續(xù)周期分配產(chǎn)品以及把所有產(chǎn)品都分配給后續(xù)周期銷售的情況下達(dá)到最優(yōu)的價(jià)格閾值。定理2進(jìn)一步給出了分銷商在不同參數(shù)條件下的最優(yōu)配給策略選擇。

定理2若分銷商到達(dá)周期i(=1,2,…,n-1)時(shí)的既定狀態(tài)為(q,y),他所對(duì)應(yīng)的策略選擇為:

(a)當(dāng)q

(b)當(dāng)q≥q2(y)且pi≤p2(q|y)時(shí),分銷商應(yīng)該將所有貨物都分配給未來(lái)周期銷售(z*=y);

證明:我們根據(jù)定理1 KKT條件所示的三種情形分別進(jìn)行分析:

(a)當(dāng)λ1≥0且λ2=0時(shí),Ri(z|q,y)在[0,y]上單調(diào)非增,在z*=0處取得最大值;此時(shí)需滿足:

(11)

根據(jù)q1的定義,注意到當(dāng)q

即pi≥p1(q|y),因此當(dāng)q≥q1且pi≥p1(q|y)時(shí),同樣有z*=0成立。

(b) 當(dāng)λ1=0且λ2≥0時(shí),Ri(z|q,y)在[0,y]上單調(diào)非減,在z*=y處取得最大值;此時(shí)需滿足:

(12)

根據(jù)q2(y)的定義,注意到不等式(12)只有當(dāng)q≥q2(y),即左邊≥0時(shí),才有存在的前提。在此基礎(chǔ)上,可進(jìn)一步將(12)整理為:

即pi≤p2(q|y),因此在q≥q2(y)且pi≤p2(q|y)時(shí),z*=y能夠成立。

(13)

(14)

當(dāng)q1q2(y)時(shí),(13)等價(jià)于pip2(q|y)。

由定理2可知,在新鮮度水平給定的情況下,周期i的期初庫(kù)存量越高,分銷商將傾向于分配更多的庫(kù)存在后續(xù)周期銷售;而在庫(kù)存水平給定的情況下,分銷商的配給量決策同時(shí)受到新鮮度水平和銷售價(jià)格的共同影響。根據(jù)引理3所揭示的各閾值之間的大小關(guān)系,我們可以將二維空間(q,pi)劃分為三個(gè)不同的區(qū)域,分別對(duì)應(yīng)于分銷商在該期全部配給、部分配給還是不配給貨物的策略選擇,如圖2所示。

圖2 分銷商在第i期給定y時(shí)的最優(yōu)配給策略選擇

分銷商在周期i確定當(dāng)期的最優(yōu)配給量時(shí),除了考慮上述所討論的新鮮度水平、庫(kù)存量和價(jià)格等因素外,還需要考慮到分配給未來(lái)周期銷售的產(chǎn)品在儲(chǔ)藏過(guò)程中可能發(fā)生的變質(zhì)因素。推論2說(shuō)明了質(zhì)量變質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)最優(yōu)配給量的影響。

推論2:對(duì)任意周期i(=1,2,…,n-1),在其他參數(shù)保持不變的情況下,庫(kù)存保鮮因子θi+1在隨機(jī)意義下越大,該期所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)庫(kù)存配給量z*也越大。

推論2符合人們的直觀判斷,即產(chǎn)品越能保持新鮮,未來(lái)銷售所獲利潤(rùn)就會(huì)越大,則應(yīng)該分配更多的庫(kù)存在未來(lái)周期銷售。事實(shí)上,越來(lái)越多的分銷商選擇采用效果更好的保鮮手段來(lái)存儲(chǔ)產(chǎn)品,以提高產(chǎn)品在反季的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。

3.2 最優(yōu)初始采購(gòu)量決策

在刻畫(huà)了多周期的最優(yōu)庫(kù)存配給決策的基礎(chǔ)上,我們進(jìn)一步對(duì)分銷商的最優(yōu)初始采購(gòu)量決策展開(kāi)分析。

假設(shè)分銷商在采摘期訂購(gòu)到的是完全新鮮的產(chǎn)品(即第一期的新鮮度水平q1=θ1),他需要確定最優(yōu)的初始庫(kù)存量Q*,以使整個(gè)銷售期間的期望利潤(rùn)最大化。記V(Q)為分銷商在初始采購(gòu)量為Q以及對(duì)應(yīng)的配給策略V1(q1,Q)下所能獲得的期望利潤(rùn),則有:

V(Q)=E[V1(θ1,Q)]-cQ

(15)

其中V1(q1,Q)對(duì)應(yīng)于產(chǎn)品在銷售首期新鮮度降為θ1時(shí),分銷商通過(guò)在當(dāng)前及未來(lái)的所有銷售周期動(dòng)態(tài)調(diào)整庫(kù)存決策所能獲得的最大期望利潤(rùn)。

由引理1可知,V1(q1,Q)是關(guān)于Q的凹函數(shù),易知V(Q)也是關(guān)于Q的凹函數(shù)。因此最優(yōu)初始采購(gòu)量決策Q*可以非常直觀地由一階條件獲得,如定理3所示。

定理3當(dāng)利潤(rùn)函數(shù)V1(q1,Q)為已知的前提下,分銷商的最優(yōu)初始采購(gòu)量決策Q*由如下方程唯一確定:

(16)

由于函數(shù)V1(q1,Q)是由公式(1)所示的遞歸形式,難以得到Q*的顯性表達(dá)式,我們可以通過(guò)一些搜索算法來(lái)進(jìn)行求解。

4 靜態(tài)配給及采購(gòu)量決策

由于動(dòng)態(tài)配給方法會(huì)追蹤產(chǎn)品在每個(gè)周期的新鮮度變化,并據(jù)此調(diào)整庫(kù)存決策,能更好地匹配有限的供給和不確定的需求,因此可以預(yù)見(jiàn)庫(kù)存合并效果的存在。我們以一個(gè)虛擬的靜態(tài)系統(tǒng)作為參照:分銷商在初始采購(gòu)期就針對(duì)各期做好全部決策工作,即事先確定各期的庫(kù)存配給量,分開(kāi)進(jìn)行獨(dú)立管理。

(17)

(18)

注意到在產(chǎn)品不發(fā)生變質(zhì)的極端情況下,qi=1(i=1,2,…,n)總成立,模型的不確定性僅體現(xiàn)在各周期的需求擾動(dòng)項(xiàng)上,由于假設(shè)εi為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,因此庫(kù)存配給模型退化為簡(jiǎn)單的n個(gè)獨(dú)立的庫(kù)存采購(gòu)模型,此時(shí)采用靜態(tài)的報(bào)童模型方法求解得到的結(jié)果與最優(yōu)的動(dòng)態(tài)結(jié)果等價(jià)。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為體現(xiàn)動(dòng)態(tài)策略在多周期問(wèn)題中的突出優(yōu)勢(shì),我們考慮n=5的情形,同時(shí)為簡(jiǎn)化計(jì)算,我們假設(shè)庫(kù)存保鮮因子θi(i=1,2,…,n)服從一個(gè)離散分布:

其中,α(∈[0,1])為θi的較低取值,β∈[0,1]表示θi取值1的概率,即產(chǎn)品在第i周期以β的概率不繼續(xù)變質(zhì),以1-β的概率變質(zhì)且新鮮度降為上一周期新鮮度的α比例。為提高計(jì)算效率,我們沒(méi)有采用求積分的方式計(jì)算每期需求的期望值,而是通過(guò)隨機(jī)生成N=2000個(gè)服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),來(lái)模擬εi的實(shí)現(xiàn)值,從而用樣本平均值代替總體期望值。為減少計(jì)算量,產(chǎn)品采購(gòu)量和留存量將只取整數(shù)值。

基礎(chǔ)組的實(shí)驗(yàn)參數(shù)按如下設(shè)置:

庫(kù)存保鮮因子θi(i=1~5)的較低取值α=0.5;

庫(kù)存保鮮因子θi(i=1~5)取值1的概率β=0.5;

各期對(duì)應(yīng)完全新鮮產(chǎn)品的需求量

di=100(i=1~5);

各期需求擾動(dòng)因子εi(i=1~5)的標(biāo)準(zhǔn)差σ=10;

單位采購(gòu)成本c=40;

各期單位產(chǎn)品價(jià)格pi=100(i=1~5);

保鮮期單位產(chǎn)品儲(chǔ)藏成本hi=10(i=1~4)。

5.1 產(chǎn)品變質(zhì)性的影響

在第一組實(shí)驗(yàn)中,我們考察保鮮因子的較低取值α的變動(dòng)所帶來(lái)的影響。α越小,說(shuō)明庫(kù)存保鮮因子的方差越大,即產(chǎn)品在隨機(jī)意義下,越容易變質(zhì)。我們計(jì)算了在α在[0,1]上的不同取值下,靜態(tài)系統(tǒng)和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)總采購(gòu)量及對(duì)應(yīng)的最優(yōu)期望利潤(rùn),如表1所示。

表1 庫(kù)存保鮮因子取值分布對(duì)績(jī)效的影響

表1的最后一列顯示了分銷商采用動(dòng)態(tài)庫(kù)存配給策略所獲得的最優(yōu)期望利潤(rùn),相比采用靜態(tài)配給策略多出的比例。可以看出,動(dòng)態(tài)策略總是能夠在總采購(gòu)量低于靜態(tài)總采購(gòu)量的情況下,取得比靜態(tài)總期望利潤(rùn)更好的表現(xiàn),并且動(dòng)態(tài)策略的這種庫(kù)存風(fēng)險(xiǎn)合并效果隨變質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)的加大而更加顯著,極端情況下(產(chǎn)品有一半的概率完全變質(zhì)),利潤(rùn)的改進(jìn)比例達(dá)到15.97%。

在第二組實(shí)驗(yàn)中,我們保持基礎(chǔ)組的其他實(shí)驗(yàn)參數(shù)不變,改變保鮮因子取值1時(shí)的概率β(β越接近0.5,庫(kù)存保鮮因子的方差會(huì)越大,表明變質(zhì)的不確定性越高)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

以上兩組實(shí)驗(yàn)共同說(shuō)明了產(chǎn)品變質(zhì)的風(fēng)險(xiǎn)越大(即庫(kù)存保鮮因子的方差越大),動(dòng)態(tài)配給策略的利潤(rùn)改進(jìn)效果越為顯著,這與前人研究中產(chǎn)品的變質(zhì)特性會(huì)直接影響到庫(kù)存風(fēng)險(xiǎn)合并效果大小的論述一致。

5.2 需求波動(dòng)性的影響

在第三組實(shí)驗(yàn)中,我們保持基礎(chǔ)組的其他實(shí)驗(yàn)參數(shù)不變,改變各期市場(chǎng)規(guī)模d的大小。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示,隨著d的不斷增大,采購(gòu)量和供應(yīng)給跨季市場(chǎng)的產(chǎn)品數(shù)量不斷增加,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)相比靜態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)期望利潤(rùn)的改進(jìn)比例也呈增長(zhǎng)的趨勢(shì)。當(dāng)市場(chǎng)對(duì)完全新鮮產(chǎn)品的確定性需求數(shù)量達(dá)到140個(gè)單位/期時(shí),利潤(rùn)改進(jìn)比例達(dá)到8.29%,我們可以合理預(yù)見(jiàn)隨著d的增加,利潤(rùn)改進(jìn)比例還將提高,但增幅會(huì)越來(lái)越有限。

表2 庫(kù)存保鮮因子概率分布對(duì)績(jī)效的影響

表3 市場(chǎng)規(guī)模對(duì)績(jī)效的影響

從ε的角度考察需求波動(dòng)性影響的第四組實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示。隨著標(biāo)準(zhǔn)差σ的增加,總采購(gòu)量不斷降低,供應(yīng)給跨季市場(chǎng)銷售的產(chǎn)品數(shù)量也在不斷減少,并且動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的利潤(rùn)改進(jìn)比例也呈現(xiàn)出不斷減小的趨勢(shì)。當(dāng)市場(chǎng)上不存在隨機(jī)擾動(dòng)時(shí),需求完全由產(chǎn)品新鮮度和市場(chǎng)規(guī)模決定,動(dòng)態(tài)策略的改進(jìn)比例達(dá)到最高的8.7%。

兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明由d和ε造成的需求波動(dòng)性,對(duì)動(dòng)態(tài)策略的庫(kù)存風(fēng)險(xiǎn)合并效果具有同樣的影響,即需求的不確定性越低,來(lái)自市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)越小,動(dòng)態(tài)策略的優(yōu)化效果會(huì)更加顯著。

6 結(jié)語(yǔ)

本文考慮新鮮產(chǎn)品的分銷商在應(yīng)季采購(gòu)一定數(shù)量的庫(kù)存留待后續(xù)季節(jié)銷售的問(wèn)題。我們將其分解為一個(gè)兩階段的庫(kù)存決策問(wèn)題并采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法進(jìn)行分析,證明了每個(gè)周期的最優(yōu)配給量是唯一確定的,可用KKT條件進(jìn)行求解。進(jìn)一步地,我們指出在其他參數(shù)保持不變的情況下,當(dāng)期初庫(kù)存水平越大、期初價(jià)格越低、期初新鮮度越高以及下期的變質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)越低時(shí),留存給未來(lái)銷售周期的庫(kù)存量應(yīng)該越多。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果還表明當(dāng)產(chǎn)品變質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)更大、需求不確定性更低時(shí),動(dòng)態(tài)庫(kù)存配給策略能夠?yàn)榉咒N商帶來(lái)更加顯著的利潤(rùn)改進(jìn)效果。

表4 需求擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)績(jī)效的影響

新鮮產(chǎn)品的變質(zhì)特性和跨季市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)因素加大了經(jīng)銷商的盈利難度,給他們的庫(kù)存管理帶來(lái)了極大的挑戰(zhàn)。另外,產(chǎn)品無(wú)法在跨季市場(chǎng)上補(bǔ)貨以及因質(zhì)量降低而加劇的需求不確定性因素,使得這一問(wèn)題相比一般的多周期庫(kù)存問(wèn)題具有不一樣的供需匹配的難點(diǎn)。采用動(dòng)態(tài)配給策略,對(duì)同時(shí)面臨著供應(yīng)受限和需求不確定的變質(zhì)產(chǎn)品進(jìn)行庫(kù)存管理,是獲得利潤(rùn)最大化的有效方式,具有廣闊的研究前景。我們的工作還可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行拓展:(1)引入新鮮度的需求敏感系數(shù),考慮更為一般的非線性關(guān)系的情形;(2)將模型擴(kuò)展為同時(shí)考慮保鮮投資和庫(kù)存配給的多周期聯(lián)合決策的問(wèn)題;(3)納入新鮮產(chǎn)品供應(yīng)鏈上其他相關(guān)利益主體的優(yōu)化問(wèn)題展開(kāi)研究。

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